Centrale Mathématiques 1 TSI 2026Sujet

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La méthode des moindres carrés : des problèmes de minimisation à la décomposition en valeurs singulières

Le sujet étudie la méthode des moindres carrés utilisée en intelligence artificielle. Il présente d'abord des exemples de problèmes de minimisation en géométrie euclidienne et en séries de Fourier, puis la convergence de suites de matrices et l'interpolation polynomiale, avant de traiter la régression linéaire, la décomposition en valeurs singulières et la méthode du gradient pour résoudre le problème des moindres carrés en dimension quelconque.

1Partie A : quelques problèmes de minimisation et de convergenceOn étudie la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel puis l'approximation d'une fonction périodique par sa série de Fourier, illustrant deux exemples de problèmes de moindres carrés.
2Partie B : limites de suites de matricesOn définit la convergence d'une suite de matrices et on étudie à quelle condition les puissances d'une matrice diagonalisable convergent.
3Partie C : interpolation polynomiale et moindres carrésOn construit une base de polynômes interpolateurs de Lagrange, on l'utilise pour résoudre un problème de moindres carrés polynomial, puis on établit une formule d'erreur d'interpolation.
4Partie D : régression linéaire et moindres carrésOn résout le problème de régression linéaire en dimension deux puis on le généralise en dimension quelconque à l'aide du rang et du noyau d'une matrice, avant d'introduire la décomposition en valeurs singulières.
5Partie E : la méthode du gradientOn construit une suite de vecteurs par une méthode de gradient à pas optimal et on démontre sa convergence vers la solution du problème des moindres carrés, à l'aide de l'inégalité de Kantorovich.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,16 / 20 · écart-type 4,17 · 1 167 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,16/ 20
Écart-type: 4,17
Présents: 1 167
Coefficient: 14
Durée: 4 h
1er quartile: 6,5
Médiane: 9,1
3e quartile: 12

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 4 mai 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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Mathématiques 1

La méthode des moindres carrés

Ce problème comporte 5 parties. Les parties A, B, C et D sont indépendantes entre elles.
L'objet de ce sujet est l'étude d'une méthode très utile en intelligence artificielle : la méthode des moindres carrés. Les parties A et C présentent des domaines des mathématiques que l'on peut reformuler en termes de problème des moindres carrés. La partie D amène à résoudre des systèmes d'équations linéaires au sens des moindres carrés à l'aide de la notion de décomposition en valeurs singulières. La partie B introduit la notion de limites de suites de matrices, que l'on utilise dans la partie E pour résoudre le problème étudié dans la partie D.

Rappels et notations

-Si $k$ et $l$ sont deux entiers tels que $k \leq l$ , on note $[ [k, l] ]$ l'ensemble des entiers $i$ tels que $k \leq i \leq l$ .
-L'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans $ℝ$ est noté $ℝ[X]$ . Pour $n \in ℕ$ , on note $ℝ_n[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans $ℝ$ de degré inférieur ou égal à $n$ .
-Pour $n \in ℕ^*$ et $p \in ℕ^*$ , on note $M_(n, p)(ℝ)$ l'espace vectoriel des matrices à n lignes et $p$ colonnes. On note aussi $M_n(ℝ) = M_(n, n)(ℝ)$ l'espace vectoriel des matrices carrées de taille $n$ .
-La transposée d'une matrice $A = (a_(i, j))_(1 \leq i \leq n; 1 \leq j \leq p) \in M_(n, p)(ℝ)$ est notée $A^T$ . Elle est définie par $A^T = (a_(j, i))_(1 \leq i \leq n; 1 \leq j \leq p) \in M_(p, n)(ℝ)$ .
-La trace d'une matrice $A = (a_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n) \in M_n(ℝ)$ est notée $Tr(A)$ . Elle est définie par $Tr(A) = \sum_(i = 1)^n a_(i, i)$ .
-Le produit scalaire canonique sur l'espace vectoriel $M_(n, 1)(ℝ)$ des vecteurs colonnes à $n$ lignes est noté $⟨.,$ . $⟩etsa$ norme associée est notée $‖.‖_2$ . Ce produit scalaire est défini par :
$\forallA = (a_1; ⋮; a_n), \forallB = (b_1; ⋮; b_n), ⟨A, B⟩ = A^T B = \sum_(i = 1)^n a_i b_i et ‖A‖_2 = \sqrt(\sum_(i = 1)^n a_i^2⎷).$
-Le produit scalaire canonique sur l'espace vectoriel $M_n(ℝ)$ des matrices carrées est aussi noté $⟨.,$ . $⟩etsanorme$ associée est notée $‖.‖_2$ . Ce produit scalaire est défini par :
$\forallA = (a_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n), \forallB = (b_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n), ⟨A, B⟩ = Tr(A^T B) = \sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n a_(i, j)b_(i, j) et ‖A‖_2 = \sqrt(\sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n a_(i, j)^2⎷).$
-L'ensemble des valeurs propres complexes d'une matrice $A \in M_n(ℝ)$ s'appelle le spectre de $A$ et se note $Sp(A)$ .

Partie A - Quelques problèmes de minimisation et de convergence

I - Distance entre un vecteur et un sous-espace vectoriel

On munit

M_(4, 1)(ℝ)

de son produit scalaire canonique. Soit

F = Vect(e_1, e_2, e_3)

avec

e_1 = (1; - 2; 1; 0) e_2 = (1; 1; 1; 0) e_3 = (1; 0; - 1; 0).

Q1. Justifier que

(e_1, e_2, e_3)

est une base orthogonale de

F

. Proposer une base orthonormée de

F

.
Q2. Calculer le projeté orthogonal sur

F

d'un vecteur colonne

(x; y; z; t) \in M_(4, 1)(ℝ)

.
Q3. On note

v = (1; 1; 1; 1)

. Calculer

min_(u \in F)‖v - u‖_2

II - Séries de Fourier

Soit

E = C_(2π)^0(ℝ, ℝ)

l'espace vectoriel des fonctions continues

2π

-périodiques. On munit

E

du produit scalaire défini par

\forall(f, g) \in E^2, φ(f, g) = 1/(2π)\int_0^(2π)f(t)g(t)dt

On note

‖

é ‖lanormeassociée.LescoefficientsdeFourierd^' unefonctionf \in C_(2π)^0(ℝ, ℂ)

sont définis (pour

n \geq 1

) par

a_0(f) = 1/(2π)\int_0^(2π)f(t)dt a_n(f) = 1/π\int_0^(2π)f(t)cos(nt)dt b_n(f) = 1/π\int_0^(2π)f(t)sin(nt)dt

Pour tout

n \in ℕ

, nous introduisons les fonctions

e_n : x ⟼ cos(nx)

f_n : x ⟼ sin(nx)

.
Les sommes partielles de la série de Fourier d'une fonction

f \in E

sont les fonctions définies par

\forallN \in ℕ^*, S_N(f) = a_0(f) + \sum_(n = 1)^N(a_n(f)e_n + b_n(f)f_n).

Q4. Soient

α \in ℝ∖ℤ

f

la fonction

2π

-périodique telle que

f(x) = cos(αx)

pour tout

x \in ] - π, π]

.
Montrer que pour tout

n \geq 1

, on a

b_n(f) = 0

a_0(f) = (sin(απ))/(απ)

a_n(f) = ((- 1)^n)/π(2αsin(απ))/(α^2 - n^2)

.
Q5. Montrer que les séries

\sum_(n \geq 1)1/(n^2 - α^2)

\sum_(n \geq 1)1/((n^2 - α^2)^2)

convergent, et calculer

\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2 - α^2)

\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/((n^2 - α^2)^2)

.
Q6. Montrer que pour tout

t \in ℝ∖πℤ

, on a

(cos(t))/(sin(t)) = 1/t + \sum_(n = 1)^(+ \infty)(2t)/(t^2 - (nπ)^2)

.
Soit

f : ℝ ⟶ ℂ

une fonction

2π

-périodique de classe

C^2

qui est solution de l'équation différentielle

f^('') + e^(ix)f = 0.

Pour tout

n \in ℤ

, on pose

c_n(f) = 1/(2π)\int_0^(2π)f(t)e^(- int) dt

c_n(f^('')) = 1/(2π)\int_0^(2π)f^('')(t)e^(- int) dt

.
Q7. Montrer que pour tout

n \in ℕ^*

on a

c_n(f) = (a_n(f) - ib_n(f))/2

c_(- n)(f) = (a_n(f) + ib_n(f))/2

.
Montrer que pour tout

n \in ℕ^*

on a

a_n(f) = c_n(f) + c_(- n)(f)

b_n(f) = i(c_n(f) - c_(- n)(f))

.
Q8. Soit

n \in ℤ

.
Montrer que

c_n(f^('')) = - n^2 c_n(f)

, puis que

c_(n - 1)(f) = n^2 c_n(f)

.
En déduire que

c_n(f) = {(c_0(f))/((n!)^2), si n ≥ 0; 0, si n < 0

.
Q9. Montrer que pour tout

x \in ℝ

, on a

f(x) = c_0(f) + \sum_(n = 1)^(+ \infty)(c_n(f)e^(inx) + c_(- n)(f)e^(- inx)) = c_0(f)\sum_(n = 0)^(+ \infty)(e^(inx))/((n!)^2)

.
On admet que la fonction définie par

x ⟼ \sum_(n = 0)^(+ \infty)(e^(inx))/((n!)^2)

est bien une solution de l'équation

(E)

Q10.On rappelle que l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est un sous-espace vectoriel de $C^\infty(ℝ, ℂ)$ .
Quelle est sa dimension? Justifier. L'équation $(E)$ admet-elle une solution qui n'est pas $2π$ -périodique?
Q11.Montrer que, pour tout $N \in ℕ^*$ , la famille $(e_0, \dotse_N, f_1, \dots, f_N)$ est orthogonale pour $φ$ . Est-elle orthonormale?
Q12.Soient $g \in E$ et $N \in ℕ^*$ . On note $V_N = Vect(e_0, \dots, e_N, f_1, \dots, f_N)$ .
Quelle est la projection orthogonale de $g$ sur $V_N$ ? En déduire une fonction $h \in E$ telle que $‖g - h‖ = min_(v \in V_N)‖g - v‖$ .

Partie B - Limites de suites de Matrices

Soit

(M_k)_(k \in ℕ)

une suite de matrices de

M_(n, p)(ℝ)

, avec

M_k = (m_(k, 1, 1), \dots, m_(k, 1, p); ⋮, ⋮; m_(k, n, 1), \dots, m_(k, n, p))

(pour tout

k \in ℕ

).
On dit que la suite

(M_k)_(k \in ℕ)

converge si pour tout

(i, j) \in [ [1, n] ] \times [ [1, p] ]

la suite

(m_(k, i, j))_(k \in ℕ)

converge. On note alors

lim_(k \to + \infty)M_k = (lim_(k \to + \infty)(m_(k, 1, 1)), \dots, lim_(k \to + \infty)(m_(k, 1, p)); ⋮, ⋮; lim_(k \to + \infty)(m_(k, n, 1)), \dots, lim_(k \to + \infty)(m_(k, n, p))).

Lorsque la suite

(M_k)_(k \in ℕ)

ne converge pas, on dit que la suite

(M_k)_(k \in ℕ)

diverge.
On admettra sans preuve que, si

(M_k)_(k \in ℕ)

converge, alors, pour tout

(q, r) \in ℕ^* \times ℕ^*

, toute matrice

P \in M_(q, n)(ℝ)

et toute matrice

Q \in M_(p, r)(ℝ)

la suite

(PM_k Q)_(k \in ℕ)

converge et

lim_(k \to + \infty)(PM_k Q) = P(lim_(k \to + \infty)M_k)Q

Q13.Soient $A = (0, 1; 1, 0)$ et $B = (- 1/2, - \sqrt3/2; \sqrt3/2, - 1/2)$ . Montrer que les suites $(A^k)_(k \in ℕ)$ et $(B^k)_(k \in ℕ)$ divergent.
Q14.Soit $A$ une matrice diagonalisable sur $ℝ$ . Montrer que la suite $(A^k)_(k \in ℕ)$ converge si et seulement $siSp(A) \subset ] - 1, 1]$ .
Q15.Soit $A = 1/2(0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0)$ . Montrer que $A$ est diagonalisable sur $ℝ$ , et que la suite de matrices $(A^k)_(k \in ℕ)$ converge.
Q16.Montrer que les matrices $A = (0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 1, - 1)$ et $T = (1, 0, 0; 0, - 1, 1; 0, 0, - 1)$ sont semblables.
La suite de matrices $(A^k)_(k \in ℕ)$ converge-t-elle?

Dans la suite de l'énoncé, on pourra utiliser sans preuve le résultat suivant :
si

M \in M_(n, p)(ℝ)

est une matrice et si

(M_k)_(k \in ℕ)

est une suite de matrices de

M_(n, p)(ℝ)

, alors

lim_(k \to + \infty)M_k = M si et seulement si lim_(k \to + \infty)‖M_k - M‖_2 = 0.

Partie C - Interpolation polynômiale et moindres carrés

Soient

n \in ℕ^*

(x_0, \dots, x_n) \in ℝ^(n + 1)

une famille de nombres réels deux à deux distincts. Pour chaque

i \in [ [0, n] ]

, on note

L_i(X) = \prod_(0 \leq j \leq n, j \neq i)(X - x_j)/(x_i - x_j).

Q17.Montrer que pour tout $(i, k) \in [ [0, n] ]^2$ , on a $L_i(x_k) = {1, si k = i; 0, sinon$
Q18.Montrer que l'on peut munir $ℝ_n[X]$ d'un produit scalaire $⟨.,$ . $⟩enposant⟨P, Q⟩ = \sum_(k = 0)^n P(x_k)Q(x_k)$ .

Q19. Montrer que

(L_0, \dots, L_n)

est une base orthonormée de

ℝ_n[X]

muni du produit scalaire

⟨.,

⟩.

Q20. Montrer que pour tout

P \in ℝ_n[X]

et tout

i \in [ [0, n] ]

, on a

⟨L_i, P⟩ = P(x_i)

, puis que

P = \sum_(i = 0)^n P(x_i)L_i

.
Soit

(a, b) \in ℝ^2

tel que pour tout

i \in [ [0, n] ]

on ait

a < x_i < b

. Soit

f \in C^(n + 1)([a, b], ℝ)

. On note

P_f = \sum_(i = 0)^n f(x_i)L_i

.
Q21. Soient

m \leq n

. En calculant

⟨P_f - Q, P_f - Q⟩

, montrer l'existence et l'unicité d'un polynôme

R \in ℝ_m[X]

tel que

\sum_(i = 0)^n(f(x_i) - R(x_i))^2 = min_(Q \in ℝ_m[X])(\sum_(i = 0)^n(f(x_i) - Q(x_i))^2).

Q22. Soit

g \in C^(n + 1)([a, b], ℝ)

. On suppose que

g

possède au moins

n + 2

zéros deux à deux distincts dans

[a, b]

. Montrer par récurrence sur

n

que

g^((n + 1))

a au moins un zéro dans

[a, b]

. On pourra utiliser le théorème de Rolle.

Q23. Soit

x \in [a, b]

avec

x \neq x_i

pour tout

i \in [ [0, n] ]

. Soit

K = (f(x) - P_f(x))/(\prod_(i = 0)^n(x - x_i))

.
Montrer que

W : t ⟼ f(t) - P_f(t) - K\prod_(i = 0)^n(t - x_i)

s'annule en

n + 2

points distincts de

[a, b]

.
En déduire l'existence de

ξ_x \in [a, b]

tel que

f(x) - P_f(x) = (\prod_(i = 0)^n(x - x_i))/((n + 1)!)f^((n + 1))(ξ_x)

Partie D - Régression linéaire et moindres carrés

I - Le cas particulier de la dimension 2

Soit

n \geq 2

un entier. Considérons

n

points du plan réel

(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)

avec

x_1, \dots, x_n

deux à deux distincts tels que

(x_1, \dots, x_n)

ne soit pas colinéaire au vecteur (1, . . . , 1).
En dimension 2, la régression linéaire consiste à trouver une relation affine entre deux grandeurs physiques, c'est-à-dire à chercher une droite affine s'approchant le plus possible des points

(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)

(au sens des moindres carrés).
Pour formuler ce problème de manière précise et rigoureuse, nous notons

E(a, b) = \sum_(i = 1)^n(y_i - a - bx_i)^2 et A = (1, x_1; 1, x_2; ⋮, ⋮; 1, x_n) et Y = (y_1; y_2; ⋮; y_n).

Le problème est alors de trouver les valeurs de

a

b

qui minimisent la fonction

E

.
Q24. Montrer que

E

admet un minimum

m

sur

ℝ^2

(qu'on ne demande pas de calculer) et que

m = min_((a, b) \in ℝ^2)‖A(a/b) - Y‖_2^2

.
Q25. Montrer que

det(A^T A) = n(\sum_(k = 1)^n x_k^2) - (\sum_(k = 1)^n x_k)^2

, puis justifier l'affirmation

det(A^T A) > 0

.
Indication : On pourra utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz
Q26. Calculer le gradient de

E : (a, b) ⟼ E(a, b)

.
Soit

(a_0, b_0)

un point critique de

E

. Montrer que l'on a

A^T A((a_0)/(b_0)) = A^T Y

.
En déduire qu'il existe un unique couple

(c, d) \in ℝ^2

tel que

E(c, d) = min_((a, b) \in ℝ^2)E(a, b)

II - Les moindres carrés : le cas général

Nous allons maintenant généraliser les idées de la sous-section précédente au cas de la dimension quelconque.
Soit

A \in M_(n, p)(ℝ)

. Notons

Col(A) = Vect(C_1, \dots, C_p)

avec

C_1, \dotsC_p

les colonnes de

A

. Soit

y \in M_(n, 1)(ℝ)

.
Q27. Soit

x \in M_(p, 1)(ℝ)

tel que

A^T Ax = 0

. Montrer que

‖Ax‖_2 = 0

.
Q28. Montrer que

Ker(A^T A) = Ker(A)

, puis que

rg(A^T A) = rg(A)

.
Q29. Montrer l'existence d'un unique couple

(u, d) \in M_(p, 1)(ℝ) \times (Col(A))^⊥

tel que

y = Au + d

.
Q30. Montrer que pour tout

x \in M_(p, 1)(ℝ)

, on a

‖Ax - y‖_2 \geq ‖d‖_2

avec égalité si et seulement si

x - u \in Ker(A)

.
Q31. Montrer que

A^T y = A^T Au

.
Q32. Soit

x_0 \in M_(p, 1)(ℝ)

. Montrer que :

‖Ax_0 - y‖_2 = min_(x \in M_(p, 1)(ℝ))‖Ax - y‖_2 ⟺ A^T Ax_0 = A^T y

.
Q33. Supposons

n > p

et que la matrice

A

est de rang maximal, c'est-à-dire que le rang de

A

est égal à

p

. Montrer que

A^T A

est inversible.
En déduire que l'équation

‖Ab - y‖_2 = min_(x \in M_(p, 1)(ℝ))‖Ax - y‖_2

a une unique solution donnée par

b = (A^T A)^(- 1)A^T y

III - La décomposition en valeurs singulières

Soient

A \in M_(n, p)(ℝ)

non nulle et

y \in M_(n, 1)(ℝ)

. Nous allons généraliser le résultat de la question Q33.
Dans la suite, nous notons

Diag_(k, l)(α_1, \dots, α_(min (k, l)))

la matrice de taille

k \times l

dont le coefficient en ligne

i

et colonne

i

est

α_i

(pour tout indice

i \leq min(k, l)

), et dont tous les autres coefficients sont nuls.

Q34. Montrer que pour tout vecteur colonne

X \in M_(p, 1)(ℝ)

, les nombres

X^T A^T AX

X^T X

sont positifs ou nuls.
Q35. Montrer que les valeurs propres de la matrice

A^T A

sont toutes positives ou nulles.
Q36. Notons

r = rg(A^T A) = rg(A)

(égalité prouvée à la question Q28).
Montrer qu'il existe des nombres réels

λ_1 \geq \dots \geq λ_r > 0

et une matrice orthogonale

V \in O_p(ℝ)

tels que

A^T A = VDiag_(p, p)(λ_1, \dots, λ_r, 0, \dots0)V^T

Q37. Notons

v_i

i

-ème colonne de

V

.
Montrer que la famille

(Av_1, \dots, Av_r)

est orthogonale pour le produit scalaire canonique de

M_(n, 1)(ℝ)

, et que, pour tout

i \in [ [1, p] ]

, on a

‖Av_i‖_2 = {√(λ_i), si i ≤ r; 0, si i ≥ r + 1

.
Montrer l'existence d'une base orthonormée

(u_1, \dots, u_n)

M_(n, 1)(ℝ)

telle que

u_i = 1/(\sqrt(λ_i))Av_i

pour tout

i \leq r

.
Q38. Notons

U

la matrice dont la

i

-ème colonne est

u_i

D = Diag_(n, p)(\sqrt(λ_1), \dots, \sqrt(λ_r), 0 : \dots, 0) \in M_(n, p)(ℝ)

.
Vérifier que

U \in O_n(ℝ)

et que

AV = UD

.
En particulier, on a

A = UDV^T

. Cette écriture s'appelle une décomposition en valeur singulière de

A

. Posons

Δ = Diag_(p, n)(1/(\sqrt(λ_1)), \dots, 1/(\sqrt(λ_r)), 0, \dots, 0) \in M_(p, n)(ℝ) et A˜ = VΔU^T \in M_(p, n)(ℝ)

Q39. Montrer que

AA˜

est la matrice de la projection orthogonale sur

Im(A)

.
Q40. Soit

y \in M_(n, 1)(ℝ)

. Soit

b = A˜y \in M_(p, 1)(ℝ)

. Vérifier que

‖Ab - y‖_2 = min_(x \in M_(p, 1)(ℝ))‖Ax - y‖_2

.
Soit

x_0 \in M_(p, 1)(ℝ)

un autre vecteur qui vérifie

‖Ax_0 - y‖_2 = min_(x \in M_(p, 1)(ℝ))‖Ax - y‖_2

. Nous allons montrer que

‖x_0‖_2 \geq ‖b‖_2

.
Q41. Montrer que

Ab - y \in Im(A)^⊥

. En déduire que

x_0 - b \in Ker(A)

Q42. Montrer que

b \in Ker(A)^⊥

.
Indication : on pourra exprimer

Im(A˜)

Ker(A)

en fonction des vecteurs colonnes

v_i

.
Q43. Montrer que

‖x_0‖_2 \geq ‖b‖_2

avec égalité si et seulement si

x_0 = b

Partie E - La méthode du gradient

Soit

A \in M_(n, p)(ℝ)

y \in M_(n, 1)(ℝ)

. Nous avons vu à la question Q35 que les valeurs propres

λ_1 \leq \dots \leq λ_p

A^T A

sont des nombres réels positifs ou nuls. Dans cette partie, nous supposons en plus que pour tout

i

, on a

λ_i > 0

.
Nous reformulons notre problème des moindres carrés en remarquant (par le calcul) que

\forallx \in M_(p, 1)(ℝ), ‖Ax - y‖_2^2 = ⟨A^T Ax, x⟩ - 2⟨x, A^T y⟩ + ⟨y, y⟩.

Nous allons étudier une suite de matrices convergente dont la limite sera un minimum de la fonction

f : {M_(p, 1)(ℝ), ⟶, ℝ; x, ⟼, ⟨A^T Ax, x⟩ − 2⟨x, A^T y⟩.

Soit

(e_1,, \dots, e_p)

une base orthonormale de

M_(p, 1)(ℝ)

telle que pour tout

i \in [ [1, p] ]

on ait

A^T Ae_i = λ_i e_i

.
Q44. Montrer que la matrice

A^T A

est inversible, et justifier que

Ker(A) = {0}

.
Q45. Montrer que l'application

{M_(p, 1)(ℝ) × M_(p, 1)(ℝ), ⟶, ℝ; (x, y), ⟼, ⟨A^T Ax, y⟩

est un produit scalaire.
Soient

(v_1, \dots, v_p) \in ℝ^p

v = \sum_(i = 1)^p v_i e_i

.
Q46. Montrer que pour tout

(α, β) \in ℝ^2

on a :

αβ \leq 1/4(α + β)^2

Montrer que ⟨A^T Av, v⟩⟨(A^T A)^(- 1)v, v⟩ \leq 1/4(λ_1)/(λ_p)(\sum_(i = 1)^p((λ_i)/(λ_1) + (λ_p)/(λ_i))v_i^2)^2.

Q47. Soit

ψ : t ⟼ t/(λ_1) + (λ_p)/t

. Calculer le maximum de

ψ

sur

[λ_1, λ_p]

.
Q48. On note

c(A) = (λ_p)/(λ_1)

. Montrer l'inégalité de Kantorovich :

⟨A^T Av, v⟩⟨(A^T A)^(- 1)v, v⟩ \leq ((c(A) + 1)^2)/(4c(A))‖v‖_2^4

.
Nous souhaitons maintenant déterminer une approximation de l'unique solution

ℓ

à l'équation

A^T Aℓ = A^T y

.
Nous définissons une suite par récurrence en choisissant un vecteur

x_0 \in M_(p, 1)(ℝ)

et en posant pour tout

k \in ℕ

d_k = A^T Ax_k - A^T y t_k = (‖d_k‖_2^2)/(⟨A^T Ad_k, d_k⟩) x_(k + 1) = x_k - t_k d_k

Pour que cette définition ait un sens, nous supposons que le vecteur

d_k

est non nul pour tout

k \in ℕ

. Cette hypothèse n'est pas restrictive : s'il existe

k

tel que

d_k = 0

alors

x_k = ℓ

et nous avons ainsi la valeur exacte de

ℓ

.
Soit

ℓ = (A^T A)^(- 1)A^T y \in M_(p, 1)(ℝ)

.
Q49. Vérifier que pour tout

x \in M_(p, 1)(ℝ)

, on a

f(x) - f(ℓ) = ⟨A^T A(x - ℓ), x - ℓ⟩

.
Q50. Montrer que pour tout

k \in ℕ

, on a

f(x_(k + 1)) - f(ℓ) = (f(x_k) - f(ℓ))(1 - (‖d_k‖_2^4)/(⟨A^T Ad_k, d_k⟩⟨(A^T A)^(- 1)d_k, d_k⟩))

.
Q51. Montrer que pour tout

k \in ℕ

, on a

λ_1‖x_k - ℓ‖_2^2 \leq f(x_k) - f(ℓ) \leq (f(x_0) - f(ℓ))((c(A) - 1)/(c(A) + 1))^(2k)

.
Q52. Montrer que la suite

(x_k)_(k \in ℕ)

converge vers

ℓ

, et que

‖Aℓ - y‖_2 = min_(x \in M_(p, 1)(ℝ))‖Ax - y‖_2

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Mathématiques 1 TSI 2026 ?

Il porte sur le produit scalaire et les projections orthogonales, les séries de Fourier, la réduction des matrices, l'interpolation polynomiale et l'optimisation, autour du thème unificateur de la méthode des moindres carrés.

Quelles parties du sujet sont indépendantes ?

Les parties A, B, C et D sont indépendantes entre elles. La partie B sur les limites de suites de matrices est réutilisée dans la partie E pour résoudre le problème posé en partie D.

Ce sujet est-il en lien avec l'intelligence artificielle ?

Le sujet présente la méthode des moindres carrés comme un outil utilisé en intelligence artificielle, mais son contenu reste entièrement mathématique, sans notion d'apprentissage automatique à proprement parler.

Faut-il maîtriser la décomposition en valeurs singulières pour aborder ce sujet ?

Non, cette notion n'est pas un prérequis : la partie D.III construit entièrement la décomposition en valeurs singulières à partir de la réduction de la matrice ATA.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 TSI 2026

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