Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 TSI 2020

Le modèle de l'amplificateur linéaire intégré (ALI) idéal en régime linéaire repose sur les hypothèses suivantes :

• des impédances d'entrée infinies, ce qui impose des courants d'entrée nuls :

  i_+ = i_- = 0

• un gain différentiel infini (\mu_d \to \infty), ce qui implique, en régime linéaire (assuré ici par la boucle de rétroaction négative reliant la sortie à la borne inverseuse), une tension différentielle d'entrée nulle :

  \varepsilon = V^+ - V^- = 0 \iff V^+ = V^-
• une impédance de sortie nulle (R_s = 0).

Déterminons les potentiels des bornes d'entrée :

• Sur la borne non inverseuse (+) : le courant traversant le résistor R_1 est nul (i_+ = 0), il n'y a donc aucune chute ohmique à ses bornes :

  V^+ = V_e

• Sur la borne inverseuse (-) : en appliquant le théorème de Millman au nœud inverseur (avec i_- = 0) :

  V^- = \frac{\dfrac{e_1}{R_3} + \dfrac{V_s}{R_2}}{\dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_2}} = \frac{R_2 e_1 + R_3 V_s}{R_2 + R_3}

Comme V^+ = V^-, on en déduit l'expression de la tension V_e :

D'après la relation établie à la question Q1 :

La résistance R_1 n'intervient pas dans le calcul puisque le courant d'entrée i_+ de l'ALI idéal est nul.

Effectuons l'application numérique avec les valeurs fournies :

• R_2 = 6{,}5\text{ k}\Omega
• R_3 = 1{,}0\text{ k}\Omega
• e_1 = 100\text{ mV} = 0{,}100\text{ V}
• V_s = 6{,}50\text{ V}

En tenant compte des deux chiffres significatifs des résistances R_2 et R_3 :

D'après le préambule de la sous-partie I.A, la charge q développée sur les faces de la lame piézoélectrique vérifie :

On en déduit directement l'expression de l'intensité F de la force \vec{F} :

En reprenant la valeur exacte de V_e obtenue à la question Q2 (V_e = \frac{7{,}15}{7{,}5}\text{ V} \approx 0{,}953\text{ V}) :

L'amplificateur linéaire intégré est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire :

La borne non-inverseuse étant reliée à la masse (V^+ = 0), la borne inverseuse est à la masse virtuelle :

L'impédance de la branche d'entrée (association série de C_1 et R_1) vaut :

L'impédance de la branche de contre-réaction (association parallèle de R_2 et C_2) s'écrit :

En appliquant la loi des nœuds en termes de potentiels au nœud inverseur (i^- = 0) :

En remplaçant \underline{Z}_1 et \underline{Z}_2 par leurs expressions :

Divisons le numérateur et le dénominateur par le terme imaginaire j(R_1C_1 + R_2C_2)\omega :

Par identification avec la forme imposée \underline{H}(j\omega) = -\dfrac{A}{1 + j(\omega/\omega_1 - \omega_2/\omega)}, on obtient :

D'après la fonction de transfert établie à la question Q4 :

le gain du filtre s'écrit :

Examinons les comportements aux limites :

• À basse fréquence (\omega \to 0) : \dfrac{\omega_2}{\omega} \to +\infty, donc G(\omega) \to 0 ;
• À haute fréquence (\omega \to \infty) : \dfrac{\omega}{\omega_1} \to +\infty, donc G(\omega) \to 0 ;
• Pour la pulsation intermédiaire \omega = \sqrt{\omega_1 \omega_2} : le terme imaginaire s'annule et le gain est maximal, valant G = A \neq 0.

Le filtre atténue donc à la fois les très basses et les très hautes fréquences, tout en transmettant une bande intermédiaire autour de sa fréquence centrale.

D'après la question Q4, la fonction de transfert s'écrit sous la forme :

où A, \omega_1 et \omega_2 sont des constantes strictement positives.

Le gain en tension du filtre est donné par le module de \underline{H}(j\omega) :

Le numérateur étant constant et strictement positif, le gain G(\omega) est maximal lorsque le dénominateur est minimal, c'est-à-dire lorsque le terme positif \left(\dfrac{\omega}{\omega_1} - \dfrac{\omega_2}{\omega}\right)^2 est minimal.

Ce carré étant toujours supérieur ou égal à zéro, sa valeur minimale est 0, atteinte si et seulement si :

Comme une pulsation est nécessairement positive, le gain passe par un maximum pour la pulsation :

En cette pulsation, le gain maximal vaut G_{\max} = A.

1. Matériel utilisé et branchements : On utilise un oscilloscope (bicourbe ou numérique) équipé de deux sondes de tension :

• la masse commune des sondes de l'oscilloscope est reliée à la masse du montage ;
• la pointe de touche de la voie 1 (\text{CH}_1 ou voie X) est connectée à la tension d'entrée v_e(t) ;
• la pointe de touche de la voie 2 (\text{CH}_2 ou voie Y) est connectée à la tension de sortie v_s(t).

2. Vérification expérimentale de l'opposition de phase :

Deux méthodes permettent de s'assurer que les signaux sont en opposition de phase (\Delta\varphi = \varphi_s - \varphi_e \equiv \pi \pmod{2\pi}) :

• En mode temporel (Y-t) : on visualise simultanément v_e(t) et v_s(t) en fonction du temps. Les deux signaux sont en opposition de phase si les maxima de l'un coïncident avec les minima de l'autre, ou de manière équivalente, s'ils franchissent simultanément la valeur zéro avec des pentes de signes opposés (le décalage temporel vaut \Delta t = T/2).
• En mode XY (courbes de Lissajous) : en basculant l'oscilloscope en mode XY, la figure obtenue est une ellipse qui s'aplatit en un segment de droite de pente négative passant par l'origine lorsque le déphasage vaut exactement \pi.

D'après la question Q4, la fonction de transfert du filtre s'écrit :

avec A > 0. Le déphasage entre la tension de sortie et la tension d'entrée est donné par :

Les signaux d'entrée et de sortie sont en opposition de phase si et seulement si l'argument de \underline{H}(j\omega) vaut \pi (modulo 2\pi), ce qui impose :

D'après la question Q6, cette pulsation correspond précisément à la pulsation de résonance du filtre passe-bande :

La fréquence f = \dfrac{\omega}{2\pi} de la contrainte mécanique s'exerçant sur la lame est donc :

Application numérique :

On calcule d'abord le produit des composants :

d'où :

La pulsation correspondante est \omega = \dfrac{1}{5{,}0 \times 10^{-4}} = 2{,}0 \times 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}. On en déduit la fréquence :

On étudie la masse m dans le référentiel \mathcal{R}_{\text{v}} lié à la voiture, en mouvement de translation rectiligne accélérée \vec{a} = -a\vec{u}_x (a > 0) par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen.

Le bilan des actions mécaniques s'exerçant sur la masse m comporte :

• Le poids \vec{P} = -m g \vec{u}_y (en notant \vec{u}_y le vecteur unitaire vertical ascendant) ;
• La réaction normale du support \vec{R}_N = R_N \vec{u}_y, sans composante tangentielle car le glissement se fait sans frottement solide ;

• La force de rappel élastique du ressort, fixé en x = 0, de longueur instantanée \ell(t) = x(t) et de longueur à vide L_0 :

  \vec{F}_{\text{é}} = -k\big(x(t) - L_0\big)\vec{u}_x

• La force de frottement fluide exercée par l'amortisseur :

  \vec{f} = -\alpha \vec{V} = -\alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{u}_x

• La force d'inertie d'entraînement, due à la non-galiléité de \mathcal{R}_{\text{v}} :

  \vec{F}_{ie} = -m \vec{a} = m a \vec{u}_x

La force d'inertie de Coriolis est quant à elle identiquement nulle car le référentiel de la voiture est en translation pure (\vec{\Omega} = \vec{0}).

En conclusion, la résultante des forces s'exerçant sur la masse m dans \mathcal{R}_{\text{v}} s'écrit :

avec \vec{P} + \vec{R}_N = \vec{0} du fait de l'absence de mouvement selon l'axe vertical.

On étudie la masse m dans le référentiel non galiléen lié à la voiture, muni de la base (\vec{u}_x, \vec{u}_y). La vitesse et l'accélération relatives de la masse sont :

D'après le bilan des forces établi à la question Q9, la masse est soumise à :

• son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_y ;
• la réaction normale du support horizontal \vec{R}_N = R_N \vec{u}_y (le déplacement s'effectuant sans frottement solide) ;
• la force de rappel élastique du ressort \vec{F}_{\text{é}} = -k(x(t) - L_0)\vec{u}_x ;
• la force de frottement fluide \vec{f} = -\alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{u}_x ;
• la force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} = m a \vec{u}_x.

Le mouvement relatif s'effectuant selon la direction horizontale, l'équilibre vertical donne \vec{P} + \vec{R}_N = \vec{0}.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué dans le référentiel lié à la voiture s'écrit :

En projetant suivant le vecteur unitaire \vec{u}_x :

La longueur à vide L_0 étant constante au cours du temps, la variable X(t) = x(t) - L_0 vérifie :

L'équation du mouvement devient ainsi :

En divisant par la masse m, on obtient :

Par identification avec la forme canonique d'un oscillateur amorti du second ordre :

on en déduit par comparaison des coefficients :

D'après l'énoncé, la phase de freinage commence à t = 0. Avant cet instant (t < 0), la voiture n'accélère pas et le ressort est au repos avec une longueur égale à sa longueur à vide :

Par définition de la variable d'écart X(t) = x(t) - L_0, on en déduit immédiatement :

1. Expression approchée de X(t) à t = t_0 :

Pour t \in [0, t_0], l'équation différentielle établie à la question Q10 s'écrit :

La solution particulière constante associée au second membre constant a est :

Comme Q = 1/2, l'oscillateur est en régime critique (racine double négative -\omega_0). L'évolution est donc strictement apériodique, sans aucun dépassement.

L'énoncé précisant que le régime permanent a largement le temps de s'établir entre t = 0 et t_0, le terme transitoire s'est amorti avant t_0. Par conséquent, à l'instant t = t_0 :

2. Valeur de X(t) lorsque t \to +\infty :

À partir de t = t_0, le véhicule est totalement arrêté. L'accélération devient donc nulle (a = 0). L'équation du mouvement pour t > t_0 s'écrit alors :

Sous l'effet du frottement fluide, les mouvements s'amortissent et la masse rejoint sa nouvelle position d'équilibre en régime libre apériodique. Par conséquent :

3. Allure des variations de X(t) :

Par continuité de la position et de la vitesse en t = 0 (X(0) = 0 et \dot{X}(0) = 0) :

• pour t < 0, X(t) = 0 ;
• pour t \in [0, t_0], X(t) croît de façon monotone avec une tangente horizontale en t = 0, et atteint le palier a/\omega_0^2 avant t_0 ;
• pour t > t_0, X(t) décroît de façon monotone à partir du palier (tangente horizontale en t_0^+ car la vitesse y est quasi nulle) pour tendre asymptotiquement vers 0.

Le mouvement de la voiture est une translation rectiligne selon l'axe (Ox) de vecteur unitaire \vec{u}_x. Entre le début du freinage (vitesse initiale \vec{v}(0) = V\vec{u}_x) et l'arrêt complet de la voiture (vitesse finale \vec{v}(\Delta t_1) = \vec{0}), la variation de vitesse est :

Le vecteur accélération moyenne s'exprime donc par :

Par identification avec la notation de l'énoncé \vec{a} = -a \vec{u}_x (avec a > 0), la norme de cette décélération (ou accélération moyenne) vaut :

Application numérique avec V = 25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \Delta t_1 = 2{,}5\text{ s} :

Durant la phase de choc, la vitesse de la voiture passe de V = 25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} à 0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} en une durée \Delta t = 0{,}15\text{ s}.

L'accélération moyenne de la voiture dans le référentiel terrestre s'écrit :

Par identification avec l'expression posée dans le sujet \vec{a} = -a \vec{u}_x avec a > 0, la valeur de la décélération moyenne lors du choc, notée a_2, vaut :

Application numérique avec V = 25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \Delta t = 0{,}15\text{ s} :

D'après la question Q9, l'expression de la force d'inertie d'entraînement subie par une masse m dans le référentiel lié à la voiture animée d'une accélération \vec{a} = -a\,\vec{u}_x est :

L'intensité de cette force d'inertie d'entraînement est donc :

Cas 1 : Freinage brutal Avec a_1 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (d'après la question Q13) et la masse m = 2{,}81\text{ g} = 2{,}81 \times 10^{-3}\text{ kg} :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Cas 2 : Arrêt suite à un choc Avec a_2 = \dfrac{V}{\Delta t_2} = \dfrac{25}{0{,}15} \approx 1{,}67 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (d'après la question Q14) :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

D'après l'énoncé, la quantité \chi est le rapport entre la différence de potentiel U apparaissant aux bornes du quartz et l'intensité de la force appliquée F_{ie}, soit :

Cas 1 : Freinage brutal

Cas 2 : Arrêt suite à un choc

Caractère décelable de la différence :

Le rapport des tensions vaut :

L'écart de tension \Delta U = U_2 - U_1 \approx 2{,}6\text{ V} est de l'ordre de plusieurs volts, ce qui est très largement supérieur aux bruits de mesure et dérives électroniques usuels. Cette différence est donc parfaitement décelable à l'aide d'un montage comparateur à seuil (par exemple basé sur un ALI, comme étudié en sous-partie II.C).

1. Justification du choix de Q = 1/2 :

L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle établie à la question Q10 s'écrit :

Le discriminant réduit vaut :

Pour Q = 1/2, on a \Delta' = 0 : le système est en régime critique.

Ce choix présente un double intérêt capital pour un accéléromètre :

• Absence de dépassement : contrairement au régime pseudo-périodique (Q > 1/2), la réponse indicielle n'oscille pas et ne dépasse à aucun moment sa valeur de régime permanent. Cela évite l'apparition d'une surtension transitoire qui pourrait franchir le seuil et déclencher intempestivement l'airbag lors d'un freinage brutal.
• Rapidité d'établissement : le régime critique est le régime apériodique qui minimise le temps de réponse (plus rapide que tout régime apériodique Q < 1/2).

2. Problème si le régime permanent n'est pas atteint entre t = 0 et t_0 :

La détection repose sur le fait que la tension aux bornes du quartz atteint la valeur de régime permanent proportionnelle à l'accélération (U \propto a).

• Si le temps de réponse du capteur est supérieur à la durée du choc (t_0 = \Delta t = 0{,}15\text{ s}), la tension n'a pas le temps d'atteindre sa valeur maximale U_2 \approx 2{,}8\text{ V}.
• La tension mesurée reste alors trop faible et risque de ne pas dépasser le seuil de détection : l'airbag ne se déploierait pas (non-déclenchement), mettant en danger la vie des passagers.

1. Choix de la tension de seuil
D'après les résultats de la question Q16 :

• Freinage brutal : U_1 \approx 0{,}17\text{ V} ;
• Choc : U_2 \approx 2{,}8\text{ V}.

Pour séparer sans ambiguïté les deux régimes, on choisit une tension seuil médiane :

2. Fonction comparateur
On utilise l'amplificateur opérationnel en comparateur simple non-inverseur (fonctionnement en saturation, sans rétroaction négative) :

• Entrée non-inverseuse reliée au quartz : V^+ = u ;
• Entrée inverseuse reliée au potentiel de référence : V^- = V_{\text{ref}}.

La tension différentielle d'entrée vaut \varepsilon = V^+ - V^- = u - V_{\text{ref}}. En régime saturé :

• Si u < V_{\text{ref}} (freinage ou repos), \varepsilon < 0 \implies v_s = -V_{\text{sat}} = -15\text{ V} ;
• Si u > V_{\text{ref}} (choc), \varepsilon > 0 \implies v_s = +V_{\text{sat}} = +15\text{ V}.

3. Génération de la tension de référence
L'entrée V^- n'absorbe aucun courant (i^- = 0). On réalise V_{\text{ref}} au moyen d'un pont diviseur de tension alimenté par la tension régulée +V_{CC} = +15\text{ V} à l'aide de deux résistances R_A et R_B :

Pour V_{\text{ref}} = 1{,}5\text{ V} avec V_{CC} = 15\text{ V}, il faut :

On choisit par exemple :

4. Dimensionnement de la résistance de protection de la LED
La LED ne doit pas dépasser sa puissance maximale admissible P_{\max} = 100\text{ mW} sous U_d = 1{,}9\text{ V}. L'intensité maximale supportée est :

Pour un fonctionnement fiable et un éclairage bien visible, on choisit un courant d'utilisation I \approx 13\text{ mA} < I_{\max}.
Lorsque v_s = +V_{\text{sat}} = +15\text{ V}, la LED est passante. La loi des mailles sur la branche de sortie donne :

Pour R_p = 1{,}0\text{ k}\Omega :

La puissance dissipée est alors P = U_d I \approx 25\text{ mW} \ll P_{\max}, ce qui garantit la sécurité du composant.
Lorsque v_s = -15\text{ V}, l'anode est à un potentiel inférieur à la cathode (reliée à la masse) : la LED est polarisée en inverse, le courant est nul et la diode reste éteinte.

Dans le cadre de l'application du principe fondamental de la dynamique à la poutre (munie de sa masselotte) dans le référentiel terrestre galiléen :

Le terme M \dfrac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2} représente le terme d'inertie (ou terme d'accélération), c'est-à-dire la projection sur l'axe vertical (Oz) du produit de la masse M du système par l'accélération de son centre d'inertie :

L'équation du mouvement provient de la projection sur l'axe vertical (Oz) du principe fondamental de la dynamique appliqué au système constitué par la poutre et sa masselotte :

1. Terme -kz :

   • Type de force : Il s'agit d'une force de rappel élastique (ou force élastique linéaire).
   • Caractéristique modélisée : Ce terme modélise la raideur (ou l'élasticité) de la poutre en flexion. Lorsque le centre d'inertie s'écarte de sa position d'équilibre (z \neq 0), la déformation élastique de la poutre engendre des contraintes internes de flexion qui s'opposent à la déformation et tendent à ramener la poutre vers sa position de repos. La constante k est la raideur équivalente de la poutre (dépendant de ses dimensions géométriques et du module d'Young du matériau).

2. Terme -\alpha \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} :

   • Type de force : Il s'agit d'une force d'amortissement visqueux (ou force de frottement fluide linéaire).
   • Caractéristique modélisée : Ce terme modélise l'amortissement et la dissipation d'énergie mécanique lors du mouvement. Cette dissipation provient à la fois des frottements externes avec l'air environnant et des frottements internes au matériau (viscoélasticité et pertes thermoélastiques lors des cycles de déformation). Le coefficient \alpha quantifie le niveau global d'amortissement de la structure.

L'équation différentielle régissant le déplacement vertical z(t) du centre d'inertie de la poutre s'écrit :

En régime sinusoïdal forcé, on adopte la notation complexe en posant z(t) = \operatorname{Re}(\underline{z}(t)) avec \underline{z}(t) = \underline{Z}_m \mathrm{e}^{i\omega t}, et F_E(t) = \operatorname{Re}(\underline{F}_E(t)) avec \underline{F}_E(t) = F_0 \mathrm{e}^{i\omega t} (l'amplitude complexe de la force étant choisie réelle et égale à F_0).

Les dérivées temporelles se traduisent par :

L'équation différentielle devient alors dans le domaine complexe :

En simplifiant par le terme temporel \mathrm{e}^{i\omega t} \neq 0, on obtient directement l'expression de l'amplitude complexe :

En introduisant la pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{M}}, cette expression peut également s'écrire sous forme canonique :

À la pulsation \omega = \omega_0 = \sqrt{k/M}, le terme inertiel et le terme élastique se compensent exactement :

L'amplitude complexe déterminée à la question Q21 devient alors :

Le déplacement vertical z(t) = \operatorname{Re}\left(\underline{Z}_m\,\mathrm{e}^{i\omega_0 t}\right) s'écrit donc :

Le mouvement du centre d'inertie de la poutre est ainsi :

• rectiligne et sinusoïdal selon l'axe vertical (Oz) ;
• de pulsation \omega_0 = \sqrt{k/M} (période T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}) ;

• d'amplitude constante :

  \boxed{ Z_{m,0} = \frac{F_0}{\alpha\omega_0} = \frac{F_0}{\alpha}\sqrt{\frac{M}{k}} }
• en quadrature retard (déphasage de -\pi/2) par rapport à la force excitatrice F_E(t) = F_0\cos(\omega_0 t).

La vitesse verticale v_z(t) du centre d'inertie de la poutre est la dérivée temporelle de son déplacement vertical z(t) :

D'après le résultat de la question Q22, le déplacement en régime permanent à la pulsation \omega_0 s'écrit :

En dérivant cette expression par rapport au temps t, on obtient directement :

Soit :

L'élément piézoélectrique est constitué d'un matériau diélectrique enserré entre deux électrodes conductrices, ce qui lui confère naturellement la structure géométrique d'un condensateur plan.

Dans le modèle équivalent de Norton du transducteur piézoélectrique (figure 7) :

• la source de courant d'intensité \beta v_z modélise la conversion électromécanique (génération de charges sous l'effet de la déformation dynamique) ;
• le condensateur de capacité C_0 représente la capacité intrinsèque (ou capacité propre / statique) de la lame piézoélectrique.

D'après la définition du facteur de force \beta, on a la relation dimensionnelle :

où [F] désigne la dimension d'une force et [U] celle d'une tension électrique.

Par conséquent, la dimension du produit \beta v_z s'écrit :

Or, le produit d'une force par une vitesse est homogène à une puissance mécanique :

De même, une puissance électrique s'exprime comme le produit d'une tension par une intensité de courant :

On en déduit :

Le dipôle récepteur constitué du condensateur C_0 et de la résistance R montés en parallèle présente une admittance complexe :

d'où une impédance complexe équivalente :

D'après le résultat de la question Q23, la vitesse verticale du centre d'inertie de la poutre à la résonance s'écrit :

En choisissant la force excitatrice comme origine des phases, l'amplitude complexe associée à la vitesse est :

Le courant délivré par la source liée a donc pour amplitude complexe :

La tension \underline{V}_m aux bornes du dipôle d'utilisation est ainsi régie par la loi d'Ohm :

Finalement :

La tension V(t) aux bornes de la résistance d'utilisation R est sinusoïdale de pulsation \omega_0. D'après la question Q26, son amplitude complexe s'écrit :

L'amplitude réelle V_m = |\underline{V}_m| de la tension vaut donc :

La puissance électrique instantanée dissipée dans la résistance R est p(t) = \frac{V(t)^2}{R}. En régime sinusoïdal, la puissance moyenne récupérée par R s'exprime en fonction de l'amplitude V_m par :

En injectant l'expression de |\underline{V}_m|^2, on obtient :

Soit finalement :

On vérifie bien que la puissance moyenne récupérée est proportionnelle au carré de l'amplitude F_0 de la force excitatrice.

D'après l'énoncé et le schéma-bloc de la figure 8, le quadripôle supérieur a pour tension d'entrée \underline{v}_e, pour tension de sortie \underline{v}_s et pour fonction de transfert \underline{H}(j\omega), définie comme le rapport de l'amplitude complexe de sortie sur celle d'entrée.

On a donc directement la relation :

Le quadripôle inférieur de fonction de transfert \underline{K}(j\omega) reçoit en entrée la tension de sortie globale \underline{v}_s. Conformément à la définition de sa fonction de transfert, la tension complexe \underline{v}_r présente à sa sortie (sur la gauche de la figure 8) s'écrit :

En appliquant la loi des mailles sur la branche d'entrée, où le potentiel de référence correspond au fil inférieur :

On en déduit la relation liant \underline{v}_s, \underline{v}_e et \underline{v}_1 :

que l'on peut également écrire sous la forme équivalente \boxed{\underline{v}_1 = \underline{v}_e + \underline{K}(j\omega)\,\underline{v}_s}.

D'après la question Q28, la chaîne directe impose :

D'après la question Q29, la loi des mailles à l'entrée s'écrit :

En substituant l'expression de \underline{v}_e dans celle de \underline{v}_s, on obtient :

On en déduit l'expression de la fonction de transfert en boucle fermée :

En régime autonome (sans signal d'excitation extérieur), la tension d'entrée est nulle :

D'après la relation établie à la question Q29, la tension d'entrée de la chaîne directe devient :

En injectant cette expression dans la relation de la chaîne directe obtenue à la question Q28 (\underline{v}_s = \underline{H}(j\omega)\,\underline{v}_e), on obtient :

Pour que le montage puisse générer des oscillations sinusoïdales permanentes non nulles (\underline{v}_s \neq 0), il est nécessaire et suffisant que :

Remarque : On retrouve ce résultat à partir de la fonction de transfert en boucle fermée obtenue à la question Q30, \underline{A}(j\omega) = \frac{\underline{H}(j\omega)}{1 + \underline{H}(j\omega)\underline{K}(j\omega)} : obtenir \underline{v}_s \neq 0 avec \underline{v}_1 = 0 nécessite l'annulation du dénominateur, soit 1 + \underline{H}(j\omega)\underline{K}(j\omega) = 0.

D'après la condition d'oscillation établie à la question Q31 :

En prenant le module de part et d'autre de cette égalité :

Le module d'un produit étant égal au produit des modules, on en déduit la relation (R1) liant les gains de la chaîne directe et de la chaîne de retour :

D'après le résultat de la question Q31, la condition d'oscillation autonome s'écrit :

En prenant l'argument des deux membres, on obtient :

La relation (R2) liant les phases des deux quadripôles s'écrit donc :

Le courant de sortie étant nul (i = 0), le circuit constitue un pont diviseur de tension non chargé alimenté par la tension \underline{u}_e :

où :

• \underline{Z}_s est l'impédance de la branche série (R, C) :

  \underline{Z}_s = R + \frac{1}{jC\omega}

• \underline{Z}_p est l'impédance de la branche parallèle (R, C), d'admittance \underline{Y}_p :

  \underline{Y}_p = \frac{1}{\underline{Z}_p} = \frac{1}{R} + jC\omega

La fonction de transfert s'écrit alors :

Calculons le produit \underline{Z}_s\,\underline{Y}_p :

On en déduit :

D'où l'expression de la fonction de transfert du filtre de Wien :

qui peut également s'écrire sous forme canonique :

D'après le résultat de la question Q34, la fonction de transfert du filtre de Wien s'écrit :

Le gain du filtre correspond au module de \underline{K}(j\omega) :

Étudions les variations de ce gain :

• À basse fréquence (\omega \to 0) : \dfrac{1}{RC\omega} \to +\infty, d'où |\underline{K}(j\omega)| \to 0 ;
• À haute fréquence (\omega \to +\infty) : RC\omega \to +\infty, d'où |\underline{K}(j\omega)| \to 0 ;

• Pour la pulsation \omega_0 = \dfrac{1}{RC} : la partie imaginaire du dénominateur s'annule, ce qui minimise le dénominateur et maximise le gain :

  |\underline{K}(j\omega_0)| = \frac{1}{3}

Le filtre présente donc un comportement de type passe-bande. L'allure du gain en fonction de la pulsation \omega est représentée ci-dessous :

D'après la question Q35, le gain du filtre de Wien s'écrit :

Ce gain passe par un maximum lorsque le terme sous la racine est minimal, c'est-à-dire lorsque la partie imaginaire du dénominateur s'annule :

Comme la pulsation est une grandeur strictement positive, la pulsation de résonance vaut :

À cette pulsation, le terme imaginaire s'annule et le gain prend sa valeur maximale :

Pour l'association en série du résistor de résistance R et du condensateur de capacité C, les impédances s'ajoutent :

Or, l'énoncé indique que l'on se place à la pulsation :

En injectant cette relation dans l'expression de \underline{Z}_{\text{s}}, il vient :

L'association parallèle d'un résistor de résistance R et d'un condensateur de capacité C possède une admittance complexe donnée par :

À la pulsation d'étude \omega_0 = \dfrac{1}{RC}, on a C \omega_0 = \dfrac{1}{R}, d'où :

L'impédance complexe \underline{Z}_{\text{p}} de cette branche parallèle s'en déduit immédiatement :

L'amplificateur linéaire intégré étant idéal, les courants d'entrée sont nuls, en particulier i_+ = 0. La branche reliant la sortie de potentiel \underline{v}_s à la masse à travers l'entrée (+) forme donc un diviseur de tension non chargé constitué de l'impédance série \underline{Z}_{\text{s}} et de l'impédance parallèle \underline{Z}_{\text{p}} :

D'après les questions Q37 et Q38, à la pulsation \omega_0 = \frac{1}{RC}, on a :

d'où :

On en déduit immédiatement le module :

Commentaire :
Ce sous-circuit est rigoureusement identique au filtre de Wien étudié en partie IV.B (figure 9) avec la tension d'entrée \underline{u}_e = \underline{v}_s et la tension de sortie \underline{u}_s = \underline{v}. La condition d'impédance d'entrée infinie de l'ALI (i_+ = 0) assure que le filtre fonctionne à vide (i = 0). On retrouve ainsi parfaitement le gain à la résonance établi à la question Q36 :

De plus, \underline{v}/\underline{v}_s étant un réel strictement positif, les signaux v(t) et v_s(t) sont rigoureusement en phase à cette pulsation, ce qui concorde avec \arg(\underline{K}(j\omega_0)) = 0.

L'amplificateur linéaire intégré est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire, ce qui implique :

D'après le schéma de la figure 10, l'entrée non inverseuse (+) est directement reliée au nœud situé entre les deux dipôles du filtre de Wien, dont le potentiel par rapport à la masse est \underline{v} :

La tension \underline{v}_e est définie entre la ligne supérieure (borne amont de R_1) et la ligne médiane (reliée à la borne (+)) :

La différence de potentiel aux bornes du conducteur ohmique R_1 s'écrit donc simplement :

Le courant \underline{i} traversant R_1 de gauche à droite vaut ainsi :

Comme l'impédance d'entrée de l'ALI est infinie (i^- = 0), l'intégralité de ce courant traverse le conducteur ohmique R_2 vers la sortie de l'ALI, portée au potentiel \underline{v}_s :

En remplaçant V^- par \underline{v} et \underline{i} par son expression :

On obtient finalement :

Par définition de la fonction de transfert de la chaîne directe (question Q28), on a :

D'après l'étude du filtre de Wien à la pulsation de résonance \omega_0 = \dfrac{1}{RC} (questions Q34, Q36 et Q39), le signal n'est pas déphasé et son amplitude est divisée par 3 :

Par ailleurs, la relation établie à la question Q40 donne :

En égalant ces deux expressions de \underline{v}, il vient :

On en déduit l'expression de la fonction de transfert \underline{H}(j\omega_0) :

Pour que le montage fonctionne en oscillateur autonome sinusoïdal à la pulsation \omega_0, le système bouclé doit vérifier le critère de Barkhausen.

D'après la relation (R1) de la question Q32, la condition sur le module s'écrit :

Or, d'après la question Q36, on a :

Et d'après la question Q41, la fonction de transfert de la chaîne directe vaut :

La condition sur les phases (relation (R2) de la question Q33) est donc identiquement satisfaite :

La condition sur les gains donne alors :

Pour garantir le démarrage spontané des oscillations à partir du bruit thermique de fond (condition d'accrochage), le gain de boucle initial doit être très légèrement supérieur à 1, soit R_2 \gtrsim 2R_1. Les non-linéarités de l'amplificateur (saturation en tension) viennent ensuite stabiliser l'amplitude en régime permanent.

Pour que les courants dans le montage restent dans la plage nominale de l'ALI (quelques milliampères au maximum) tout en restant très grands devant les courants d'entrée de polarisation, on choisit des résistances de l'ordre de la dizaine de kilo-ohms :

(ou la valeur normalisée standard de la série E12 R_2 = 22\text{ k}\Omega pour faciliter l'accrochage).

Rappelons le comportement des composants réactifs :

• pour un condensateur de capacité C_k, l'impédance est \underline{Z}_{C_k} = \frac{1}{jC_k\omega} : il se comporte comme un circuit ouvert en basse fréquence (\omega \to 0) et comme un court-circuit en haute fréquence (\omega \to \infty) ;
• pour une bobine d'inductance L, l'impédance est \underline{Z}_L = jL\omega : elle se comporte comme un court-circuit (fil) en basse fréquence (\omega \to 0) et comme un circuit ouvert en haute fréquence (\omega \to \infty).

1. Cas où \omega \to 0 (basses fréquences) :

• Dans la branche supérieure, la bobine L équivaut à un court-circuit (L\omega \to 0) et la résistance R devient négligeable devant l'impédance du condensateur (\frac{1}{C\omega} \gg R). Cette branche se comporte donc comme le condensateur C seul.
• La branche inférieure est constituée du condensateur C_0.
• Le dipôle AB équivaut donc à la mise en parallèle de deux condensateurs de capacités C et C_0.

Le modèle se simplifie en un condensateur unique de capacité :

2. Cas où \omega \to \infty (hautes fréquences) :

• Dans la branche supérieure, l'impédance de la bobine L\omega tend vers l'infini et devient prépondérante devant R et \frac{1}{C\omega} \to 0. Cette branche se comporte donc comme un circuit ouvert (aucun courant n'y circule).
• Le courant passe exclusivement par la branche inférieure contenant C_0.

Le modèle se simplifie donc au seul condensateur C_0 :

Lorsque la résistance R est négligeable (R = 0), la branche motrice présente une impédance purement réactive :

Cette branche est en parallèle avec le condensateur de capacité C_0, d'admittance \underline{Y}_0 = jC_0\omega. L'admittance équivalente entre les bornes A et B s'écrit :

L'impédance équivalente \underline{Z}_{AB} = \frac{1}{\underline{Y}_{AB}} est donc un imaginaire pur \underline{Z}_{AB} = j\,\operatorname{Im}(\underline{Z}_{AB}) avec :

La courbe de la figure 12 fait apparaître deux pulsations remarquables non nulles :

1. La pulsation de résonance série \omega_s (ou pulsation de résonance), pour laquelle l'impédance s'annule :

   \operatorname{Im}(\underline{Z}_{AB}) = 0 \iff LC\omega_s^2 - 1 = 0
   \boxed{\omega_s = \frac{1}{\sqrt{LC}}}

   À cette pulsation, la branche motrice se comporte comme un court-circuit.

2. La pulsation d'antirésonance \omega_p (ou résonance parallèle), pour laquelle l'impédance diverge (asymptote verticale en traits pointillés sur la figure 12) :

   (C + C_0) - LC C_0 \omega_p^2 = 0 \iff \omega_p^2 = \frac{C + C_0}{L C C_0} = \frac{1}{L}\left(\frac{1}{C} + \frac{1}{C_0}\right)
   \boxed{\omega_p = \sqrt{\frac{C + C_0}{L C C_0}} = \omega_s \sqrt{1 + \frac{C}{C_0}}}

   À cette pulsation, l'admittance s'annule et le quartz se comporte comme un circuit ouvert.

En l'absence de résistance (R = 0), l'impédance équivalente du quartz est un imaginaire pur :

Un condensateur idéal de capacité équivalente C_{\text{éq}} > 0 présente une impédance :

Le comportement du dipôle est donc capacitif si et seulement si sa réactance est strictement négative :

À l'inverse, si \operatorname{Im}(\underline{Z}_{AB}) > 0, le comportement est inductif (analogue à une bobine j L_{\text{éq}} \omega).

D'après la courbe de la figure 12 et les pulsations remarquables déterminées à la question Q44 :

• Pour \omega \in ]0, \omega_s[, \operatorname{Im}(\underline{Z}_{AB}) < 0 : le comportement est capacitif ;
• Pour \omega \in ]\omega_s, \omega_p[, \operatorname{Im}(\underline{Z}_{AB}) > 0 : le comportement est inductif ;
• Pour \omega \in ]\omega_p, +\infty[, \operatorname{Im}(\underline{Z}_{AB}) < 0 : le comportement est capacitif.

Le comportement du quartz est donc capacitif sur les intervalles :