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CCINP Mathématiques TSI 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Trois problèmes indépendants : projection et série de Fourier, endomorphisme vérifiant f² = ½(f + Id), intégrales gaussiennes et extrema
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L'épreuve comporte trois problèmes indépendants couvrant l'ensemble du programme des deux années de TSI. Le premier étudie une projection orthogonale sur des fonctions 2π-périodiques puis la série de Fourier de la fonction valeur absolue de sinus de 2x. Le deuxième porte sur un endomorphisme vérifiant f² = ½(f + Id), sa diagonalisation puis une suite récurrente linéaire d'ordre 2. Le troisième traite d'intégrales liées à la fonction gaussienne, de la recherche d'extrema d'une fonction de deux variables et d'une intégrale dépendant d'un paramètre.

  1. 1Problème 1 : projection et série de Fourierproduit scalaire sur les fonctions 2π-périodiques, projection orthogonale puis calcul des coefficients de Fourier de la fonction valeur absolue de sinus de 2x.
  2. 2Problème 2 : algèbre linéaire, endomorphisme vérifiant une relation quadratiqueétude d'un exemple en dimension 2 puis du cas général d'un endomorphisme vérifiant f² = ½(f + Id), avec diagonalisation et suite récurrente linéaire d'ordre 2.
  3. 3Problème 3 : intégrales gaussiennes, extrema et intégrale à paramètreconvergence d'intégrales faisant intervenir la fonction gaussienne, recherche des extrema d'une fonction de deux variables puis dérivation sous le signe intégral.

Difficulté moyenne. le rapport signale un sujet de longueur raisonnable, abordé par une grande partie des candidats, mais des lacunes de cours ont pénalisé de nombreuses copies plus qu'une réelle difficulté technique.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,67 / 20 · écart-type 3,78 · 1 230 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,67/ 20
Écart-type
3,78
Présents
1 230
Coefficient
19
Durée
4 h
moyenne 9,6705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 juillet 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Notions élémentaires mal maîtrisées · Bilinéarité confondue avec les linéarités partielles · Confusion entre petit o et équivalent
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L'épreuve mettait en avant les capacités de calcul, de raisonnement et la maîtrise du cours sur l'ensemble du programme des deux années. Une bonne proportion du sujet a été abordée par une grande partie des candidats et aucun des trois problèmes n'a été délaissé. Le jury regrette néanmoins qu'une durée de quatre heures n'ait permis à certains candidats de présenter qu'une à quatre pages de résultats, souvent par méconnaissance du cours plutôt que par manque de temps.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Notions élémentaires mal maîtriséesQ1

    dès la première question, une méconnaissance des notions les plus élémentaires comme le Vect d'une famille de vecteurs a été observée.

  2. 2
    Bilinéarité confondue avec les linéarités partiellesQ2

    la définition de la bilinéarité est souvent confondue avec les linéarités à droite ou à gauche, et le théorème des trois hypothèses est utilisé en oubliant la continuité.

  3. 3
    Confusion entre petit o et équivalentQ25 à Q27

    de nombreux candidats confondent la notation petit o et l'équivalent, et pensent à tort qu'une fonction de limite nulle en plus l'infini est automatiquement intégrable.

  4. 4
    Diagonalisation mal justifiéeQ15 et Q16

    le vocabulaire de la réduction est souvent mal utilisé, avec des arguments erronés comme un déterminant non nul impliquant directement la diagonalisabilité.

  5. 5
    Limites calculées sans justificationQ24

    beaucoup de candidats calculent une limite sans explication ou avec des justifications très approximatives.

  6. 6
    Confusion entre supplémentaire et complémentaireQ18 et Q19

    des candidats confondent supplémentaire et complémentaire, et concluent à une égalité d'ensembles à partir d'une simple inclusion.

Ce qui a été bien réussi

  • la parité de la fonction étudiée en question 7 a été plutôt bien réussie
  • les questions 10 et 11 ont été plutôt réussies quand elles ont été traitées
  • la question 21 sur la récurrence a été plutôt bien réussie
  • les questions 39 à 42 ont été plutôt réussies, mais beaucoup de candidats se sont arrêtés avant dans le sujet

Conseils du jury

  • connaître le nom usuel des théorèmes de manière sûre
  • donner tous les arguments, même simples, conduisant à une conclusion
  • s'entraîner régulièrement à rédiger des réponses de manière claire, explicite et structurée
  • adapter sa stratégie au terme employé dans la question, par exemple vérifier n'appelle pas la même démarche qu'une méthode générale
  • chercher à démontrer rigoureusement une formule donnée par l'énoncé plutôt que de forcer ses propres calculs

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES

Lundi 4 mai : 8h - 12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de trois problèmes indépendants.

PROBLÈME 1

(Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre)

Partie I - Préliminaires

Soit E l'espace vectoriel des fonctions C^1(ℝ, ℝ)2π-périodiques.
Soit k un élément de ℕ, on considère les fonctions :
f_k : ℝ, → ℝ; x ↦ cos(kx) et g_k : ℝ, →, ℝ; x, ↦
On pose C_k = Vect(f_k) et S_k = Vect(g_k).
Q1. Montrer que C_k et S_k sont des sous-espaces vectoriels de E et donner leurs dimensions.
Soient (f, g) des éléments de E^2, on définit : φ(f, g) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(t)g(t)dt.
Q2. Montrer que φ est un produit scalaire sur E.
On munit pour la suite l'espace vectoriel E du produit scalaire φ.
Q3. Calculer la norme de f_k et en déduire une base orthonormée de C_k.
Q4. Soit f un élément E, donner l'expression de la projection orthogonale de f sur C_k.
Q5. Soient f un élément de E et k un élément ℕ, exprimer φ(f, f_k) en fonction des coefficients de Fourier de f.
Q6. Soit f un élément de E, donner le lien entre la projection de f sur C_k et les coefficients de Fourier de f.

Partie II - Série de Fourier

Soit f la fonction définie pour tout élément x de ℝ par : f(x) = |sin(2x)|.
Q7. Montrer que f est paire sur ℝ et périodique de période π/2.
Q8. Étudier f sur un domaine le plus restreint possible. Donner la représentation graphique de f sur [ − π, 2π].
Q9. Calculer la valeur moyenne de f sur une période.
Q10. Linéariser sin(2x)cos(4nx).
Q11. Montrer que pour tout élément n appartenant à ℕ^∗, ∫_0^(π/2)sin(2x)cos(4nx)dx = (− 1)/(4n^2 − 1).
Q12. Donner les coefficients de Fourier de f.
Q13. En utilisant le développement de Fourier de f pour x = π/4, montrer que ∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^n)/(4n^2 − 1) = (2 − π)/4.

PROBLÈME 2

Partie I - Exemple

Soit f une application linéaire de ℝ^2 dans ℝ^2 définie par f(x, y) = 1/4(x + 3y, 3x + y).
Q14. Déterminer la matrice de f dans la base canonique de ℝ^2 et en déduire que f^2 = 1/2(f + Id).
Q15. Montrer que f est diagonalisable et donner une base de vecteurs propres.

Partie II - Cas général

Dans cette partie, E désigne un ℝ-espace vectoriel de dimension finie n appartenant à ℕ^∗.
On note L(E) l'ensemble des endomorphismes de E et Id_E l'endomorphisme identité de E.
On considère f un endomorphisme de E vérifiant la relation f^2 = 1/2(f + Id).
Q16. Prouver que l'endomorphisme f est inversible et exprimer son inverse f^(− 1) en fonction de Id_E et de f.
Q17. Justifier que ker(f − Id_E) et ker(f + 1/2Id_E) sont des sous-espaces vectoriels de E .
Q18. Montrer que : E = ker(f − Id_E) ⊕ ker(f + 1/2Id_E).
Q19. Calculer (f + 1/2Id_E) ∘ (f − Id_E). En déduire que ker(f + 1/2Id_E) = Im(f − Id_E).
Q20. Exprimer f^3 et f^4 comme combinaisons linéaires de f et Id_E.
Q21. Établir par récurrence que pour tout entier naturel n, il existe un couple ( a_n, b_n ) de réels tel que : f^n = a_n f + b_n Id_E.
Déterminer a_0, b_0, a_1 et b_1. Exprimer a_(n + 1) et b_(n + 1) en fonction de a_n et b_n pour n dans ℕ.
Q22. Montrer que pour tout n appartenant à ℕ, a_(n + 2) = (a_(n + 1))/2 + (a_n)/2. En déduire les expressions de a_n et b_n en fonction de n pour n élément de ℕ.
Q23. Calculer les limites des suites (a_n) et (b_n) de termes général a_n respectivement b_n.

PROBLÈME 3

Partie I - Préliminaires

Q24. Justifier que pour tout n appartenant à ℕ, t^n e^(− t^2) = o(1/(t^2)).
Q25. Montrer que pour tout n élément de ℕ, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)t^n e^(− t^2)dt est convergente.
Q26. En déduire que pour tout n élément de ℕ, l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)t^n e^(− t^2)dt est convergente.
Q27. En déduire que pour tout polynôme P appartenant à ℝ[X], l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)P(t)e^(− t^2)dt est convergente.
Pour la suite, on admet que ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− t^2)dt = √π et on note I_n = ∫_(− ∞)^(+ ∞)t^n e^(− t^2)dt.
Q28. Établir à l'aide d'une intégration par parties que pour tout n élément de ℕ, I_(n + 2) = (n + 1)/2I_n.
Q29. Montrer que pour tout p élément de ℕ, I_(2p + 1) = 0.
Q30. Montrer que pour tout p appartenant à ℕ, I_(2p) = ((2p)!)/(2^(2p)p!)√π.

Partie II - Recherche des extrema

Soit F une fonction définie sur ℝ^2 par: F(x, y) = 1/(√π)∫_(− ∞)^(+ ∞)(t − x)^2(t − y)^2 e^(− t^2)dt.
Q31. Montrer que pour tout ( x, y ) appartenant à ℝ^2 : F(x, y) = 3/4 + 1/2(x^2 + 4xy + y^2) + x^2 y^2.
Q32. Calculer les dérivées partielles premières de F et en déduire les trois points critiques de F.
Q33. Calculer pour tout x appartenant à ℝ, F(x, x) − F(0, 0) et F(x, − x) − F(0, 0).
Q34. Le point (0, 0) est-il un extremum local?

Partie III - Intégrale dépendant d'un paramètre

Q35. Pour tout x élément de ℝ, montrer que les intégrales ∫_0^(+ ∞)sin(xt)e^(− t^2)dt et ∫_0^(+ ∞)tcos(xt)e^(− t^2)dt convergent.
Pour la suite, on note S(x) = ∫_0^(+ ∞)sin(xt)e^(− t^2)dt et C(x) = ∫_0^(+ ∞)tcos(xt)e^(− t^2)dt.
Q36. Rappeler la formule de Taylor avec reste intégral sans oublier les hypothèses.
Q37. En appliquant la formule précédente à la fonction sin, montrer que pour tout ( λ, a ) éléments de ℝ^2, |sin(λ + a) − sin(a) − λcos(a)| ≤ (λ^2)/2.
Q38. Montrer que pour tout x appartenant à ℝ, lim_(h → 0)(S(x + h) − S(x))/h − C(x) = 0.
Q39. En déduire que la fonction S est dérivable sur ℝ et donner sa dérivée.
Q40. Démontrer que pour tout x élément de ℝ, C(x) = 1/2 − x/2S(x) (on pourra effectuer une intégration par partie).
Q41. Donner une équation différentielle dont S est solution sur ℝ.
Q42. Montrer que pour tout x appartenant à ℝ, S(x) = 1/2e^(− (x^2)/4)∫_0^x e^((t^2)/4)dt.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques CCINP TSI 2020 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques CCINP TSI 2020 ?

L'épreuve couvre les séries de Fourier et la projection orthogonale, la réduction des endomorphismes, et les intégrales à paramètre liées à la fonction gaussienne.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l'épreuve de mathématiques CCINP TSI 2020 ?

Le jury signale une méconnaissance des notions élémentaires d'algèbre linéaire, une diagonalisation souvent mal justifiée et une confusion fréquente entre petit o et équivalent.

L'épreuve de mathématiques CCINP TSI 2020 est-elle difficile ?

Le rapport la décrit comme un sujet de longueur raisonnable, abordé par une grande partie des candidats, où les difficultés viennent surtout d'une connaissance du cours trop approximative.

L'épreuve de mathématiques CCINP TSI 2020 porte-t-elle sur le programme de première ou deuxième année ?

Le rapport indique que le sujet aborde les éléments des deux années de CPGE, avec de nombreuses questions pouvant être traitées dès la première année.

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