CCINP Mathématiques TSI 2018Sujet et corrigé
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CCINP, mathématiques, TSI 2018 : moments d'ordre 2 des variables aléatoires discrètes et équation différentielle hypergéométriqueAfficher ou masquer la section
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CCINP, mathématiques, TSI 2018 : moments d'ordre 2 des variables aléatoires discrètes et équation différentielle hypergéométrique
Sujet de mathématiques du concours CCINP filière TSI 2018, composé de deux problèmes indépendants : le premier étudie l'ensemble des variables aléatoires discrètes admettant un moment d'ordre 2 et la matrice de covariance de trois variables de ce type ; le second résout une équation différentielle linéaire d'ordre 2 par développement en série entière.
- 1Problème 1, partie IDéfinit l'ensemble des variables aléatoires discrètes admettant un moment d'ordre 2 et montre qu'il forme un sous-espace vectoriel, en établissant une inégalité de Cauchy-Schwarz probabiliste.
- 2Problème 1, partie IIÉtudie la matrice de covariance de trois variables aléatoires de Bernoulli, sa diagonalisation dans un cas particulier, puis la positivité de ses valeurs propres dans le cas général.
- 3Problème 2, partie IRésout une équation différentielle linéaire d'ordre 2 dans le cas particulier où le paramètre mu de l'équation est nul.
- 4Problème 2, partie IICherche une solution développable en série entière de l'équation différentielle pour un paramètre mu quelconque et détermine le rayon de convergence de cette série selon les valeurs de mu.
- 5Problème 2, partie IIIÉtudie en détail la solution obtenue pour mu égal à 1, en évaluant le comportement asymptotique de ses coefficients à l'aide de la formule de Stirling.
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Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI
MATHÉMATIQUES
Lundi 30 avril :
14 h − 18 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants qui peuvent être traités dans un ordre choisi par le candidat.
PROBLÈME 1
On note
V_d^2 l'ensemble des variables aléatoires réelles discrètes
X , définies sur un espace probabilisé
Ω muni d'une probabilité
P , telle que
E(X^2) existe. Lorsqu'une variable aléatoire réelle discrète
X appartient à
V_d^2 , on dit alors que
X admet un moment d'ordre 2 .
Partie I - Étude de l'ensemble des variables aléatoires discrètes admettant un moment d'ordre 2
I. 1 - Exemple simple
Soit
V une variable aléatoire sur
Ω suivant la loi de Bernoulli de paramètre
p .
Q1. Rappeler la loi de Bernoulli de paramètrep .
Q2. Montrer queV appartient à
V_d^2 .
Q1. Rappeler la loi de Bernoulli de paramètre
Q2. Montrer que
I. 2 - Cadre général
Soient
X et
Y deux variables aléatoires de
V_d^2 ayant respectivement pour ensemble image
X(Ω) = {x_i}_(i ∈ ℕ) et
Y(Ω) = {y_j}_(j ∈ ℕ) avec pour tout entier
i, x_i dans
ℝ et tout entier
j, y_j dans
ℝ . On note :
Q3. Quelle(s) condition(s) doi(ven)t vérifier
X et
Y pour que
r_(ij) = p_i × q_j ?
Q4. ExprimerE(X^2) en fonction de
p_i et de
x_i .
Proposer une formulation équivalente pourE(Y^2) .
Q5. Montrer que pour touti dans
ℕ, p_i = ∑_(j = 0)^(+ ∞)r_(ij) . En déduire que
E(X^2) = ∑_(i = 0)^(+ ∞)∑_(j = 0)^(+ ∞)r_(ij)x_i^2 .
De la même manière, montrer queE(Y^2) = ∑_(j = 0)^(+ ∞)∑_(i = 0)^(+ ∞)r_(ij)y_i^2 .
Q6. Montrer que, pour tout(x, y) ∈ ℝ^2, |xy| ≤ 1/2(x^2 + y^2) .
Q4. Exprimer
Proposer une formulation équivalente pour
Q5. Montrer que pour tout
De la même manière, montrer que
Q6. Montrer que, pour tout
Q7. Pour cette question, on admettra le résultat suivant :
SiZ et
T sont deux variables aléatoires réelles telles que
Z est d'espérance finie et
∀ω ∈ Ω ,
|T(ω)| ≤ Z(ω) , alors
T est d'espérance finie et
E(T) ≤ E(Z) .
Si
Montrer que l'espérance de la variable produit
XY existe et que :
Q8. À l'aide de la question précédente, montrer que
V_d^2 est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des variables aléatoires réelles sur
Ω .
I. 3 - Artifice de calcul : utilisation de la loi certaine
Sur l'espace
Ω muni de la probabilité
P , on considère
Z une variable aléatoire certaine égale à 1 .
Q9. Donner l'ensemble image deZ et sa loi.
Q10. CalculerE(Z^2) et en déduire que
Z appartient à
V_d^2 .
Q11. Déduire des questionsQ7 et
Q10 que si
X ∈ V_d^2 alors
X admet une espérance et que :
Q9. Donner l'ensemble image de
Q10. Calculer
Q11. Déduire des questions
Q12. Dans le cas de deux variables aléatoires finies
X et
Y , on rappelle que la covariance de
X et
Y est définie par
cov(X, Y) = E((X − E(X))(Y − E(Y))) . Montrer que :
Q13. Pour
(X, Y) ∈ (V_d^2)^2 , on définit, si elle existe, la covariance de
X et
Y par la formule (1). Déduire des questions précédentes que si
(X, Y) ∈ (V_d^2)^2 , alors
X et
Y admettent une variance et que leur
covariancecov(X, Y) existe.
Partie II - Étude de la matrice de covariance
Soient
V_1, V_2, V_3 ∈ V_d^2 , on définit
K , la matrice de covariance des variables aléatoires
V_1, V_2, V_3 , comme la matrice carrée d'ordre 3 avec
K = (k_(i, j)) où pour tout
(i, j) ∈ [ [1, 3] ]^2, k_(i, j) = cov(V_i, V_j) .
II. 1 - Étude d'un exemple
On suppose uniquement dans cette sous-partie, que les trois variables aléatoires
V_1, V_2 et
V_3 sont à valeurs dans
{0, 1} et qu'elles vérifient les conditions suivantes :
il existep_1, p_2, p_3 ∈ ]0, 1[ tels que
p_1 + p_2 + p_3 = 1 et
il existe
Q14. Montrer que
V_1, V_2 et
V_3 sont des variables de Bernoulli respectivement de paramètres
1 − p_1 ,
1 − p_2 et
1 − p_3 .
Q15. On pose
S = V_1 + V_2 + V_3 , calculer
P(S = 2) et en déduire la variance de
S .
Q16. Montrer que
cov(V_1, V_2) = − p_1 p_2 et
var(V_1) = p_1(1 − p_1) .
Q17. Vérifier que la matriceK est égale à
(p_1(1 − p_1), − p_1 p_2, − p_1 p_3; − p_1 p_2, p_2(1 − p_2), − p_2 p_3; − p_1 p_3, − p_2 p_3, p_3(1 − p_3)) .
Q17. Vérifier que la matrice
Réduction de la matrice
K dans un cas particulier
Q18. Montrer que le vecteur colonne
(1; 1; 1) est un vecteur propre de la matrice
K associé à la valeur propre 0.
Q19. Déterminer le rang de
K puis son noyau.
Q20. On suppose de plus que
p_2 = p_3 = p . Exprimer
K uniquement en fonction de
p , puis montrer que
p est une valeur propre de
K et préciser la dimension de l'espace propre.
Q21. Toujours dans le cas où
p_2 = p_3 = p , et en utilisant la trace de
K , déterminer toutes les valeurs propres de
K et donner son polynôme caractéristique.
II. 2 - Retour au cas général
On se place maintenant dans le cas général :
V_1, V_2 et
V_3 sont trois variables aléatoires discrètes de
V_2^d quelconques. On rappelle que la matrice
K est la matrice carrée d'ordre 3 dont le coefficient placé à l'intersection de la
i -ème ligne et de la
j -ème colonne est
cov(V_i, V_j) , avec la définition de la covariance vue à la question Q12.
Q22. Montrer que
K est une matrice symétrique; en déduire qu'elle est diagonalisable.
Q23. En calculant la variance de la variable aléatoireW = x_1 V_1 + x_2 V_2 + x_3 V_3 , montrer que pour tout
(x_1, x_2, x_3) ∈ ℝ^3 , on a :
Q23. En calculant la variance de la variable aléatoire
Q24. Montrer que la relation (3) peut s'écrire sous la forme
En déduire que les valeurs propres de
K sont positives ou nulles.
PROBLÈME 2
Le problème est composé de trois parties qui ne sont pas indépendantes. On pourra admettre les résultats des questions de ce problème en les précisant dans la copie.
Étant donné un réel
μ , on considère l'équation différentielle (
E_μ ) suivante :
dont on cherche des fonctions solutions
y sur l'intervalle ouvert
]0, 1[ .
Partie I - Résolution dans le cas où
μ = 0
Dans cette partie, on suppose
μ = 0 , on cherche donc à résoudre sur
]0, 1[ , l'équation
Q25. Soit
f : x ↦ arcsin(2x − 1) . Montrer que
f est définie et continue sur le segment
[0, 1] , dérivable sur l'intervalle ouvert
]0, 1[ et que :
Q26. Montrer que toute fonction constante sur
]0, 1[ est solution de
(E_0) .
Q27. Montrer que∀x ∈ ℝ∖{0, 1}, (16x − 8)/(16(x^2 − x)) = (1/2)/x + (1/2)/(x − 1) .
Q28. On posez = y^′ . Montrer que (
E_0 ) est équivalente à :
Q27. Montrer que
Q28. On pose
Q29. Résoudre
(E^⋆) sur
]0, 1[ .
Q30. En déduire les solutions de
(E_0) sur
]0, 1[ .
Partie II - Recherche d'une solution particulière dans le cas où
μ ≠ 0
On se place dans le cas où
μ ≠ 0 .
Soity une fonction égale à la somme d'une série entière de terme général
a_n x^n , de rayon de convergence
R supposé strictement positif :
Soit
Q31. Justifier que
y est de classe
C^∞ sur un ensemble que vous préciserez.
Q32. Montrer quey vérifie
(E_μ) si et seulement si
∑_(n = 0)^(+ ∞)[(16n^2 − μ)a_n − 8(n + 1)(2n + 1)a_(n + 1)]x^n = 0 .
On supposera dorénavant quey est solution de
(E_μ) .
Q33. Montrer que∀n ∈ ℕ^⋆, a_n = (∏_(k = 0)^(n − 1)(16k^2 − μ))/(4^n(2n)!)a_0 .
Q34. Sia_0 = 0 , donner une expression simple de
y et préciser son rayon de convergence.
Q35. Sia_0 ≠ 0 et
μ = 16p^2 avec
p un entier, montrer que
y est polynomiale et préciser son degré.
Q36. Sia_0 ≠ 0 et
μ ≠ 16p^2 pour tout entier
p , préciser le rayon de convergence de
y .
Q32. Montrer que
On supposera dorénavant que
Q33. Montrer que
Q34. Si
Q35. Si
Q36. Si
Partie III - Étude d'une solution particulière
On se place dans le cas où
a_0 = 1 et
μ = 1 .
Soitφ la fonction définie sur l'intervalle
] − R, R[ par la relation :
Soit
où la suite
(a_n)_(n ∈ ℕ) est la suite définie à la question
Q33 et
R est le rayon de convergence obtenu à la question Q36.
Q37. À partir de la relation obtenue à la question Q33, montrer que :
Q38. Montrer que
∀n ∈ ℕ^⋆, (4n)! = − 2^(2n) × (2n)! × (4n − 1) × ∏_(k = 0)^(n − 1)(4k − 1)(4k + 1) .
Q39. En déduire que∀n ∈ ℕ^⋆, a_n = (− (4n)!)/(4^(2n) × ((2n)!)^2 × (4n − 1)) .
Q40. En admettant la formule de Stirling :n! ∼ e^(− n)n^n√(2πn) , montrer que
a_n ∼ (− 1)/(4√(2π)n^(3/2)) .
Q41. Rappeler le rayon de convergence deφ et préciser la convergence de la série aux bornes de l'intervalle de convergence.
Q39. En déduire que
Q40. En admettant la formule de Stirling :
Q41. Rappeler le rayon de convergence de
Q42. En déduire que l'équation (
E_1 ) admet une solution non-nulle
f sur l'intervalle
]0, 1[ .
FIN
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte le sujet de mathématiques CCINP TSI 2018 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte le sujet de mathématiques CCINP TSI 2018 ?
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques CCINP TSI 2018 ?
Les probabilités discrètes et la covariance dans le premier problème, les équations différentielles linéaires et les séries entières dans le second.
Les deux problèmes du sujet de maths CCINP TSI 2018 sont-ils liés ?
Non, l'énoncé indique qu'il s'agit de deux problèmes indépendants, à traiter dans l'ordre choisi par le candidat.
Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet de mathématiques CCINP TSI 2018 ?
Les deux problèmes sont indépendants entre eux ; à l'intérieur du second problème, les trois parties s'enchaînent en revanche les unes sur les autres.
La calculatrice est-elle autorisée pour l'épreuve de mathématiques CCINP TSI 2018 ?
Non, l'énoncé indique que les calculatrices sont interdites.
Pas de description pour le moment