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Centrale Mathématiques 1 TSI 2023Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
La transformée de Laplace : intégrales généralisées, approximation polynomiale et équations différentielles
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Le sujet étudie la transformée de Laplace d'une certaine catégorie de fonctions et démontre son injectivité. La partie I démontre le théorème d'intégration par parties pour les intégrales généralisées. La partie II définit et calcule la transformée de Laplace sur des exemples. La partie III établit, à l'aide d'une loi binomiale, un résultat d'approximation polynomiale d'une fonction de classe C1. La partie IV utilise ce résultat pour prouver l'injectivité de la transformée de Laplace et l'applique à la résolution d'une équation et d'un système différentiels.

  1. 1Partie I : intégration par parties pour intégrales généraliséesDémonstration du théorème d'intégration par parties pour les intégrales généralisées.
  2. 2Partie II : transformée de Laplace, généralitésDéfinition de la transformée de Laplace et calcul sur des exemples réutilisés dans la dernière partie.
  3. 3Partie III : approximation par des fonctions polynomialesDémonstration, à l'aide d'une loi binomiale, d'un résultat d'approximation d'une fonction de classe C1 par des polynômes.
  4. 4Partie IV : injectivité de la transformée de Laplace et applicationsDémonstration de l'injectivité de la transformée de Laplace puis résolution de deux problèmes de Cauchy (équation et système différentiels par réduction de matrice).

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet est bien calibré, avec des questions très abordables et d'autres plus délicates qui n'ont été résolues que par les meilleurs candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,1 / 20 · écart-type 4,38 · 943 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,1/ 20
Écart-type
4,38
Présents
943
Coefficient
14
Durée
4 h
1er quartile
6,3
Médiane
9,2
3e quartile
12,2
moyenne 9,105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 9 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorème d'intégration par parties trop peu réussi · Module d'un nombre complexe mal maîtrisé · Inégalité des accroissements finis mal connue
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L'épreuve a permis de bien classer les candidats : les meilleurs mènent à bien de nombreuses questions avec rigueur, tandis que le sujet propose aussi des questions plus délicates réservées à un nombre restreint de copies. Le jury relève de nombreuses difficultés en intégration, notion principale de l'épreuve, notamment sur la convergence des intégrales généralisées, mais constate qu'un grand nombre de questions restent accessibles à la plupart des candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème d'intégration par parties trop peu réussiQ1

    La plupart des candidats n'ont pas compris le sens de la première partie de la question et ignorent ce qu'est une intégrale convergente.

    « Beaucoup ignorent ce qu’est une intégrale convergente. »
  2. 2
    Module d'un nombre complexe mal maîtriséQ8, Q9

    La valeur du module de e à la puissance i theta est trop souvent inconnue, source de difficulté pour relier deux questions consécutives.

  3. 3
    Inégalité des accroissements finis mal connueQ21

    Les hypothèses précises de ce théorème sont peu maîtrisées par les candidats.

    « L’inégalité des accroissements finis est mal connue, notamment ses hypothèses. »
  4. 4
    Théorème fondamental de l'analyse mal maîtriséQ26

    Le calcul de la dérivée d'une fonction définie par une intégrale reste approximatif chez la plupart des candidats.

    « Le théorème fondamental de l’analyse permettant de répondre à la question est mal connu des candidats. »
  5. 5
    Questions les plus difficiles peu abordéesQ30-Q34

    Ces questions, qui mènent à prouver l'injectivité de la transformée de Laplace, n'ont été correctement abordées que par peu de candidats.

    « Ces questions, les plus difficiles de l’épreuve, mènent à prouver l’injectivité »
  6. 6
    Calcul inutile de l'inverse de la matrice de passageQ41, Q42

    Beaucoup de candidats calculent l'inverse de la matrice de passage alors qu'elle s'utilise de manière abstraite pour résoudre le système différentiel.

    « Beaucoup de candidats ont cru nécessaire de calculer »

Ce qui a été bien réussi

  • La partie III a été dans l'ensemble bien traitée par les candidats.
  • La question 24, qui pouvait s'appuyer sur un tableau de variation ou un dessin de la parabole, a été bien réussie.
  • Un grand nombre de questions de cette épreuve sont accessibles à la plupart des candidats.

Conseils du jury

  • Toujours justifier la convergence d'une intégrale avant d'en calculer les termes.
  • Apporter un argument mathématique explicite à chaque réponse : hypothèse de l'énoncé, point de cours ou résultat déjà démontré.
  • Ne pas répondre précipitamment aux premières questions : une rédaction correcte et bien justifiée sur une vingtaine de questions constitue déjà une très bonne copie.
  • Numéroter rigoureusement les pages et les questions pour permettre au correcteur de se repérer.
  • Apprendre et comprendre le cours des deux années de classe préparatoire, et savoir l'appliquer à l'aide d'exercices progressifs.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

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Ce problème étudie la transformation de Laplace d'une certaine catégorie de fonctions et l'applique à la résolution d'équations et de systèmes différentiels.

Notations

  • On note F(ℝ^+, ℂ) l'ensemble des fonctions définies sur ℝ^+à valeurs dans ℂ et F(ℝ^(+ ∗), ℂ) l'ensemble des fonctions définies sur ℝ^(+ ∗) à valeurs complexes.
    On admet que F(ℝ^+, ℂ) et F(ℝ^(+ ∗), ℂ) sont des ℂ-espaces vectoriels.
  • Dans toute la suite, on considère l'ensemble E des fonctions f continues sur ℝ^+à valeurs dans ℂ telles que pour tout nombre réel p strictement positif, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)|f(t)|e^(− pt) dt converge. On admet que E est un ℂ-espace vectoriel.

Articulation des parties

Le résultat de la partie I est utilisé dans les parties II et III. Certains résultats de la partie II sont utilisés dans la partie IV. Les parties II et III sont indépendantes.

I Question préliminaire

Q 1. Démontrer le théorème d'intégration par parties pour les intégrales généralisées :
Si u et v sont deux fonctions de classe C^1 sur ℝ^+, à valeurs dans ℂ telles que lim_(t → + ∞)(u(t)v(t)) existe, alors les intégrales ∫_0^(+ ∞)u^′(t)v(t)dt et ∫_0^(+ ∞)u(t)v^′(t)dt sont de même nature. En cas de convergence,
∫_0^(+ ∞)u^′(t)v(t)dt = [u(t)v(t)]_0^(+ ∞) − ∫_0^(+ ∞)u(t)v^′(t)dt
où [u(t)v(t)]_0^(+ ∞) = lim_(t → + ∞)u(t)v(t) − u(0)v(0).

II Transformée de Laplace, généralités

II.A -
Q 2. Montrer que, si une fonction f appartient à E alors, pour tout p ∈ ℝ^(+ ∗), l'intégrale ∫_0^(+ ∞)f(t)e^(− pt) dt converge. On note alors sa valeur F(p).
On définit ainsi une fonction F, définie sur ℝ^(+ ∗) et à valeurs dans ℂ.
Q 3. Démontrer que l'application
L : | E, →, F(ℝ_+^∗, ℂ); f, ↦, F
est linéaire.
L s'appelle la transformation de Laplace et, pour tout f ∈ E, F = L(f) s'appelle la transformée de Laplace de f.

II.B - Quelques exemples

Toutes les fonctions considérées sont définies sur ℝ^+.
II.B.1) Pour tout entier naturel n, on note f_n la fonction : t ↦ t^n.
Q 4. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, f_n ∈ E.
On note alors F_n = L(f_n).
Q 5. Pour tout nombre réel p strictement positif, calculer F_0(p).
Q 6. Soit n ∈ ℕ^∗. À l'aide d'une intégration par parties, établir, pour tout réel p strictement positif, une relation entre F_n(p) et F_(n − 1)(p).
Q 7. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n et tout réel p strictement positif,
F_n(p) = (n!)/(p^(n + 1)).
II.B.2) Pour tout nombre réel a positif ou nul et tout nombre réel b, on note f_(a, b) la fonction t ↦ e^(− at + ibt).
Q 8. Montrer que f_(a, b) ∈ E et calculer F_(a, b) = L(f_(a, b)).
Q 9. En déduire que les fonctions g_(a, b) : t ↦ e^(− at)cos(bt) et h_(a, b) : t ↦ e^(− at)sin(bt) appartiennent à E et calculer leurs transformées de Laplace G_(a, b) = L(g_(a, b)) et H_(a, b) = L(h_(a, b)).

II.B.3)

Q 10. Plus généralement, montrer que toute fonction f continue et bornée sur ℝ^+, à valeurs dans ℂ, appartient à E.
Q 11. Donner un exemple de fonction continue sur ℝ^+n'appartenant pas à E.

II.C - Transformées de Laplace d'une dérivée et d'une dérivée seconde

On suppose que f est de classe C^1 sur ℝ^+, que f ∈ E, que f^′ ∈ E et que pour tout p ∈ ℝ^(+ ∗), lim_(t → + ∞)f(t)e^(− pt) = 0.
Q 12. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que
∀p ∈ ℝ^(+ ∗), L(f^′)(p) = pL(f)(p) − f(0)
On suppose, en plus, que f est de classe C^2 sur ℝ^+, que f^(′′) ∈ E et que lim_(t → + ∞)f^′(t)e^(− pt) = 0 pour tout p ∈ ℝ^(+ ∗).
Q 13. Démontrer que
∀p ∈ ℝ^(+ ∗), L(f^(′′))(p) = p^2 L(f)(p) − pf(0) − f^′(0).

III Approximation de fonctions de classe C^1 sur un segment par des fonctions polynomiales

L'objectif de cette partie est de montrer le résultat suivant :
Si φ est une fonction de classe C^1 sur le segment [0, 1] à valeurs dans ℝ, alors il existe une suite (P_n)_(n ⩾ 1) de fonctions polynomiales telle que lim_(n → + ∞)(sup_(t ∈ [0, 1])|φ(t) − P_n(t)|) = 0.

III.A - Une famille des fonctions polynomiales

Soit n ∈ ℕ et k ∈ {0, …, n}. On note B_n^k : | ℝ, →, ℝ; t, ↦, (n/k)t^k(1 − t)^(n − k), où (n/k) désigne le coefficient binomial k parmi n.
Q 14. Donner le degré de B_n^k.
Q 15. Pour tout t ∈ [0, 1], calculer ∑_(k = 0)^n B_n^k(t).

III.B - Deux résultats généraux

Q 16. Montrer que, si Z est une variable aléatoire réelle finie sur un espace probabilisé ( Ω, T, ℙ ) à valeurs positives, alors 𝔼(Z) ⩾ 0. En déduire que, si X et Y sont deux variables aléatoires finies telles que X ⩽ Y, alors 𝔼(X) ⩽ 𝔼(Y).
Q 17. Question de cours. X étant une variable aléatoire réelle finie sur un espace probabilisé ( Ω, T, ℙ ), rappeler la définition de sa variance, notée 𝕍(X), et démontrer que 𝕍(X) = 𝔼(X^2) − (𝔼(X))^2.
Q 18. En déduire que |𝔼(X)| ⩽ √(𝔼(X^2)).
III. C - Soit φ une fonction de classe C^1 sur [0, 1] à valeurs réelles. Soit n ∈ ℕ^∗. Soient t ∈ [0, 1] et S_n une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres ( n, t ). On pose X_n = φ((S_n)/n) − φ(t).
Q 19. Rappeler la valeur de l'espérance de S_n ainsi que sa variance.
Q 20. En déduire que 𝔼((S_n)/n − t) = 0 et 𝔼(((S_n)/n − t)^2) = (t(1 − t))/n.
Q 21. En citant de manière explicite les théorèmes utilisés, montrer qu'il existe M_φ ∈ ℝ^+tel que
∀(a, b) ∈ [0, 1]^2, |φ(b) − φ(a)| ⩽ M_φ|b − a|.
Q 22. En utilisant les résultats des questions 18, 21 et 16 puis 20 , montrer que
|𝔼(X_n)| ⩽ (M_φ)/(√n)√(t(1 − t))
Q 23. En citant le théorème utilisé, en déduire que, pour tout nombre réel t ∈ [0, 1],
|φ(t) − ∑_(k = 0)^n φ(k/n)B_n^k(t)| ⩽ M_φ√((t(1 − t))/n)
Q 24. Justifier que la fonction
w : | [0, 1], →, ℝ; t, ↦, t(1 − t)
admet un maximum et déterminer la valeur de ce maximum.
Q 25. En déduire qu'il existe une suite de fonctions polynomiales (P_n)_(n ⩾ 1) telle que la suite (sup_(t ∈ [0, 1])|φ(t) − P_n(t)|)_(n ⩾ 1) converge vers 0 .
On admet que ce résultat, démontré dans le cas où la fonction φ est de classe C^1 sur [0, 1], est encore valable lorsque la fonction φ est seulement continue sur [0, 1]. Ce dernier résultat sera utilisé dans la partie IV.

IV Injectivité de la transformation de Laplace et applications

IV.A - On se propose dans cette sous-partie de démontrer que l'application L est injective sur E, c'est-à-dire que
∀(y_1, y_2) ∈ E^2, L(y_1) = L(y_2) ⟹ y_1 = y_2
On considère une fonction f de E vérifiant L(f) = 0.
Pour tout nombre réel t ∈ ℝ^+, on pose g(t) = ∫_0^t f(s)e^(− s) ds.
Q 26. Justifier que la fonction g est dérivable sur ℝ^+et calculer sa dérivée.
Q 27. Montrer que g est une fonction bornée.
Q 28. Justifier, pour tout p ∈ ℝ^(+ ∗), l'existence de L(g)(p) et démontrer que
∀p ∈ ℝ^(+ ∗), L(g)(p) = 1/pL(f)(p + 1)
On note φ la fonction définie sur [0, 1]parφ(u) = {g(− lnu), si 0 < u ⩽ 1,; ∫_0^(+ ∞)f(t)e^(− t) dt, si u = 0.
Q 29. Montrer que φ est continue sur le segment [0, 1].
Q 30. En effectuant le changement de variables t = − lnu et en citant explicitement le théorème de changement de variable dans une intégrale généralisée, démontrer que
∀p ∈ ℝ^(+ ∗), ∫_0^(+ ∞)g(t)e^(− pt) dt = ∫_0^1 φ(u)u^(p − 1) du.
Q 31. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, ∫_0^1 φ(u)u^n du = 0 et que, pour toute fonction P polynomiale,
∫_0^1 P(t)φ(t)dt = 0
Q 32. En utilisant le résultat admis à la fin de la partie III, montrer qu'il existe une suite (P_n)_(n ⩾ 1) de fonctions polynomiales vérifiant
lim_(n → + ∞)(∫_0^1 P_n(t)φ(t)dt − ∫_0^1 φ^2(t)dt) = 0
Q 33. En déduire que f = 0.
Q 34. Démontrer que L est injective.
IV.B - Le but de cette sous-partie est de résoudre le problème de Cauchy :
{∀t ∈ ℝ^+, y^(′′)(t) + 2y^′(t) + 2y(t) = t + 1; y(0) = 0; y^′(0) = 1

IV.B.1) Résolution classique

Q 35. Démontrer qu'il existe une solution particulière de l'équation y^(′′)(t) + 2y^′(t) + 2y(t) = t + 1 de la forme y(t) = at + b, avec (a, b) ∈ ℝ^2.
Q 36. Résoudre alors le problème (IV.1).

IV.B.2) Résolution utilisant la transformation de Laplace

On suppose que y est une solution du problème (IV.1) vérifiant en plus les hypothèses de la sous-partie II.C.
Q 37. Démontrer que, pour tout réel p strictement positif, (p^2 + 2p + 2)L(y)(p) = (1 + p + p^2)/(p^2).
Q 38. Déterminer deux nombres réels a et b tels que
∀p ∈ ℝ^(+ ∗), (1 + p + p^2)/(p^2(p^2 + 2p + 2)) = a/(p^2) + b/((p + 1)^2 + 1).
Q 39. En déduire une expression de L(y), puis de y en utilisant l'injectivité de L et les résultats de la sous-partie II.B.
Q 40. Réciproquement, vérifier que la fonction y ainsi trouvée est bien solution du problème (IV.1).
IV.C - Le but de cette sous-partie est de déterminer les fonctions x et y de classe C^1 sur ℝ^+solutions du système différentiel
∀t ∈ ℝ^+, {x^′(t) = 2x(t) − 3y(t); y^′(t) = 6x(t) − 7y(t)
et vérifiant les conditions initiales
{x(0) = 0; y(0) = 1

IV.C.1) Résolution classique

Soit A = (2, − 3; 6, − 7) et, pour tout t ∈ ℝ^+, X(t) = ((x(t))/(y(t))), de sorte que le système (IV.2) s'écrit matriciellement
X^′(t) = AX(t)
Q 41. Montrer qu'il existe une matrice P ∈ GL_2(ℝ), que l'on déterminera, telle que
A = P(− 1, 0; 0, − 4)P^(− 1)
Q 42. On pose U(t) = ((u(t))/(v(t))) = P^(− 1)X(t). Déterminer les fonctions u et v et en déduire les fonctions x et y vérifiant le système (IV.2) et les conditions initiales imposées.

IV.C.2) Résolution en utilisant la transformation de Laplace

On suppose que x et y sont solutions du problème (IV.2), vérifiant en plus les conditions de la sous-partie II.C.
Q 43. Montrer alors que
∀p ∈ ℝ^(+ ∗), {L(x)(p) = (− 3)/((p + 1)(p + 4)); L(y)(p) = (p − 2)/((p + 1)(p + 4))
Q 44. Trouver (a, b, c, d) ∈ ℝ^4 tels que
{L(x)(p) = a/(p + 1) + b/(p + 4); L(y)(p) = c/(p + 1) + d/(p + 4)
Q 45. En déduire une expression de x et de y.
Q 46. Établir la réciproque et conclure.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte Mathématiques 1 TSI Centrale 2023 ?
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Sur quels chapitres porte Mathématiques 1 TSI Centrale 2023 ?

Le sujet porte sur les intégrales généralisées, la transformée de Laplace, une approximation polynomiale via une loi binomiale, et la résolution d'équations et systèmes différentiels.

Le sujet Mathématiques 1 TSI Centrale 2023 sur la transformée de Laplace est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme bien calibré, avec des questions très abordables et d'autres plus délicates réservées aux meilleures copies, notamment en fin de sujet.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Une mauvaise maîtrise de la convergence des intégrales généralisées, du module d'un nombre complexe, de l'inégalité des accroissements finis et du théorème fondamental de l'analyse.

Faut-il bien maîtriser la réduction des matrices pour ce sujet ?

Oui, la fin de la partie IV utilise la réduction d'une matrice pour résoudre un système différentiel, et le rapport signale des erreurs sur la construction et l'usage de la matrice de passage.

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