Matériaux piézoélectriques : capteur de force, airbag, microgénérateur et oscillateurs
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Le sujet, entièrement électronique et mécanique, comporte quatre parties indépendantes sur les matériaux piézoélectriques. Il étudie leur usage en capteur de force, dans un accéléromètre d'airbag, comme microgénérateur, puis à travers des oscillateurs électroniques (pont de Wien et lame de quartz).
1I : utilisation en capteur de forceÉtude d'un montage à amplificateur linéaire intégré et d'un filtre pour mesurer une force ou une fréquence d'excitation.
2II : utilisation d'un matériau piézoélectrique dans un airbagModélisation d'un accéléromètre par un oscillateur mécanique amorti dans le référentiel non galiléen d'une voiture, puis détection de tension.
3III : microgénérateur piézoélectriqueÉtude en régime sinusoïdal forcé de la conversion mécanique-électrique et de la puissance récupérée par une résistance d'utilisation.
4IV : oscillateursConditions d'oscillation d'un montage à contre-réaction, étude du filtre de Wien puis d'un oscillateur à lame de quartz.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 29 juin 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Hypothèses de l'ALI idéal confondues avec le régime linéaire · Bilan des forces incomplet · Signe du facteur de qualité et de la pulsation propre
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Le sujet, de longueur très raisonnable avec 45 questions, a été abordé dans son ensemble par de nombreux candidats, aucune partie n'étant délaissée. Le jury souligne la présence de très bonnes copies répondant juste à la quasi-totalité des questions, preuve que le sujet était bien calibré en longueur.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Hypothèses de l'ALI idéal confondues avec le régime linéaireQ1
Les hypothèses de fonctionnement de l'amplificateur linéaire intégré idéal sont parfois confondues avec le fonctionnement en régime linéaire.
« Les hypothèses ALI idéal sont parfois confondues avec le fonctionnement en régime linéaire. »
2
Bilan des forces incompletQ9
Le bilan des forces sur la masse mobile omet trop souvent le poids ou la réaction normale.
« Trop souvent le bilan omet la réaction normale ou le poids ! »
3
Signe du facteur de qualité et de la pulsation propreQ10
Des confusions entre les accélérations conduisent parfois à des grandeurs négatives pour le facteur de qualité ou la pulsation propre, qui doivent rester positives.
« Le facteur de qualité ou la pulsation propre sont des grandeurs réelles positives ! »
4
Question simple mal interprétée sur le microgénérateurQ19
Une question très simple sur le sens physique d'un terme de l'équation mécanique a dérouté de nombreux candidats.
« Cette question très simple a dérouté de nombreux candidats. »
5
Gain confondu avec le diagramme de BodeQ34-Q36
Sur l'étude du filtre de Wien, certains candidats confondent l'allure du gain avec un diagramme de Bode, ce qui leur fait perdre du temps.
« la confusion entre l'allure du gain et le diagramme de Bode »
6
Mauvaise foi sur la détermination d'une unitéQ25
Certains candidats obtiennent l'unité attendue par des voies détournées, ce que le jury n'apprécie pas lorsque cela relève de la mauvaise foi.
« le jury n'apprécie pas les copies qui font preuve de mauvaise foi »
Ce qui a été bien réussi
La question sur l'expression de X(t) pour t<0 est plutôt bien réussie (Q11).
Les questions Q13 à Q16 sont bien traitées, sans difficulté particulière.
La rapidité du régime critique est bien connue des candidats (Q17).
L'étude du filtre de Wien, même en fin d'épreuve, est la partie la mieux traitée (Q34 à Q36).
La question Q43, facile mais en fin de sujet, est bien traitée par les candidats qui lisent le sujet jusqu'au bout.
Conseils du jury
Encadrer proprement les résultats.
Accompagner un inventaire de forces d'un schéma pour éviter d'oublier le poids ou la réaction normale.
S'interroger systématiquement sur les applications numériques et le nombre de chiffres significatifs, et toujours indiquer l'unité.
Ne jamais consigner une réponse sans justification, même si elle est juste.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
45 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.
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45 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.
Le sujet, entièrement électronique et mécanique, comporte quatre parties indépendantes sur les matériaux piézoélectriques. Il étudie leur usage en capteur de force, dans un accéléromètre d'airbag, comme microgénérateur, puis à travers des oscillateurs électroniques (pont de Wien et lame de quartz).
Les matériaux piézoélectriques ont la capacité de voir apparaitre une différence de potentiel entre leurs faces lorsqu'on exerce sur elles une contrainte (effet direct) mais également de pouvoir se déformer sous l'action d'une différence de potentiel imposée (effet inverse), ce qui en fait des matériaux très intéressants sur le plan des applications. On propose ici d'étudier différentes utilisations de ces matériaux. Les quatre parties de ce problème sont indépendantes.
I Utilisation en capteur de forces
Les montages ci-après utilisent des amplificateurs linéaires intégrés (ALI) supposés idéaux et fonctionnant en régime linéaire.
I.A - Mesure de l'intensité d'une force s'exerçant sur une lame piézoélectrique
On suppose qu'une force F⃗ régulièrement répartie est exercée sur la face de la lame, celle-ci entrainant l'apparition d'une tension V_e à ses bornes et de deux charges opposées + q et − q sur les faces de la lame. La charge q est liée à V_e ainsi qu'à la force F⃗ exercée de sorte que q = CV_e = KF où C, K et F représentent respectivement une capacité, une constante de proportionnalité et l'intensité de la force F⃗.
Figure 1
Q 1. Après avoir rappelé le modèle de l'amplificateur linéaire intégré idéal, exprimer la tension V_e en fonction de e_1, V_s et des différentes résistances (figure 1).
Application numérique
Q 2. On donne : R_1 = 10kΩ, R_2 = 6, 5kΩ, R_3 = 1, 0kΩ et e_1 = 100mV. On mesure V_s = 6, 50 V, en déduire V_e.
Q 3. Sachant que C = 8, 0 × 10^(− 13) F et que K = 1, 0 × 10^(− 12)C ⋅ N^(− 1), déterminer l'intensité de la force F⃗ s'exerçant sur la lame.
I.B - Mesure de la fréquence d'une force excitatrice sinusoïdale s'exerçant sur une lame
On considère que la lame est soumise à une action mécanique variant sinusoïdalement dans le temps à la fréquence f, fréquence que l'on se propose de déterminer à l'aide du montage de la figure 2 .
Figure 2
Q 4. Déterminer l'expression de la fonction de transfert du filtre de la figure 2 et la mettre sous la forme
H_–(jω) = − A/(1 + j(ω/ω_1 − ω_2/ω))
en précisant les expressions de A, ω_1 et ω_2 en fonction de R_1, R_2, C_1 et C_2.
Q 5. Indiquer quelle est la nature de ce filtre.
Q 6. Montrer que le gain passe par un maximum pour une pulsation ω que l'on exprimera en fonction de ω_1 et ω_2.
On ajuste à présent la résistance R_1 de manière à ce que les signaux d'entrée et de sortie soient en opposition de phase.
Q 7. Comment peut-on vérifier expérimentalement que les deux signaux sont en opposition de phase ? Indiquer quel matériel peut être utilisé pour cette opération et comment le relier au montage.
Q 8. Déterminer la fréquence de la contrainte s'exerçant sur la lame. Calculer sa valeur numérique sachant que R_2 = 1, 0 × 10^2 kΩ, C_1 = 50nF, C_2 = 5, 0nF et qu'il a fallu régler R_1 à 10kΩ de manière à ce que les deux signaux soient en opposition de phase.
II Utilisation d'un matériau piézoélectrique dans un airbag
On se propose dans cette partie d'analyser le principe de détection d'un choc, conduisant au gonflage d'un airbag, à l'aide d'un matériau piézoélectrique.
II.A - Principe d'un accéléromètre
On considère une masse m susceptible de se déplacer par rapport à une voiture ; lors d'une phase de freinage, le référentiel lié à la voiture est non galiléen. L'ensemble est modélisé en figure 3 .
Figure 3
La masse m se déplace horizontalement et sans frottement solide sur un support lié à la voiture. Le ressort a pour constante de raideur k et pour longueur à vide L_0. L'amortisseur exerce une force de frottement fluide sur la masse, son expression étant f⃗ = − αV⃗ où V⃗ représente la vitesse de la masse dans le référentiel lié à la voiture.
Le vecteur unitaire de l'axe des x, orienté dans le sens des x positifs, est noté u⃗_x. Le référentiel lié à la voiture est animé de l'accélération a⃗ = − au⃗_x avec a > 0 par rapport au référentiel terrestre considéré quant à lui comme galiléen.
Q 9. Effectuer le bilan des différentes forces s'exerçant sur la masse m. Pour tenir compte du caractère non galiléen du référentiel lié à la voiture, on admet que, dans l'application du principe fondamental de la dynamique dans le référentiel lié à la voiture, il est nécessaire d'introduire une force supplémentaire, nommée force d'inertie d'entrainement, d'expression mau⃗_x.
Q 10. En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel lié à la voiture, montrer que l'équation différentielle du mouvement en X(t) = x(t) − L_0 peut être mise sous la forme
(d^2 X)/(dt^2) + (ω_0)/Q(dX)/(dt) + ω_0^2 X = a
en exprimant Q et ω_0 en fonction de m, k et α.
Résolution
On suppose que la phase de freinage commence à t = 0 et on note t_0 l'instant correspondant à l'arrêt complet de la voiture. On suppose qu'avant la phase de freinage, le ressort a une longueur égale à L_0. On s'intéresse au cas où le facteur de qualité Q est égal à 1/2.
Q 11. Quelle est l'expression de X(t) pour t < 0 ?
Q 12. Représenter l'allure des variations de X(t) pour tout t, en supposant que le régime permanent a le temps de s'établir entre t = 0 et t_0. On précisera en particulier l'expression approchée de X(t) à t = t_0 ainsi que sa valeur si t tend vers l'infini mais le calcul complet n'est en aucun cas demandé.
II.B - Utilisation du matériau piézoélectrique
L'idée générale est que le matériau doit permettre la mesure de l'accélération d'une voiture qui va, au cours d'un choc, varier brutalement. On ne considèrera dans cette partie qu'un mouvement de translation rectiligne de la voiture.
Figure 4
Lors d'une variation de vitesse de la voiture, la masse mobile, soumise à la force d'inertie d'entrainement, va plus ou moins comprimer le cristal entrainant l'apparition d'une différence de potentiel entre ses deux faces.
Le problème est de différencier un freinage brutal d'un choc. On va considérer deux cas avec l'hypothèse simplificatrice consistant à considérer que l'accélération de la voiture reste constante jusqu'à son arrêt complet.
Cas numéro 1 : Freinage brutal
La voiture roule à vitesse constante V = 90 km ⋅ h^(− 1) soit 25 m ⋅ s^(− 1). On suppose que la voiture s'arrête totalement après Δt = 2, 5 s.
Q 13. Calculer la valeur numérique de l'accélération moyenne durant la phase d'arrêt de la voiture.
Cas numéro 2 : Arrêt suite à un choc
On néglige la déformation de la voiture de sorte que l'ensemble de celui-ci est animé de la même vitesse par rapport au sol à un instant donné. La voiture roule à la vitesse constante V = 90 km ⋅ h^(− 1) et on suppose qu'elle s'arrête totalement en Δt = 0, 15 s.
Q 14. Calculer la valeur numérique de l'accélération moyenne durant la phase d'arrêt de la voiture.
Le cristal de quartz utilisé a pour masse m = 2, 81 g. Il est caractérisé par la quantité χ correspondant au rapport entre la tension apparaissant à ses bornes et l'intensité de la force à laquelle il est soumis. On donne ici : χ = 6, 0 V ⋅ N^(− 1).
Q 15. Déterminer, dans les deux cas précédents, la valeur numérique de l'intensité de la force d'inertie d'entrainement.
Q 16. Déterminer, dans les deux cas précédents, la valeur numérique de la différence de potentiel qui apparait aux bornes du cristal de quartz. La différence vous semble-t-elle décelable?
Q 17. Les variations de la tension aux bornes de la lame sont analogues à celles de X(t) obtenues à la question 12, le facteur de qualité étant égal à 1/2. Justifier le choix de ce coefficient et préciser quel serait le problème si le régime permanent n'était pas atteint entre t = 0 et t_0.
II.C - Détecteur de tension
On dispose d'un amplificateur linéaire intégré (alimenté en + 15 V/ − 15 V ), d'une diode électroluminescente (LED) et de divers dipôles. La LED a une tension à ses bornes égale à U_d = 1, 9 V lorsqu'elle éclaire et la puissance maximale qu'elle peut dissiper est égale à P_(max) = 100 mW. On supposera de plus que sa résistance interne est négligeable. Elle est symbolisée comme indiqué figure 5.
Figure 5
Q 18. Proposer un montage qui permettrait de faire briller la LED lorsque la tension aux bornes du quartz devient supérieure à une valeur limite, cette dernière permettant de différencier le cas d'un freinage brusque d'un choc.
On indiquera la démarche et le choix des composants choisis. Cette question, significativement valorisée au niveau du barème, nécessite de faire preuve d'initiative.
III Microgénérateur piézoélectrique
Un élément piézoélectrique est collé à une «poutre», qui se met en mouvement sous l'effet de vibrations extérieures. L'élément piézoélectrique transforme l'énergie récupérée en énergie électrique, ce qui constitue une source autonome de puissance.
Figure 6
On appelle F⃗_E la force excitatrice ambiante, supposée sinusoïdale : F⃗_E = F_E u⃗_z = F_0 cos(ωt)u⃗_z. On travaille dans un référentiel terrestre. On se place en régime sinusoïdal forcé.
III. A - Le déplacement vertical du centre d'inertie de la poutre peut être modélisé par l'équation mécanique
M(d^2 z)/(dt^2) + α(dz)/(dt) + kz = F_E
Q 19. Que représente le terme M(d^2 z)/(dt^2) ?
Q 20. Indiquer à quel type de forces correspondent − kz et − α(dz)/(dt). Expliquer qualitativement quelles caractéristiques de la poutre sont modélisées par ces forces.
III.B -
Q 21. On pose z(t) = Re(Z_–_m e^(iωt)). Exprimer Z_–_m, amplitude complexe de la vibration mécanique suivant l'axe vertical (Oz).
Dans toute la suite de cette partie III on se place à la pulsation ω_0 = √(k/M).
Q 22. Décrire, à cette pulsation, le mouvement du centre d'inertie de la poutre.
Q 23. Déduire de ce qui précède l'expression de la vitesse de déplacement vertical v_z du centre d'inertie de la poutre en fonction de F_0, α, ω_0 et du temps.
III. C - La partie électrique du dispositif peut être modélisée de la façon suivante : une source de courant d'intensité βv_z est disposée en parallèle avec un condensateur de capacité C_0 et une résistance d'utilisation R. Soit V la tension aux bornes de R. On veut montrer que la puissance moyenne récupérée par le dipôle d'utilisation est proportionnelle au carré de F_0.
Figure 7
Q 24. Que représente la capacité C_0 ?
Q 25. β est appelé facteur de force : c'est le rapport entre la force appliquée à la lame piézoélectrique et la tension aux bornes de celle-ci. Montrer que βv_z est homogène à l'intensité d'un courant électrique.
Q 26. Exprimer V_m, amplitude complexe de la tension aux bornes de la résistance d'utilisation en fonction de α, β, F_0, R, C_0 et ω_0.
Q 27. En déduire l'expression de la puissance moyenne récupérée P par la résistance d'utilisation.
IV Oscillateurs
On s'intéresse ici aux dispositifs résonateurs ou oscillateurs : ils sont capables de générer des oscillations à une fréquence qui leur est propre.
IV.A - Dans le circuit électrique d'oscillation est ajouté une «contre-réaction» ; on va s'intéresser, dans un premier temps, au rôle de la contre-réaction. Le circuit étudié est représenté figure 8 .
Figure 8
Le schéma du circuit peut prendre la forme de deux quadripôles de fonctions de transfert respectives H_–(jω) et K_–(jω) (définies comme le rapport des amplitudes complexes de la tension de sortie sur la tension d'entrée). Donner les relations faisant intervenir les fonctions de transfert :
Q 28. entre v_–_s et v_–_e;
Q 29. entre v_–_s, v_–_e et v_–_1.
Q 30. En déduire la fonction de transfert globale du montage A_–(jω) = v_–_s/v_–_1 en fonction de H_–(jω) et K_–(jω). À fréquence non nulle, l'ensemble représenté peut constituer un oscillateur si la tension de sortie est non nulle alors que la tension d'entrée est nulle. En effet, le montage est alors capable de générer seul des oscillations.
Q 31. Donner une relation vérifiée par H_–(jω) et K_–(jω) qui permette d'avoir un oscillateur.
En déduire deux relations :
Q 32. entre les gains |H_–(jω)| et |K_–(jω)| notée relation (R1);
Q 33. entre les phases arg(H_–(jω)) et arg(K_–(jω)) notée relation (R2).
IV.B - Dans cette sous-partie, on étudie le filtre de Wien, dont on va voir après qu'il peut servir dans un montage oscillateur.
Le filtre est constitué de deux condensateurs identiques de capacité C et de deux conducteurs ohmiques identiques de résistance R. Le circuit correspondant est représenté sur la figure 9 .
Figure 9
Q 34. Déterminer la fonction de transfert K_–(jω) = u_–_s/u_–_e de ce filtre.
Q 35. Représenter l'allure du gain |K_–(jω)| de ce filtre en fonction de ω.
Q 36. Donner l'expression de la pulsation de résonance en fonction de R et de C. Que vaut |K_–(jω)| à la résonance?
IV.C - Le filtre de Wien est inséré dans le montage de la figure 10 ; on supposera que l'amplificateur linéaire intégré est idéal et fonctionne en régime linéaire.
On choisit de se placer à la pulsation ω_0 = 1/(RC). Les notations employées ici sont volontairement similaires à celles de la figure 8.
Q 37. Exprimer, uniquement en fonction de R, l'impédance complexe de la branche où R et C sont en série.
Q 38. Même question pour R et C en parallèle.
Q 39. Que vaut le rapport |(v_–)/(v_–_s)| ? Commenter par rapport à l'étude faite en IV.B.
Q 40. Exprimer la différence de potentiel v_– en fonction de v_–_e, v_–_s, R_1 et R_2.
Figure 10
Q 41. Déterminer l'expression de la fonction de transfert H_–(jω_0).
Q 42. Proposer des valeurs de R_1 et de R_2 permettant à ce montage de fonctionner comme oscillateur.
IV.D - Plus fiable que les oscillateurs électriques, une lame de quartz peut être utilisée à la place du filtre de Wien. On donne fréquemment pour le quartz le modèle électrique de la figure 11 qui résume assez bien son comportement.
Figure 11
Q 43. Étudier le comportement asymptotique du modèle : il s'agit, qualitativement, de trouver une représentation simplifiée du quartz pour les cas ω → 0 et ω → ∞.
La courbe de la figure 12 représente l'allure de la partie imaginaire de l'impédance équivalente du modèle électrique du quartz: Im(Z_–_(AB)) en fonction de la fréquence lorsque la résistance R est négligeable.
Q 44. Quelles sont les pulsations remarquables ?
Figure 12
Q 45. Dans quel(s) intervalle(s) peut-on dire que le comportement du quartz est capacitif?
Questions fréquentes
4 questions
Sur quoi porte le sujet de physique-chimie 1 Centrale TSI 2020 ?
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Sur quoi porte le sujet de physique-chimie 1 Centrale TSI 2020 ?
+
Il porte sur les matériaux piézoélectriques : capteur de force, accéléromètre d'airbag, microgénérateur et oscillateurs électroniques.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale physique-chimie TSI 2020 ?
+
Des bilans de forces incomplets, des confusions entre l'ALI idéal et le régime linéaire, et des réponses non justifiées.
Le sujet Centrale physique-chimie 1 TSI 2020 est-il long ?
+
Non, le rapport le décrit comme de longueur très raisonnable, avec 45 questions abordées par de nombreux candidats dans leur quasi-totalité.
Ce sujet Centrale TSI 2020 aborde-t-il de la chimie ?
+
Non, le rapport précise qu'il ne fait pas appel au programme de chimie et porte uniquement sur l'électronique et la mécanique.
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