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Présentation du sujet

Matrices de Pascal et similitude à leur inverse, suite liée à 1/e, représentations de permutations par graphes ou matrices, et probabilité d'une permutation sans point fixe
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Le problème étudie d'abord les matrices supérieure, inférieure et symétrique de Pascal, construites à partir des applications de translation de polynômes, et montre qu'elles sont semblables à leur inverse. Il analyse ensuite une suite entière liée au nombre e et une série entière associée. Les deux dernières parties portent sur les représentations graphiques et matricielles des permutations, la diagonalisabilité des matrices de permutation, et un calcul de probabilité qu'une permutation tirée au hasard n'ait aucun point fixe.

  1. 1Partie A - Matrices de PascalÉtudie les matrices supérieure et inférieure de Pascal associées aux translations de polynômes, puis la matrice symétrique de Pascal, toutes semblables à leur inverse, et retrouve leurs coefficients par un dénombrement de chemins dans un graphe.
  2. 2Partie B - Étude d'une suite et d'une série entièreÉtudie la suite entière a_n définie par récurrence, montre qu'elle est le plus proche entier de n!/e, puis relie la série entière associée à une équation différentielle.
  3. 3Partie C - Permutations de [1,n]Représente une permutation par un graphe orienté ou par une matrice, et démontre qu'une matrice de permutation est diagonalisable si et seulement si son graphe ne contient que des boucles ou des bi-boucles.
  4. 4Partie D - Graphes de permutations sans boucleCalcule par deux méthodes indépendantes la probabilité qu'une permutation tirée au hasard n'ait aucun point fixe.

L'épreuve en chiffres

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Moyenne
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Présents
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Coefficient
14
Durée
4 h
1er quartile
6,4
Médiane
9,2
3e quartile
12,1
moyenne 9,305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

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Source : document officiel du concours, épreuve du 7 mai 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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Mathématiques 2

TSI
4 heures
Calculatrice autorisée
Dans tout le problème n désigne un entier naturel. ℝ_n[X] désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n dont la base canonique est e = (1, X, …, X^n).
On rappelle également que :
∀(i, j) ∈ ℕ^2, (j/i) = {0, si i > j; (j!)/(i!(j − i)!), si 0 ≤ i ≤ j.
On note |A| le cardinal de tout ensemble fini A et on dit que A est stable par une fonction f si et seulement si f est définie en tout x ∈ A et f(x) ∈ A.
Si M est une matrice de M_n(ℝ) alors M^⊤ désigne sa matrice transposée. I_n désigne la matrice identité de M_n(ℝ).
Le problème comporte 4 parties largement indépendantes. La partie A est consacrée à l'étude des matrices dites de Pascal. La partie B porte sur l'étude d'une suite numérique puis sur l'étude d'une série entière. Dans les parties C et D, n ∈ ℕ^∗. La partie C est relative à deux représentations (par graphe ou par matrice) des permutations de [ [1, n] ]. Enfin la partie D aborde un calcul de probabilité (seule cette partie repose sur les parties précédentes).

Partie A - Matrices de Pascal

On se place dans ℝ_n[X] et on considère les deux applications u et v de ℝ_n[X] dans ℝ_n[X] définies par :
∀P ∈ ℝ_n[X], u(P) = P(X + 1), v(P) = P(X − 1).

I - Cas particulier n = 2

Dans cette partie uniquement, on suppose que n = 2.
  • Q1.Démontrer que u est un endomorphisme de ℝ_2[X] et que la matrice de u dans la base canonique de ℝ_2[X] est donnée par :
    Mat_e(u) = (1, 1, 1; 0, 1, 2; 0, 0, 1).
  • Q2.On s'intéresse à la matrice Mat_e(u) obtenue précédemment. Justifier que cette matrice est inversible et calculer son inverse. Quel est le spectre de Mat_e(u) ? Mat_e(u) est-elle diagonalisable ?

II - Des matrices semblables à leurs inverses

On revient au cas général (ce qui signifie qu'on ne suppose plus n = 2 mais n ∈ ℕ quelconque) et on admet que u et v sont deux endomorphismes de ℝ_n[X].
On appelle matrice supérieure de Pascal la matrice notée U ∈ M_(n + 1)(ℝ) représentative de u dans la base canonique e de ℝ_n[X] (on numérotera les lignes et les colonnes de U par i et j appartenant à [ [0, n] ] ).
  • Q3.Montrer que U est triangulaire supérieure puis démontrer que pour tout (i, j) ∈ [ [0, n] ]^2 le coefficient d'indice (i, j) de U est égal à (j/i). Étudier la diagonalisabilité de U.
  • Q4.Déterminer u ∘ v, en déduire que u est bijective puis que U est inversible et déterminer le coefficient d'indice (i, j) de la matrice U^(− 1). Ce résultat est-il cohérent avec la matrice inverse calculé en Q2 ?
  • Q5.On note D la matrice diagonale de M_(n + 1)(ℝ) tel que pour tout i ∈ [ [0, n] ], le i-ème coefficient diagonal est (− 1)^i. Démontrer que D est inversible et égale à son inverse.
Q6. Calculer DU et U^(− 1)D et en déduire que U = DU^(− 1)D puis que U est semblable à son inverse.
Q7. On appelle matrice inférieure de Pascal la matrice définie par L = U^⊤. Établir que L = DL^(− 1)D et en déduire que L est également semblable à son inverse.

III - Une matrice diagonalisable semblable à son inverse

On appelle enfin matrice symétrique de Pascal la matrice S = LU.
Q8. Dans cette question à nouveau on fixe n = 2. Calculer S et justifier que S est diagonalisable puis démontrer que le spectre de S est constitué de trois valeurs 1, α et 1/α avec α > 1.
Q9. On revient au cas général (n ∈ ℕ^∗). Justifier que S est diagonalisable, inversible et :
S^(− 1) = (DU)S(DU)^(− 1)
En déduire que S est à nouveau semblable à son inverse.
Q10. Soit λ une valeur propre de S et X ∈ M_(n + 1, 1)(ℝ) un vecteur propre associé. Démontrer que λ > 0 (on pourra pour cela calculer de deux façons X^⊤SX ).
Q11. Démontrer que le spectre de S est stable par x ↦ 1/x.
Q12. En considérant la matrice A ci-dessous, déterminer si, réciproquement, une matrice inversible dont le spectre est stable par x ↦ 1/x est toujours semblable à son inverse (on pourra calculer la trace de A ).
A = (2, 0, 0; 0, 2, 0; 0, 0, 1/2).

IV - Calcul des coefficients de S à l'aide d'un dénombrement dans un graphe

On considère le graphe orienté G_n dont les sommets sont les couples (i, j) ∈ [ [0, n] ]^2 ainsi qu'un sommet particulier appelé source et noté s. Les arcs de G_n sont les suivants : un arc de s vers (0, 0) (un tel arc est noté s → (0, 0) ) et les arcs(i, j) → (i, j + 1) pour tout (i, j) ∈ [ [0, n] ] × [ [0, n − 1] ] et les arcs(i, j) → (i + 1, j) pour tout (i, j) ∈ [ [0, n − 1] ] × [ [0, n] ]. Par exemple, on a représenté ci-dessous le graphe G_3 :
Figure 1 - Graphe G_3.
Pour tout (i, j) ∈ [ [0, n] ]^2, on s'intéresse à l'ensemble des chemins de s vers (i, j) dans G_n et on note cet ensemble Ω_(i, j). Par exemple il n'y a qu'un seul chemin de s vers (0, 0) qui est l'arc s → (0, 0) ainsi Ω_(0, 0) est le singleton :
Ω_(0, 0) = {s → (0, 0)}.
Si n ≥ 2, il y a trois chemins de s vers (1, 2) et Ω_(1, 2) est l'ensemble à trois chemins :
Ω_(1, 2) = {, s → (0, 0) → (0, 1) → (0, 2) → (1, 2),; s → (0, 0) → (0, 1) → (1, 1) → (1, 2),; s → (0, 0) → (1, 0) → (1, 1) → (1, 2)}.
  • Q13.Déterminer Ω_(2, 2) et vérifier que |Ω_(2, 2)| = 6 puis justifier que, pour tout (i, j) ∈ [ [0, n] ]^2, |Ω_(i, j)| = ((i + j)/i).
  • Q14.Soient (i, j) ∈ [ [0, n] ]^2 et k ∈ [ [0, i] ]. On note A_k l'événement «le chemin passe par le sommet (k, i − k)». En remarquant qu'un chemin de A_k est constitué d'un chemin de s vers (k, i − k) puis d'un chemin de (k, i − k) vers (i, j), déterminer |A_k| et montrer que (A_k)_(k ∈ [ [0, i] ]) est un système complet d'événements puis en déduire que :
    ((i + j)/i) = ∑_(k = 0)^i(i/k)(j/(i − k)).
  • Q15.Déduire de cette formule que le coefficient d'indice (i, j) ∈ [ [0, n] ]^2 de S est égal à ((i + j)/i).

Partie B - Étude d'une suite et d'une série entière

I - Étude d'une suite

On considère la suite (a_n)_(n ∈ ℕ) de terme général :
{a_0 = 1; a_1 = 0; ∀n ∈ ℕ^∗, a_(n + 1) = n(a_n + a_(n − 1)).
  • Q16.Vérifier que a_2 = 1 et a_3 = 2.
  • Q17.Écrire une fonction Python liste_an (n) prenant en paramètre n ∈ ℕ et renvoyant la liste [a_0, …, a_n].
  • Q18.Montrer que pour tout n ∈ ℕ, a_n ∈ ℕ.
  • Q19.Montrer que pour tout n ∈ ℕ, a_n ≤ n!.
  • Q20.On cherche à déterminer une caractérisation de l'entier a_n (pour n ∈ ℕ^∗ ) et à en déduire un équivalent simple. À cette fin, on considère la série de terme général ((− 1)^n)/(n!) (pour tout n ∈ ℕ ) dont on note S_n = ∑_(k = 0)^n((− 1)^k)/(k!) la somme partielle. Démontrer que cette série converge, préciser sa limite et en déduire que :
    ∀n ∈ ℕ, S_n ≤ 1/e ≤ S_(n + 1) ou S_(n + 1) ≤ 1/e ≤ S_n.
  • Q21.Montrer que pour tout n ∈ ℕ, a_n = n!S_n et en déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗, a_n est le plus proche entier de (n!)/e, c'est-à-dire que a_n est l'unique entier tel que |(n!)/e − a_n| < 1/2.
  • Q22.En déduire que a_n ∼ _(n → + ∞)(n!)/e.

II - Étude d'une série entière

L'étude de la série entière de terme général (a_n)/(n!)x^n, dont on note s(x) la somme, va nous permettre d'obtenir une autre relation satisfaite par (a_n)_(n ∈ ℕ).
  • Q23.Montrer que R, le rayon de convergence de ∑(a_n)/(n!)x^n, est égal à 1 (on pourra utiliser Q21) puis que s est solution du système ci-dessous sur ] − 1, 1[ :
    {(1 − x)y^′ − xy = 0; y(0) = 1
  • Q24.Résoudre le système précédent afin d'en déduire une expression explicite de s(x) pour tout x ∈ ] − 1, 1[.
  • Q25.Appliquer la formule de Leibniz au calcul de la dérivée p-ème de x ↦ e^x s(x) évaluée en 0, et après avoir rappelé le lien entre a_k et s^((k))(0) (pour k ∈ ℕ ), en déduire que :
    ∀p ∈ [ [0, n] ], p! = ∑_(k = 0)^p(p/k)a_k.

Partie C - Permutations de [ [1, n] ]

On rappelle que dorénavant, n ∈ ℕ^∗. On appelle permutation de [ [1, n] ] toute application bijective de [ [1, n] ] dans lui-même et on note S_n l'ensemble des permutations de [ [1, n] ].

I - Représentations d'une permutation

On propose deux manières de représenter une permutation σ de [ [1, n] ]. La première consiste à considérer un graphe orienté dont les sommets sont les éléments de [ [1, n] ] et pour lequel il existe un arc du sommet i vers j si et seulement si σ(i) = j. Par exemple, σ ∈ S_6 définie par σ(1) = 1, σ(2) = 5, σ(3) = 6, σ(4) = 2, σ(5) = 4, σ(6) = 3, est représentée par le graphe G(σ) ci-dessous :
Figure 2 - Un graphe G(σ) représentatif d'une permutation σ.
On remarquera qu'il ne s'agit pas d'un graphe au sens strict du terme puisqu'on s'autorise un arc allant d'un sommet i vers le même sommet i. Un tel arc sera dorénavant appelé une boucle. De même s'il existe un arc du sommet i vers le sommet j ≠ i et un arc du sommet j vers le sommet i on parlera de bi-boucle. Par exemple le graphe représenté précédemment comporte la boucle 1 → 1 et la bi-boucle 3 → 6 → 3.
La seconde manière de représenter une permutation de S_n consiste à écrire une matrice de M_n(ℝ) (dont on numérote les lignes et les colonnes par i et j appartenant à [ [1, n] ] ) tel que le coefficient d'indice (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2 vaut 1 si et seulement si σ(i) = j. Par exemple, σ définie précédemment est représentée par la matrice :
M(σ) = (1, 0, 0, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 0, 1; 0, 1, 0, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0, 0).
Figure 3 - Une matrice M(σ) représentative d'une permutation σ.
On admet que ces deux représentations définissent deux bijections G et M de S_n vers G(S_n) d'une part et de S_n vers M(S_n) d'autre part, autrement dit :
∀(σ, τ) ∈ S_n^2, σ = τ ⇔ G(σ) = G(τ) ⇔ M(σ) = M(τ).
Q26. Représenter le graphe de la permutation dont la matrice représentative est :
(1, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 1; 0, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 0)
Figure 4 - Une matrice représentative d'une permutation dont on cherche le graphe représentatif.
Q27. Donner la matrice représentative de la permutation dont le graphe représentatif est :
Figure 5 - Un graphe représentatif d'une permutation dont on cherche la matrice représentative.

II - Propriétés

Soit σ une permutation de [ [1, n] ].
Q28. Calculer M(σ)M(σ^(− 1)) et en déduire que M(σ) est inversible et :
M(σ)^(− 1) = M(σ^(− 1)).
Q29. Expliquer comment représenter G(σ^(− 1)) à partir de G(σ) et M(σ^(− 1)) à partir de M(σ). En déduire que :
M(σ)^(− 1) = M(σ)^⊤.
Q30. Démontrer que :
M(σ^2) = M(σ)^2.

III - Matrices de permutation diagonalisables

On se propose de démontrer le théorème ci-dessous :
Une matrice M(σ) représentative de σ ∈ S_n est diagonalisable si et seulement si le graphe G(σ) représentatif de σ ne contient que des boucles ou des bi-boucles.
Q31. Commençons par un exemple. Démontrer que le polynôme caractéristique de la matrice introduite en Q25 est égal à χ = (X − 1)^3(X + 1) puis étudier sa diagonalisabilité. Cela est-il cohérent avec le théorème que l'on se propose de démontrer ?
Q32. Traitons le sens direct en fixant σ ∈ S_n tel que M(σ) est diagonalisable. Démontrer que si λ est valeur propre de M(σ) alors λ^2 = 1 (on pourra s'inspirer de Q10).
Q33. En déduire qu'il existe q ∈ [ [0, n] ] tel que M(σ) est semblable à la matrice diagonale de M_n(ℝ) ci-dessous comportant q fois le coefficient 1 et n − q fois le coefficient -1:
(1, (0); ⋱; 1; − 1; ⋱; (0), − 1)
Q34. En déduire que σ^2 = id puis que G(σ) ne contient que des boucles ou des bi-boucles.
Q35. Traiter la réciproque.

Partie D - Graphes de permutations sans boucle

I - Introduction

On se propose de calculer la probabilité qu'un graphe de G(S_n), choisi de façon aléatoire, soit sans boucle.
Notons B_n l'événement «le graphe choisi est sans boucle», b_n le cardinal de B_n et X_n la variable aléatoire qui au graphe choisi associe le nombre de boucle(s) de celui-ci.
Pour cela, on utilisera deux méthodes indépendantes.
Q36. Quel est le cardinal de G(S_n) ? Quel est l'ensemble des valeurs prises par X_n ?
Q37. On fixe par convention b_0 = 0. Démontrer que :
∀j ∈ [ [0, n] ], P(X_n = j) = ((n/j)b_(n − j))/(n!).
  • Q38.En déduire que :
    ∀p ∈ [ [0, n] ], p! = ∑_(k = 0)^p(p/k)b_k.
    On pourra commencer par le cas p = n puis généraliser.
  • Q39.Justifier que ces relations permettent de calculer b_0, b_1, …, b_n. Préciser b_1, b_2 et b_3.

II - Calcul d'une probabilité par deux méthodes

  • Q40.À l'aide de la série entière de somme s(x) introduite en partie B.II, démontrer que :
    P(B_n) = ∑_(k = 0)^n((− 1)^k)/(k!).
  • Q41.On utilise enfin la matrice L introduite en Q7. On rappelle que cette matrice appartient à M_(n + 1)(ℝ), qu'elle est inversible et triangulaire inférieure.
    On note F la matrice colonne de M_(n + 1, 1)(ℝ) définie par :
    F = (0!; 1!; ⋮; n!).
    Calculer L^(− 1)F puis retrouver que :
    P(B_n) = ∑_(k = 0)^n((− 1)^k)/(k!).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 TSI Centrale 2026 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 TSI Centrale 2026 ?

Il porte sur la réduction des matrices (matrices de Pascal semblables à leur inverse), une suite liée à 1/e et sa série entière associée, et les permutations vues comme graphes ou matrices.

Quelles parties sont indépendantes dans le sujet de mathématiques 2 TSI Centrale 2026 ?

Les quatre parties A, B, C et D sont largement indépendantes, chacune pouvant être traitée séparément.

Le sujet de mathématiques 2 TSI Centrale 2026 demande-t-il de programmer en Python ?

Oui, une question de la partie B demande d'écrire une fonction Python calculant les premiers termes de la suite étudiée.

Ce sujet de mathématiques 2 TSI Centrale 2026 porte-t-il sur les probabilités ?

Oui, la partie D calcule par deux méthodes la probabilité qu'une permutation tirée au hasard ne possède aucun point fixe.

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