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Calcul d'intégrales trigonométriques par les nombres complexes et étude de matrices aléatoires 2x2

Ce sujet de mathématiques comporte deux problèmes indépendants. Le premier calcule, à l'aide des nombres complexes et de deux développements en séries trigonométriques distincts, l'intégrale de cos(nt)/(a-cos(t)) sur une période. Le second étudie des matrices aléatoires 2x2 dont les coefficients suivent des lois de Rademacher, géométrique ou de Poisson, en s'appuyant sur un produit scalaire matriciel et la distance à l'espace des matrices symétriques.

1Problème 1, partie I : lemme préliminaireÉtudier les racines complexes α et β de z²-2az+1 pour un réel a tel que |a|>1.
2Problème 1, partie II : calcul d'une intégraleObtenir deux expressions en série trigonométrique de 1/(a-cos(t)) et en déduire la valeur de l'intégrale de cos(nt)/(a-cos(t)).
3Problème 2, partie I : généralités sur M2(R)Munir M2(R) d'un produit scalaire et exprimer la distance d'une matrice au sous-espace des matrices symétriques.
4Problème 2, parties II à IV : matrices aléatoiresÉtudier la trace et le déterminant de matrices aléatoires 2x2 construites à partir de lois de Rademacher, géométrique ou de Poisson, et leur diagonalisabilité.

L'épreuve en chiffres

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Source : document officiel du concours, épreuve du 20 avril 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants. Chaque problème est constitué de parties globalement indépendantes.

PROBLÈME 1

Calcul d'une intégrale via les nombres complexes

Le but de ce problème est de calculer les intégrales du type :

\int_0^(2π)(cos(nt))/(a - cos(t))dt

où

a

désigne un nombre réel tel que

|a| > 1

n

un entier naturel.

Partie I - Lemme préliminaire

Soit

a

un nombre réel tel que

|a| > 1

Q1.Justifier qu'il existe deux nombres complexes $α$ et $β$ tels que pour tout nombre complexe $z$ :
$z^2 - 2az + 1 = (z - α)(z - β).$
Q2.Vérifier que $α + β = 2a$ et $αβ = 1$ .
Q3.On suppose dans cette question que $|α| \geq 1$ et $|β| \geq 1$ . Montrer que $|α| = |β| = 1$ , puis que $|a| \leq 1$ .
Q4.En déduire que $|α| < 1$ ou $|β| < 1$ .
Q5.On suppose uniquement dans cette question que $a = 2$ .
Donner la valeur de $α$ et de $β$ pour ce choix de $a$ .

On supposera dans la suite

|α| < 1

. On rappelle que

a

est un nombre réel quelconque tel que

|a| > 1

Partie II - Calcul d'une intégrale

II. 1 - Une première expression en série trigonométrique

Dans cette sous-partie, nous allons établir une première expression en série de

f : t \mapsto 1/(a - cos(t))

Q6.Vérifier que pour tout réel $t, a - cos(t) \neq 0$ .
Q7.Montrer que la fonction $f : t \mapsto 1/(a - cos(t))$ est continue, paire et $2π$ -périodique sur $ℝ$ .
Q8.Rappeler l'expression des coefficients de Fourier de $f$ sous leur forme intégrale.
On ne cherchera pas à les calculer et on utilisera les notations usuelles $(a_n)_(n \geq 0)$ et $(b_n)_(n \geq 1)$ pour désigner les suites de ces coefficients.
Q9.Montrer que pour tout $t \in ℝ$ , on a :
$f(t) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n cos(nt).$

II. 2 - Une seconde expression en série trigonométrique

Dans cette sous-partie, nous allons établir une seconde expression en série de

f : t \mapsto 1/(a - cos(t))

.
Q10. Montrer l'égalité :

\forallt \in ℝ, 1/(a - cos(t)) = (- 2e^(it))/((e^(it))^2 - 2ae^(it) + 1).

Q11. En déduire que :

\forallt \in ℝ, 1/(a - cos(t)) = (- 2e^(it))/((e^(it) - α)(e^(it) - β)),

puis que :

\forallt \in ℝ, 1/(a - cos(t)) = (2α)/(1 - α^2)((αe^(- it))/(1 - αe^(- it)) + 1/(1 - αe^(it))).

Q12. Rappeler le rayon de convergence et la somme de la série

\sum_(n \geq 0)z^n

.
Q13. Montrer les égalités :

\forallt \in ℝ, (αe^(- it))/(1 - αe^(- it)) + 1/(1 - αe^(it)) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)α^(n + 1)e^(- i(n + 1)t) + \sum_(n = 0)^(+ \infty)α^n e^(int) = 1 + 2\sum_(n = 1)^(+ \infty)α^n cos(nt).

Q14. En déduire l'expression :

\forallt \in ℝ, f(t) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)γ_n cos(nt)

avec

γ_n = {4α^(n + 1)/(1 − α^2), si n ≥ 1; 2α/(1 − α^2), si n = 0.

Q15. Justifier que

\sum_(n \geq 0)γ_n

converge absolument.

II. 3 - Conclusion

On pose pour tout

n \in ℕ, u_n = a_n - γ_n

. On souhaite montrer que les suites

(a_n)_(n \geq 0)

(γ_n)_(n \geq 0)

coïncident.
Q16. Montrer que pour tout réel

t

\sum_(n = 0)^(+ \infty)u_n cos(nt) = 0.

Q17. Le but de cette question est de montrer que la série

\sum_(n \geq 0)u_n

converge absolument.

a)Montrer que si une fonction périodique est de classe $C^1$ sur $ℝ$ , alors sa fonction dérivée est également périodique de même période sur $ℝ$ .
b)Montrer que $f$ est une fonction de classe $C^2 surℝ$ .
c)Par intégrations par parties successives, montrer que pour tout entier naturel $n$ :
$n^2\int_0^(2π)f(t)cos(nt)dt = - \int_0^(2π)f^('')(t)cos(nt)dt$
d)Montrer que :
$\foralln \geq 1, |a_n| \leq 1/(n^2 π)\int_0^(2π)|f^('')(t)|dt$
e)En déduire que la série $\sum_(n \geq 0)a_n$ converge absolument, puis que $\sum_(n \geq 0)u_n$ converge absolument.

On admet le théorème suivant. Soit

(u_n)_(n \geq 0)

une suite telle que la série

\sum_(n \geq 0)u_n

converge absolument et telle que, pour tout réel

t

, on ait

\sum_(n \geq 0)u_n cos(nt) = 0

. Alors, nécessairement,

u_n = 0

pour tout

n \in ℕ

On a montré dans les questions précédentes que les hypothèses de ce théorème étaient vérifiées. Ainsi, on a démontré que pour tout entier naturel

n

, on a

u_n = 0

Q18. En déduire la formule suivante pour

n \in ℕ

\int_0^(2π)(cos(nt))/(a - cos(t))dt = (4πα^(n + 1))/(1 - α^2)

Q19. Calculer l'intégrale suivante :

\int_0^(2π)(dt)/(2 - cos(t))

On pourra s'aider de la question Q5.

PROBLÈME 2
Matrices aléatoires

Notations et définitions
Dans ce problème :

-on note $M_2(ℝ)$ : l'espace vectoriel des matrices carrées réelles sur $ℝ$ d'ordre 2;
-on note $S_2(ℝ)$ : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de $M_2(ℝ)$ ;
-pour toute matrice $A$ de $M_2(ℝ)$ , $det(A)$ , $Tr(A)$ et $A^⊤$ désignent respectivement le déterminant, la trace et la matrice transposée de $A$ ;
-pour tout événement $E$ de l'univers $Ω, P(E)$ désigne la probabilité de $E$ ;
-pour toute variable aléatoire $X, E(X)$ et $V(X)$ désignent respectivement l'espérance et la variance de $X$ ;
-si $Π$ est un sous-espace vectoriel de $M_2(ℝ)$ et $A$ une matrice de $M_2(ℝ)$ , alors le réel positif $d(A, Π) = inf_(B \in Π)‖A - B‖$ désigne la distance de $A$ à $Π$ .

Soient

X_1, X_2, X_3

X_4

quatre variables aléatoires réelles discrètes sur un univers

Ω

. Toute matrice de la forme

Σ = (X_1, X_2; X_3, X_4)

s'appelle une matrice aléatoire de

M_2(ℝ)

.
Plus précisément, pour tout

ω \in Ω, Σ(ω) = (X_1(ω), X_2(ω); X_3(ω), X_4(ω))

.
Puisque

Σ

est aléatoire, la probabilité d'un événement relatif à

Σ

se définit naturellement par :

P(Σ \in K) = P({ω \in Ω : Σ(ω) \in K})

où

K \subset M_2(ℝ)

est un ensemble de matrices.
Autrement dit, on mesure la probabilité des réalisations

ω

pour lesquelles la matrice

Σ(ω)

satisfait la condition définissant l'ensemble

K

Exemple
On s'intéresse à la probabilité que la matrice aléatoire

Σ

ne soit pas inversible. L'événement sur l'univers

Ω

correspondant aux matrices non inversibles est

{ω \in Ω : Σ(ω)

n'est pas inversible

}

On suppose que :

- $X_1$ et $X_2$ sont deux variables aléatoires discrètes indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètre $p$ , où $p$ est un réel de ]0, 1[;
- $X_3$ et $X_4$ sont deux variables aléatoires certaines avec $X_3(Ω) = {2}$ et $X_4(Ω) = {3}$ .

Dans cet exemple, la matrice aléatoire

Σ = (X_1, X_2; X_3, X_4)

peut prendre comme valeurs les matrices suivantes :

(0, 0; 2, 3), (0, 1; 2, 3), (1, 0; 2, 3), (1, 1; 2, 3).

Parmi celles-ci, la seule matrice non inversible est

(0, 0; 2, 3)

, ce qui correspond à

[X_1 = 0]

[X_2 = 0]

.
La probabilité que la matrice

Σ

ne soit pas inversible est donc égale à

P([X_1 = 0] \cap [X_2 = 0]) = (1 - p)^2

.
Les parties de ce problème sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque. Les résultats de la partie I sont utiles pour la partie III.

Partie I - Généralités sur l'espace vectoriel $M_2(ℝ)$

Soient

A

B

deux matrices carrées de

M_2(ℝ)

. On définit le produit

⟨A, B⟩

par :

⟨A, B⟩ = Tr(AB^⊤).

Q20. Soient

A = (a_1, a_2; a_3, a_4)

B = (b_1, b_2; b_3, b_4)

deux matrices de

M_2(ℝ)

où pour tout

i ∈ {1, 2, 3, 4}, a_i

b_i

sont des réels. Vérifier que

⟨A, B⟩ = \sum_(k = 1)^4 a_k b_k

.
Q21. Montrer que

⟨ \cdot, \cdot ⟩

définit bien un produit scalaire sur

M_2(ℝ)

.
La norme associée à ce produit scalaire est notée :

‖A‖ = \sqrt(Tr(AA^⊤))

.
Q22. Soit

A

une matrice de

M_2(ℝ)

. Vérifier que la matrice

(A + A^⊤)/2

est symétrique et que la matrice

(A - A^⊤)/2

est antisymétrique. Montrer ensuite que ces deux matrices sont orthogonales pour le produit scalaire

⟨ \cdot, \cdot ⟩

.
Q23. Montrer que toute matrice

A \in M_2(ℝ)

est somme, d'une manière unique, d'une matrice symétrique

M

et d'une matrice antisymétrique

N

, où

M = (A + A^⊤)/2

et préciser l'expression de

N

en fonction de

A

.
Q24. Montrer que pour toute matrice

A \in M_2(ℝ)

, on a l'égalité

d(A, S_2(ℝ)) = 1/2‖A - A^⊤‖

Partie II - Matrice de Rademacher

Soient

X_1

Y_1

deux variables aléatoires réelles définies sur un univers

Ω

telles que :

- $X_1$ et $Y_1$ suivent la même loi, appelée loi de Rademacher, définie par :
$X_1(Ω) = { − 1; 1} et P(X_1 = − 1) = P(X_1 = 1) = 1/2;$
- $X_1$ et $Y_1$ sont indépendantes.

On se propose d'étudier quelques propriétés de la matrice aléatoire

Σ_1 = (X_1, 0; 1, Y_1)

.
On définit les deux variables aléatoires discrètes

T_1

Z_1

par :

T_1 = Tr(Σ_1) = X_1 + Y_1, Z_1 = det(Σ_1) = X_1 Y_1.

Q25. Déterminer les valeurs de

E(X_1)

et de

V(X_1)

.
Q26. Déterminer la loi de probabilité de

T_1

. Calculer

E(T_1)

V(T_1)

.
Q27. Déterminer la loi de probabilité de

Z_1

. Calculer

E(Z_1)

V(Z_1)

Partie III - Matrice géométrique

Soit

p

un réel dans 10, 1[. Dans cette partie,

X_2

Y_2

sont deux variables aléatoires telles que :

- $X_2$ et $Y_2$ suivent une loi géométrique de paramètre $p$ , c'est-à-dire :
$X_2(Ω) = ℕ^* et \forallk \in ℕ^*, P(X_2 = k) = p(1 - p)^(k - 1);$
- $X_2$ et $Y_2$ sont indépendantes.

On introduit la matrice aléatoire

Σ_2

définie par

Σ_2 = (0, X_2 - Y_2; X_2 + Y_2, 0)

.
De plus, on définit la variable aléatoire

T_2

par :

T_2 = d(Σ_2, S_2(ℝ)).

Q28. Rappeler les valeurs de

E(X_2)

et de

V(X_2)

.
Q29. Étude de

d(Σ_2, S_2(ℝ))

a)À l'aide de la partie I, montrer que $T_2 = Y_2\sqrt2$ .
b)Calculer $E(T_2)$ et $V(T_2)$ .

Q30. Montrer que pour tout

δ > 0

, on a :

P(|T_2 - (\sqrt2)/p| \geq δ) \leq (2(1 - p))/(δ^2 p^2).

Q31. On choisit dans cette question

p = 1/2

a)Déterminer un $δ > 0$ tel que :
$P(|T_2 - 2\sqrt2| \geq δ) \leq 1/4.$
b)En déduire qu'avec une probabilité d'au moins 3/4, on a :
$|d(Σ_2, S_2(ℝ)) - 2\sqrt2| < 4.$

Partie IV - Matrice de Poisson

Soient

X_3

Y_3

deux variables aléatoires telles que :

- $X_3$ et $Y_3$ suivent la loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ , c'est-à-dire :
$X_3(Ω) = ℕ et \forallk \in ℕ, P(X_3 = k) = e^(- λ)(λ^k)/(k!);$
- $X_3$ et $Y_3$ sont indépendantes.

On se propose d'étudier quelques propriétés de la matrice aléatoire

Σ_3 = (X_3, 0; 1, Y_3)

.
Puisque le paramètre

λ

influence la loi de

X_3

et de

Y_3

, il influence également la loi de

Σ_3

. On note alors

D_λ

l'événement : " la matrice

Σ_3

est une matrice diagonalisable dans

ℝ

". On définit les deux variables aléatoires discrètes

T_3

Z_3

par :

T_3 = Tr(Σ_3) = X_3 + Y_3, Z_3 = det(Σ_3) = X_3 Y_3.

Q32. Rappeler les valeurs de

E(X_3)

et de

V(X_3)

.
Q33. Inversibilité de

Σ_3

a)Démontrer que $P(Z_3 = 0) = 2exp(- λ) - exp(- 2λ)$ .
b)En déduire la probabilité que $Σ_3$ soit inversible.

Q34. Loi de

T_3

a)Montrer que $T_3(Ω) = ℕ$ , puis que pour tout entier naturel $n$ :
$P(T_3 = n) = \sum_(k = 0)^n P(X_3 = k)P(Y_3 = n - k).$
b)En déduire que $T_3$ suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.

Q35. Valeurs propres et vecteurs propres de

Σ_3

a)Vérifier que $((X_3 - Y_3)/1)$ est un vecteur propre de $Σ_3$ et préciser la valeur propre associée.
b)Montrer que $Y_3$ est une valeur propre de $Σ_3$ et préciser un vecteur propre associé.

Q36. Diagonalisation de

Σ_3

a)Montrer que $P(X_3 = Y_3) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)P(X_3 = k)^2$ .
b)Vérifier que $Σ_3$ est diagonalisable dans $ℝ$ si et seulement si $X_3 \neq Y_3$ .
c)Montrer que :
$P(D_λ) = 1 - e^(- 2λ)\sum_(k = 0)^(+ \infty)(λ^(2k))/((k!)^2).$

Q37. Approximation de

\sum_(k = 0)^(+ \infty)(e^(- 2))/((k!)^2)

et de

P(D_1)

a)Écrire en Python une fonction Approx_Sum qui prend pour argument d'entrée un entier naturel $N$ et renvoie $\sum_(k = 0)^N(e^(- 2))/((k!)^2)$ . On pourra utiliser les fonctions math.factorial() et math.exp().

b)Montrer que pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x \geq 0$ :
$exp(x) - \sum_(k = 0)^n(x^k)/(k!) = 1/(n!)\int_0^x(x - t)^n exp(t)dt$
c)En déduire l'inégalité suivante pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x \geq 0$ :
$exp(x) - \sum_(k = 0)^n(x^k)/(k!) \leq (x^(n + 1))/((n + 1)!)exp(x).$
d)Montrer que pour tout entier naturel $n$ :
$\sum_(k = n + 1)^(+ \infty)1/(k!) \leq e/((n + 1)!)$
e)En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
$0 \leq \sum_(k = 0)^(+ \infty)(e^(- 2))/((k!)^2) - \sum_(k = 0)^n(e^(- 2))/((k!)^2) \leq (e^(- 1))/((n + 1)!).$
f)On donne $100e^(- 1) \in [36, 37]$ . Déterminer un entier $N_0$ tel que :
$|\sum_(k = 0)^(+ \infty)(e^(- 2))/((k!)^2) - \sum_(k = 0)^(N_0)(e^(- 2))/((k!)^2)| \leq 10^(- 2)$
Avec Python, on obtient pour ce $N_0$ : print $($ Approx_Sum $(N_-0)) ≃ 0, 31$ .
g)Donner une approximation à $10^(- 1)$ près de $\sum_(k = 0)^(+ \infty)(e^(- 2))/((k!)^2)$ , puis de $P(D_1)$ .
h)Dans la question Q37 a), la fonction Approx_Sum fait appel à la fonction math.factorial().
Est-il judicieux d'appeler math.factorial() dans une boucle for?
On constate que cela ne pose pas de problème avec notre choix $N_0$ , pourquoi?

Q38. Étude d'une série entière.

a)Calculer le rayon de convergence de la série entière $\sum_(k \geq 0)(x^k)/((k!)^2)$ .
b)Montrer que $x \mapsto \sum_(k = 0)^(+ \infty)(x^k)/((k!)^2)$ est continue sur $ℝ$ .
c)Montrer que $g : λ \mapsto 1 - e^(- 2λ)\sum_(k = 0)^(+ \infty)(λ^(2k))/((k!)^2)$ est continue sur $[0, + \infty[$ .

Q39. Démontrer qu'il existe un réel strictement positif

μ

tel que les variables aléatoires indépendantes

X_3

Y_3

suivent la loi de Poisson de paramètre

μ

et tel que la matrice

(X_3, 0; 1, Y_3)

soit diagonalisable avec probabilité

1/2

.
Q40. Proposer une méthode numérique pertinente pour approcher

μ

. On ne la mettra pas en œuvre.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques TSI CCINP 2026 ?

Il porte sur les nombres complexes, les séries entières et de Fourier pour le premier problème, et sur les probabilités discrètes et les espaces euclidiens de matrices pour le second.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants ; à l'intérieur du second problème, les parties II, III et IV sont elles-mêmes présentées comme indépendantes.

Le sujet demande-t-il d'écrire du code Python ?

Oui, une question du problème 2 demande d'écrire en Python une fonction approchant une somme de série.

Quelles lois de probabilité sont étudiées dans ce sujet ?

Le second problème étudie successivement des matrices aléatoires dont les coefficients suivent la loi de Rademacher, la loi géométrique et la loi de Poisson.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES

PROBLÈME 1

Calcul d'une intégrale via les nombres complexes

Partie I - Lemme préliminaire

Partie II - Calcul d'une intégrale

II. 1 - Une première expression en série trigonométrique

II. 2 - Une seconde expression en série trigonométrique

II. 3 - Conclusion

PROBLÈME 2 Matrices aléatoires

Partie I - Généralités sur l'espace vectoriel M_2(ℝ)

Partie II - Matrice de Rademacher

Partie III - Matrice géométrique

Partie IV - Matrice de Poisson

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques TSI CCINP 2026 ?

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Le sujet demande-t-il d'écrire du code Python ?

Quelles lois de probabilité sont étudiées dans ce sujet ?

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PROBLÈME 2
Matrices aléatoires

Partie I - Généralités sur l'espace vectoriel $M_2(ℝ)$