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Centrale Mathématiques 2 TSI 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Décomposition de matrices et calcul approché d'intégrales par quadrature
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Le sujet comprend deux problèmes indépendants couvrant une grande partie du programme : calcul matriciel, produit scalaire, polynômes, trigonométrie, dérivabilité et continuité. Le premier problème étudie plusieurs décompositions de matrices, le second construit une méthode de quadrature pour approcher des intégrales et compare deux choix de nœuds.

  1. 1Problème I : décomposition de matricesDécomposition QR d'une matrice à partir d'un exemple introductif puis dans le cas général, puis décomposition d'une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé sur R.
  2. 2Problème II : calcul approché d'intégrales par quadratureConstruction d'une méthode de quadrature, majoration de l'erreur, puis comparaison de deux jeux de nœuds (nœuds équidistants et zéros des polynômes de Tchebychev).

Difficile. Le rapport indique que le sujet, pourtant de longueur raisonnable, a été globalement assez mal compris, en particulier le deuxième problème, et qu'il a posé des difficultés à la majorité des candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 5,54 / 20 · écart-type 4,02 · 1 019 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
5,54/ 20
Écart-type
4,02
Présents
1 019
Coefficient
12
Durée
4 h
1er quartile
2,7
Médiane
4,5
3e quartile
7,1
moyenne 5,5405101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 1 juillet 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Procédé de Gram-Schmidt mal maîtrisé · Confusion sur la matrice de passage · Théorème de Rolle quasiment inconnu
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Le jury juge le sujet de longueur raisonnable mais globalement assez mal compris, en particulier le second problème. Une bonne connaissance du cours des deux années permettait de mieux appréhender l'ensemble du sujet, mais le cours reste souvent mal maîtrisé et les questions de cours simples n'ont pas été suffisamment bien réussies. Le jury déplore de nombreuses confusions dans la lecture de l'énoncé et la compréhension des définitions données.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Procédé de Gram-Schmidt mal maîtrisé

    Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt n'est pas toujours bien mené, et de nombreuses erreurs sont relevées dans les calculs de normes malgré une méthode souvent réussie.

    « Le procédé d’orthonormalisation de Gram Schmidt n’est pas toujours bien mené. »
  2. 2
    Confusion sur la matrice de passageQ4, Q5

    De nombreux candidats confondent la matrice d'une base et la matrice de passage entre deux bases, ce qui affecte les questions 4 et 5.

    « de nombreux candidats évoquent la matrice d’une base au lieu de la matrice de passages entre deux bases. »
  3. 3
    Théorème de Rolle quasiment inconnuQ22, Q23

    Le théorème de Rolle, nécessaire aux questions 22 et 23, est quasiment inconnu des candidats ; lorsqu'il est cité, aucune hypothèse n'est donnée.

    « Le théorème de Rolle est quasiment inconnu. »
  4. 4
    Questions traitées dans le désordre

    Beaucoup de candidats traitent les questions de manière aléatoire, ce qui les empêche de comprendre le sujet de façon progressive et nuit à la cohérence de la copie.

    « Les candidats traitent souvent les questions dans un ordre aléatoire ne se souciant aucunement de la cohérence du sujet. »
  5. 5
    Aire mal interprétée (Q18-Q19)Q18, Q19

    Aux questions 18 et 19, mal comprises, beaucoup de candidats évoquent une aire nulle ou négative.

    « Beaucoup de candidats évoquent une aire nulle ou négative. »
  6. 6
    Domaine de définition non justifié (Q36)Q36

    À la question 36, très peu réussie, les candidats oublient pour la plupart de justifier que le domaine de définition est symétrique par rapport à 0.

    « les candidats oublient pour la plupart de justifier que le domaine de définition est symétrique par rapport à 0. »

Ce qui a été bien réussi

  • Le calcul du déterminant est dans la plupart des cas bien réalisé.
  • La question 13 a souvent été bien réussie.
  • La question 33 a été bien réussie, la réponse étant quasiment donnée dans l'énoncé.
  • Les questions 34, 35 et 37 ont été abordées par des candidats semblant assez à l'aise en trigonométrie.

Conseils du jury

  • Ne pas effectuer de calculs inutiles, comme calculer une matrice inverse alors qu'elle n'est pas requise par la question.
  • Simplifier systématiquement les résultats numériques obtenus.
  • Rédiger sans excès d'abréviations et soigner la présentation de la copie, pour ne pas nuire à la compréhension des correcteurs.
  • Définir précisément les hypothèses de récurrence et démontrer les affirmations plutôt que de se contenter d'un exemple.
  • Traiter les questions dans leur ordre logique pour suivre la progression du sujet plutôt que de répondre de manière aléatoire.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Ce sujet se compose de deux problèmes indépendants l'un de l'autre.

I Décompositions de matrices

Notations et rappels

Dans tout ce problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
L'espace vectoriel ℝ^n est muni de sa structure euclidienne canonique et on note ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ son produit scalaire.
M_n(ℝ) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n à coefficients réels.
I_n désigne la matrice identité de M_n(ℝ).
La transposée d'une matrice M ∈ M_n(ℝ) est notée M^⊤.
On rappelle qu'une matrice M ∈ M_n(ℝ) est orthogonale lorsque M^⊤M = MM^⊤ = I_n.
Une matrice A = (a_(i, j)) ∈ M_n(ℝ) est triangulaire supérieure lorsque a_(i, j) = 0 dès que 1 ⩽ j < i ⩽ n.
On pourra utiliser sans preuve les deux résultats suivants :
  • le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure ;
  • l'inverse d'une matrice triangulaire supérieure inversible est triangulaire supérieure.

Objectifs

Ce problème étudie deux types de décompositions matricielles, d'abord pour une matrice inversible, puis pour une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé sur ℝ.

I.A - Un exemple introductif

Soit P = (1, − 3, 4; 2, 0, − 1; − 2, 3, 1).
On note c_1, c_2 et c_3 les colonnes de P considérées comme des vecteurs de ℝ^3.
Q 1. Justifier que la matrice P est inversible. En déduire que la famille B_1 = (c_1, c_2, c_3) est une base de ℝ^3.
Q 2. Appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base B_1 = (c_1, c_2, c_3) pour construire une base orthonormée B_2 = (u_1, u_2, u_3) de ℝ^3.
Q 3. Soit Q la matrice de passage de la base canonique B de ℝ^3 à la base B_2. Justifier que Q^(− 1) = Q^⊤.
Q 4. Déterminer la matrice de passage R de la base B_2 à la base B_1.
On constate que R est triangulaire supérieure à éléments diagonaux strictement positifs.
Q 5. Justifier que P = QR.

I.B - Cas général : décomposition QR

Q 6. Soit P ∈ M_n(ℝ) une matrice inversible. En s'inspirant de la démarche mise en place sur l'exemple, montrer qu'il existe une matrice Q orthogonale et une matrice R triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs telles que P = QR.
Q 7. Soit b un vecteur de ℝ^n et P une matrice inversible de M_n(ℝ). Expliquer l'intérêt de la décomposition P = QR, avec Q orthogonale et R triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs, pour résoudre le système linéaire Px = b, d'inconnue x ∈ ℝ^n.
Les deux questions qui suivent permettent de démontrer l'unicité de la décomposition précédente.
Q 8. Soit M ∈ M_n(ℝ) une matrice à la fois orthogonale et triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs. En raisonnant de proche en proche de la première à la dernière colonne de M, montrer que M = I_n.
Q 9. On considère quatre matrices Q_1, Q_2, R_1, R_2 de M_n(ℝ) telles que Q_1 et Q_2 sont orthogonales, R_1 et R_2 sont triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs et Q_1 R_1 = Q_2 R_2. Montrer que Q_1 = Q_2 et R_1 = R_2.

I.C - Décomposition d'une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé sur ℝ

Q 10. Soit A une matrice de M_n(ℝ) dont le polynôme caractéristique χ_A est scindé sur ℝ. En utilisant la décomposition QR d'une matrice inversible bien choisie, démontrer qu'il existe une matrice Q ∈ M_n(ℝ) orthogonale et une matrice T ∈ M_n(ℝ) triangulaire supérieure telles que A = QTQ^⊤.
Q 11. Donner un exemple de matrice A ∈ M_3(ℝ) diagonalisable et une décomposition A = QTQ^⊤ avec Q ∈ M_3(ℝ) orthogonale et T ∈ M_3(ℝ) triangulaire supérieure à éléments diagonaux strictement positifs, mais non diagonale.
Q 12. Donner un exemple de matrice A ∈ M_3(ℝ) diagonalisable et une décomposition A = QTQ^⊤ avec Q ∈ M_3(ℝ) orthogonale et T ∈ M_3(ℝ) diagonale à éléments diagonaux strictement positifs.

II Calcul approché d'intégrales par quadrature

Notations et rappels

Dans tout ce problème, n désigne un entier naturel.
Pour 0 ⩽ i, j ⩽ n, le symbole de Kronecker δ_(i, j) est défini par δ_(i, j) = {1, si i = j; 0, si i ≠ j
On note ℝ[X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels et ℝ_n[X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. On identifie un polynôme et la fonction polynomiale associée, définie sur le segment [ − 1, 1] à valeurs dans ℝ.
Pour toute fonction g continue sur [ − 1, 1] et à valeurs dans ℝ, on note N(g) = max_(x ∈ [ − 1, 1])|g(x)|.
Pour toute fonction g de classe C^k, on note g^((k)) sa dérivée k-ième.

Objectifs

On s'intéresse dans ce problème à une méthode numérique de calcul approché de
I(f) = ∫_(− 1)^1 f(t)dt
pour une fonction f continue sur [ − 1, 1] à valeurs dans ℝ. Le principe de cette méthode, dite par quadrature, consiste à approcher I(f) par une somme, pondérée par des poids (ω_i)_(0 ⩽ i ⩽ n), de valeurs prises par la fonction f en n + 1 points distincts ( r_0, r_1, …, r_n ) de l'intervalle [ − 1, 1].
On note r le (n + 1)-uplet (r_0, r_1, …, r_n) et Σ_r(f) la somme ∑_(k = 0)^n ω_k f(r_k).
Les réels (r_0, …, r_n) ∈ [ − 1, 1]^(n + 1) sont appelés nœuds de la quadrature. La performance de cette méthode d'approximation dépend du nombre de nœuds, du choix de ces nœuds et de la régularité de la fonction f. Ces trois aspects sont abordés dans ce problème.

II.A - Méthode de quadrature

Dans cette sous-partie, (r_0, r_1, …, r_n) sont n + 1 points distincts de l'intervalle [ − 1, 1].

II.A.1) Détermination des poids (ω_i)

Pour tout entier i ∈ [ [0, n] ], on note A_i(X) = ∏_(k ≠ i)(X − r_k)/(r_i − r_k).
Q 13. Vérifier que, pour tout couple (i, j) ∈ [ [0, n] ]^2, A_i(r_j) = δ_(i, j).
Q 14. Démontrer que (A_0, A_1, …, A_n) est une base de ℝ_n[X] et donner la décomposition, dans cette base, d'un polynôme P quelconque de ℝ_n[X].
On se propose de démontrer qu'il existe un unique (n + 1)-uplet (ω_0, …, ω_n) ∈ ℝ^(n + 1) pour lequel l'égalité
∫_(− 1)^1 P(x)dx = ∑_(k = 0)^n ω_k P(r_k)
est valable pour toute fonction P polynomiale de degré inférieur ou égal à n.
On raisonne par analyse-synthèse.
a) Analyse
On suppose l'existence d'un tel (n + 1)-uplet (ω_0, …, ω_n) ∈ ℝ^(n + 1).
Q 15. Pour tout entier i ∈ [ [0, n] ], exprimer ω_i en fonction de A_i.
Q 16. En déduire l'unicité de (ω_0, …, ω_n).
b) Synthèse
Q 17. Démontrer que, pour les valeurs ω_0, …, ω_n, déterminées à la question 15 , l'égalité
∫_(− 1)^1 P(x)dx = ∑_(k = 0)^n ω_k P(r_k)
est valable pour toute fonction P polynomiale de degré inférieur ou égal à n.
Dans toute la suite, pour un jeu de nœuds r = (r_0, …, r_n) donné, on note Q_r le polynôme
Q_r = ∏_(k = 0)^n(X − r_k)
Si (ω_0, …, ω_n) sont les valeurs déterminées à la question 15 , on rappelle que
Σ_r(f) = ∑_(k = 0)^n ω_k f(r_k)
Q 18. On choisit n = 0 et r_0 = 0. Donner l'interprétation géométrique, en termes d'aire, de Σ_r(f) lorsque f est positive sur [ − 1, 1].
Q 19. On choisit n = 1, r_0 = − 1 et r_1 = 1. Donner l'interprétation géométrique, en termes d'aire, de Σ_r(f) lorsque f est positive sur [ − 1, 1].

II.A.2) Majoration de l'erreur

On suppose f de classe C^(n + 1) sur [ − 1, 1] et on se propose de majorer l'erreur d'approximation |I(f) − Σ_r(f)|.
Q 20. Justifier l'existence de N(f^((n + 1))) et de N(Q_r).
Q 21. Démontrer que T_(r, f) = ∑_(k = 0)^n f(r_k)A_k est l'unique polynôme de ℝ_n[X] vérifiant T_(r, f)(r_i) = f(r_i), pour tout entier i ∈ [ [0, n] ].
On se propose de démontrer que, pour tout réel x ∈ [ − 1, 1],
|f(x) − T_(r, f)(x)| ⩽ (N(f^((n + 1)))N(Q_r))/((n + 1)!)
On suppose que g est une fonction de classe C^(n + 1) sur [ − 1, 1] s'annulant en au moins n + 2 points distincts de [ − 1, 1].
Q 22. Démontrer que g^′ s'annule en au moins n + 1 points distincts de ] − 1, 1[.
Q 23. Démontrer que g^((n + 1)) s'annule en au moins un point de l'intervalle ] − 1, 1[.
Q 24. Démontrer que l'inégalité (II.1) est vérifiée si x ∈ {r_0, …, r_n}.
Q 25. On suppose que x ∉ {r_0, …, r_n}. Montrer qu'il existe un réel λ_x pour lequel la fonction g_x définie sur [-1, 1] par
∀t ∈ [ − 1, 1], g_x(t) = f(t) − T_(r, f)(t) − λ_x Q_r(t)
vérifie g_x(x) = 0.
Q 26. En utilisant le résultat de la question 23 , démontrer qu'il existe un réel c_x ∈ ] − 1, 1[ tel que
λ_x = 1/((n + 1)!)f^((n + 1))(c_x)
et conclure.
Q 27. En déduire que |I(f) − Σ_r(f)| ⩽ 2(N(f^((n + 1)))N(Q_r))/((n + 1)!).

II.B - Choix d'un jeu de nœuds

II.B.1) Nœuds équidistants

On choisit un jeu s = (s_0, …, s_n) de n + 1 nœuds équidistants dans l'intervalle [ − 1, 1 ] vérifiant s_0 = − 1 et s_n = 1. On cherche à minorer N(Q_s).
Q 28. On pose h = 2/n et x = − 1 + th avec t ∈ [0, n]. Exprimer |Q_s(x)| en fonction de φ_(n + 1)(t) = ∏_(k = 0)^n|t − k|.
Q 29. Justifier que la fonction φ_(n + 1) admet un maximum sur [0, n] et que ce maximum est atteint sur [0, n/2].
On admet dans la suite que ce maximum est atteint sur [0, 1].
Q 30. Démontrer que max_([0, 1])φ_2 = 2/(3√3).
Q 31. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n ⩾ 1, max_([0, n])φ_(n + 1) ⩾ 1/4(n − 1) !.
Q 32. En déduire une minoration de N(Q_s).

II.B.2) Zéros des polynômes de Tchebychev

On cherche un nouveau jeu de nœuds c = (c_0, …, c_n) utilisant une famille de polynômes.
On rappelle que arccos est la fonction réciproque de la fonction | [0, π], →, [ − 1, 1]; θ, ↦, cos(θ)
Pour tout entier n ∈ ℕ, on note T_n : x ↦ cos(narccos(x)).
Q 33. Préciser le domaine de définition de T_n.
Q 34. Calculer, pour tout x dans le domaine de définition, T_0(x), T_1(x), T_2(x) et T_3(x).
Q 35. Pour tout entier naturel n, calculer T_n(− 1), T_n(0) et T_n(1).
Q 36. Étudier la parité de T_n en fonction de n.
Q 37. Pour tout x dans le domaine de définition, démontrer que T_(n + 1)(x) + T_(n − 1)(x) = 2xT_n(x).
Q 38. En déduire que T_n est une fonction polynomiale dont on précisera le degré et le coefficient dominant. Pour tout entier naturel n, T_n est le n-ième polynôme de Tchebychev.
Q 39. Montrer que T_(n + 1) admet n + 1 racines distinctes dans l'intervalle [ − 1, 1].
On rappelle qu'après l'exécution de l'instruction Python import numpy as np, np. pi désigne la constante π et np. cos correspond à la fonction cosinus. La fonction np. cos peut s'appliquer à un tableau, elle produit alors un nouveau tableau de même dimension dont les composantes sont les cosinus des composantes du tableau passé en paramètre. Par ailleurs, l'expression np.linspace( x, y, n ) construit un vecteur de n valeurs, régulièrement espacées, la première valant x et la dernière y .
Q 40. Compléter la fonction Python Tchebychev(n) ci-dessous qui prend en argument un entier n et renvoie un couple de deux vecteurs (u_0, …, u_(999)) et (y_0, …, y_(999)), avec, pour tout k ∈ [ [0, 999] ], y_k = T_n(u_k).
import numpy as np
def Tchebychev(n):
    T = np.linspace(np.pi/2, np.pi, 1000)
    U = np.cos(T)
    Y = . . .
    return U, Y
En reliant les points de coordonnées ( u_k, y_k ) pour deux valeurs du paramètre n, on a obtenu les deux courbes suivantes.
Courbe 1
Courbe 2
Q 41. Pour chacune de ces deux courbes, préciser, en la justifiant, la valeur utilisée pour le paramètre n.
Q 42. On choisit les racines obtenues en question 39 comme nœuds du jeu c = (c_0, …, c_n). Donner la valeur de N(Q_c).

II.B.3) Comparaison des ces deux jeux de nœuds

Q 43. En admettant que n! ∼ √(2πn)e^(− n)n^n, calculer la limite, lorsque n tend vers + ∞, du rapport (N(Q_c))/(N(Q_s)).
Q 44. À l'aide de ce résultat et de celui de la question 27, comparer la qualité des estimations de l'intégrale sur [ − 1, 1] par quadrature, selon le choix de s ou c comme jeu de nœuds.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Centrale TSI 2020 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Centrale TSI 2020 ?

Le sujet comporte deux problèmes indépendants sur le calcul matriciel, le produit scalaire et l'orthonormalisation de Gram-Schmidt pour le premier, puis les polynômes, la trigonométrie, la dérivabilité et la continuité pour le second, consacré à une méthode de quadrature.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Le jury relève une confusion sur la matrice de passage entre deux bases, une méconnaissance du théorème de Rolle, des questions traitées dans un ordre aléatoire, et une mauvaise interprétation d'une aire trouvée nulle ou négative.

Ce sujet de Centrale maths 2 TSI 2020 est-il difficile ?

Le rapport indique que le sujet, pourtant de longueur raisonnable, a été globalement assez mal compris par les candidats, en particulier le second problème.

Quel problème du sujet a posé le plus de difficultés ?

Le rapport indique que le second problème, sur le calcul approché d'intégrales par quadrature, a été globalement moins bien compris que le premier.

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