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CCINP Mathématiques TSI 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Trois problèmes indépendants : étude de la fonction x -> x^x et calcul de son intégrale sur [0,1], calcul d'une limite par série de Fourier, variables de Rademacher
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Le sujet comporte trois problèmes indépendants et de difficulté globalement croissante. Le premier étudie la fonction x -> x^x pour encadrer puis approcher son intégrale sur [0, 1] par une série, avec une question de programmation Python. Le deuxième porte sur une série de Fourier utilisée pour calculer une limite intégrale, et le troisième traite de variables aléatoires de Rademacher dans plusieurs situations, dont une marche aléatoire sur un carré.

  1. 1Problème 1, partie I : étude de la fonction g(x) = x^xpremière annéeDérivabilité, tableau de variations, tangente et développement limité en 1, puis tracé de courbe.
  2. 2Problème 1, partie II : approximation de l'intégrale de x^x sur [0,1]Calcul d'intégrales par parties, développement en série entière et fonction Python d'approximation.
  3. 3Problème 1, partie III : point critique de la surface z = x^y - xÉtude d'une fonction de deux variables et de son point critique.
  4. 4Problème 2 : calcul d'une limite à l'aide d'une série de FourierÉtude de la convergence d'une suite d'intégrales I_n puis calcul de la limite via une série de Fourier.
  5. 5Problème 3 : variables aléatoires à valeurs dans {-1,1}Marche aléatoire sur un carré puis orthonormalité des lois de Rademacher.

Difficile. Le rapport indique que le sujet était particulièrement long cette année et de difficulté globalement croissante, et que le cours est trop souvent mal connu, ce qui a pénalisé un grand nombre de candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,63 / 20 · écart-type 3,89 · 1 276 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,63/ 20
Écart-type
3,89
Présents
1 276
Coefficient
8
Durée
4 h
moyenne 9,6305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 3 mai 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Justifier la dérivabilité sans la confondre avec la continuité · Équation de la tangente et développement limité mal maîtrisés · Abréviations et théorèmes non nommés
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Le jury souligne un sujet long et de difficulté croissante, mobilisant de larges connaissances de cours sur les deux années de prépa. Il relève des lacunes fréquentes sur le programme de première année (dérivées, tangente, développements limités, nombres complexes, récurrence, probabilités totales) et sur les bases d'algèbre linéaire. Il salue en revanche un effort de présentation des copies pour la plupart correctement lisibles.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Justifier la dérivabilité sans la confondre avec la continuitéQ1

    En Q1, des candidats se contentent de dériver pour justifier la dérivabilité, souvent sans succès dans le calcul, ou confondent dérivabilité et continuité.

  2. 2
    Équation de la tangente et développement limité mal maîtrisésQ3, Q4

    L'équation de la tangente n'est pas connue d'un grand nombre de candidats, et beaucoup ne savent pas exploiter un développement limité pour situer la tangente par rapport à la courbe.

  3. 3
    Abréviations et théorèmes non nommés

    Le jury regrette l'absence de référence explicite aux questions précédentes et de noms de théorèmes, et signale que des abréviations comme IPP ou FPT n'ont pas leur place si elles ne sont pas définies.

    « les abréviations comme IPP ou FPT n'ont pas leur place dans une copie correctement rédigée si elles n'ont pas été définies auparavant »
  4. 4
    Bases d'algèbre linéaire mal maîtriséesQ43, Q44, Q45

    Le jury signale un défaut de maîtrise des éléments propres, des caractérisations de matrices inversibles, des conditions de diagonalisation et du calcul d'une base de l'image ou d'une puissance de matrice.

  5. 5
    Résultats donnés dans l'énoncé affirmés sans justificationQ28, Q29

    Le jury rappelle que se contenter d'affirmer un résultat donné dans l'énoncé sans justification n'apporte aucun point.

  6. 6
    Formule des probabilités totales non citéeQ38

    La formule des probabilités totales devait être citée en Q38, ce qui n'a que trop rarement été fait.

Ce qui a été bien réussi

  • L'effort de présentation des copies, avec des résultats souvent mis en valeur et des copies pour la plupart lisibles
  • Le calcul de primitives usuelles (Q7), majoritairement bien traité
  • La matrice attendue en Q31, bien donnée par la grande majorité des candidats
  • Le changement de variable de Q27, assez bien réalisé

Conseils du jury

  • Mettre l'accent sur l'apprentissage du cours : définitions complètes avec hypothèses et conclusions, noms des théorèmes et formules
  • Citer explicitement les questions précédentes utilisées et nommer les théorèmes employés plutôt que d'utiliser des abréviations non définies
  • Justifier chaque étape d'un raisonnement, y compris quand le résultat final est donné par l'énoncé
  • Mettre en valeur le numéro des questions et traiter les questions dans l'ordre dans la mesure du possible

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois problèmes indépendants.

Le problème 1 est composé de trois parties et les problèmes 2 et 3 de deux parties.

PROBLÈME 1

On rappelle que pour x réel strictement positif et α réel, on note x^α = e^(αln(x)).
On considère la fonction g : x ⟼ x^x et on pose I = ]0, + ∞ [ son ensemble de définition.

Partie I - Étude de la fonction g

Q1. Calculer g(1) et justifier que g est dérivable sur I.
Q2. Dresser le tableau de variations de g et préciser ses limites aux bornes de I.
Q3. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 1 à la courbe représentative de g.
Q4. On admet que g(x) = _(x → 1)1 + (x − 1) + (x − 1)^2 + o((x − 1)^2). Déterminer la position relative de la tangente au point d'abscisse 1 par rapport à la courbe représentative de g.
Q5. Représenter sur l'intervalle ]0, 2] la courbe représentative de g et la tangente obtenue dans la question précédente sur le même graphique.
On donne e^(− 1) ≈ 0, 37 et g(e^(− 1)) ≈ 0, 69.
Q6. En utilisant le graphique, justifier l'encadrement e^(− 1) < ∫_0^1 x^x dx < 1.

Partie II - Une approximation plus précise de ∫_0^1 x^x dx

II. 1 - Un calcul d'intégrales

Q7. Soit n ∈ ℕ. Calculer ∫_0^1 x^n dx.
Q8. Soit (n, k) ∈ ℕ^∗ × ℕ. Justifier que la fonction x ⟼ x^n ln(x)^k est prolongeable par continuité en 0 et que son prolongement prend la valeur 0 en 0 .
Dans la suite, on notera la fonction prolongée de la même façon.
Q9. Soit (n, k) ∈ ℕ^∗ × ℕ. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
∫_0^1 x^n(ln(x))^k dx = − k/(n + 1)∫_0^1 x^n(ln(x))^(k − 1) dx
Q10. Pour n ∈ ℕ^∗, en déduire par récurrence sur k, que pour tout entier naturel k, on a:
∫_0^1 x^n(ln(x))^k dx = ((− 1)^k k!)/((n + 1)^(k + 1))
Justifier que cette égalité est encore vraie pour (n, k) = (0, 0).
II. 2 - Expression de ∫_0^1 x^x dx à l'aide d'une série
Q11. Rappeler le développement en série entière de z ⟼ e^z ainsi que son rayon de convergence.
Q12. Justifier que ∫_0^1 x^x dx = ∑_(n = 0)^(+ ∞)∫_0^1((xln(x))^n)/(n!)dx.
Q13. En déduire l'égalité ∫_0^1 x^x dx = ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/((n + 1)^(n + 1)).
Q14. Soit p ∈ ℕ. On note R_p = ∑_(n = p + 1)^(+ ∞)((− 1)^n)/((n + 1)^(n + 1)) le reste au rang p de la série ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/((n + 1)^(n + 1)) et on admet l'inégalité |R_p| ≤ 1/((p + 2)^(p + 2)).
Dans le langage Python, écrire une fonction approximation(e) qui prend en paramètre un nombre réel strictement positif e et qui renvoie un nombre réel représentant l'approximation de ∫_0^1 x^x dx dont l'erreur maximale commise est e.
Donner ensuite une valeur approchée de ∫_0^1 x^x dx à 1/(27) près.
Partie III - Étude du point critique de la surface z = x^y − x
Dans cette partie, on suppose l'espace ℝ^3 muni d'un repère orthonormé direct. Soit f la fonction de deux variables définie par f : (x, y) ⟼ x^y − x.
Q15. Déterminer l'ensemble de définition D_f de f et le représenter dans le plan.
Q16. Montrer que f admet un et un seul point critique dans D_f et vérifier que la valeur de f en ce point critique vaut 0 .
Q17. Montrer que :
f(1 + h, 1 − h) = _(h → 0) − h^2 + o(h^2).
Q18. À l'aide des questions Q4 et Q17, justifier que le point critique n'est pas un extremum.
Q19. Déterminer l'équation du plan tangent à la surface d'équation z = f(x, y) au point (1, 1, 0). Que peut-on affirmer sur la position relative de ce plan tangent à la surface ?

PROBLÈME 2 Calcul d'une limite à l'aide d'une série de Fourier

Pour n un entier naturel, on s'intéresse à l'intégrale :
I_n = ∫_0^(+ ∞)(sin((2n + 1)x))/(sin(x))e^(− x) dx

Partie I - Existence des I_n et réécriture

Q20. Déterminer la nature de I_0 = ∫_0^(+ ∞)e^(− x) dx.
Q21. Montrer que la série ∑_(p ≥ 0)e^(− pπ) converge et préciser la valeur de ∑_(p = 0)^(+ ∞)e^(− pπ).
Q22. Pour θ ∈ ℝ, démontrer l'égalité 1 − e^(i2θ) = − 2ie^(iθ)sin(θ).
Q23. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, on a :
∑_(k = − n)^n e^(2ikx) = (sin((2n + 1)x))/(sin(x))
On pourra effectuer le changement d'indice k ← k + n.
Q24. En déduire que, pour tout réel x positif, on a :
|(sin((2n + 1)x))/(sin(x))e^(− x)| ≤ (2n + 1)e^(− x).
Q25. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, l'intégrale I_n converge, puis justifier que l'on peut écrire :
I_n = ∑_(p = 0)^(+ ∞)∫_(pπ)^((p + 1)π)(∑_(k = − n)^n e^(2ikx))e^(− x) dx

Partie II - Étude de la convergence de ( I_n )

On considère f la fonction définie sur [0, 2π[ par :
f : t ⟼ e^(− t/2).
On note encore f son prolongement 2π-périodique sur ℝ et on considère les coefficients de Fourier de f définis par :
  • pour k ∈ ℤ, a_k(f) = 1/π∫_0^(2π)f(t)cos(kt)dt;
  • pourk ∈ ℤ, b_k(f) = 1/π∫_0^(2π)f(t)sin(kt)dt.
Q26. Pour k ∈ ℕ^∗, exprimer a_k(f) + a_(− k)(f) en fonction de a_k(f) et calculer b_k(f) + b_(− k)(f).
Q27. Soit n ∈ ℕ. À l'aide du changement de variables t = 2x − 2pπ, montrer que :
I_n = 1/2∑_(p = 0)^(+ ∞)(∫_0^(2π)∑_(k = − n)^n e^(ikt)e^(− t/2 − pπ) dt)
Q28. Soit n ∈ ℕ. En utilisant la question Q21, montrer que :
I_n = 1/2π/(1 − e^(− π))∑_(k = − n)^n a_k(f) + ib_k(f)
Q29. Soit n ∈ ℕ. En utilisant la question Q26, montrer que :
I_n = π/(1 − e^(− π))((a_0(f))/2 + ∑_(k = 1)^n a_k(f))
Q30. En appliquant le théorème de Dirichlet à f évaluée en 0 , montrer enfin que la suite (I_n) converge et déterminer sa limite.

PROBLÈME 3 Variables aléatoires à valeurs dans { − 1, 1}

Dans ce problème, toutes les variables aléatoires introduites sont supposées définies sur le même espace probabilisé ( Ω, P ). Pour X une variable aléatoire sur Ω, on note X(Ω) l'ensemble de ses valeurs.
On dit qu'une variable aléatoire X sur ( Ω, P ) suit une loi de Rademacher lorsque :
X(Ω) = { − 1, 1}, P(X = − 1) = 1/2, P(X = 1) = 1/2

Partie I - Marche aléatoire sur un carré

Dans cette partie, le plan usuel ℝ^2 est muni d'un repère orthonormé direct.

I. 1 - Rotations du plan

Soit θ ∈ ℝ.
Q31. Donner la matrice de rotation dans le plan ℝ^2 d'angle θ.
On note f_θ l'application de ℝ^2 vers ℝ^2 canoniquement associée à cette matrice de rotation.
Q32. Pour (x, y) ∈ ℝ^2, calculer f_θ(x, y).
À partir de cette question, on identifie le plan complexe ℂ au plan usuel ℝ^2. Ainsi, à chaque point (x, y) dans ℝ^2 est associé une unique affixe x + iy dans ℂ.
Q33. Pour (x, y) ∈ ℝ^2, démontrer que l'affixe correspondante à f_θ(x, y) s'écrit e^(iθ)(x + iy).
Pour la suite de cette partie, on admet que la rotation d'angle θ et ayant pour centre l'origine est représentée par l'application complexe r_θ : ℂ ⟶ ℂ définie par:
r_θ(z) = e^(iθ)z où z ∈ ℂ.

I. 2 - Racines n-ièmes de l'unité

Dans cette sous-partie, n désigne un entier naturel non nul. On rappelle qu'une racine n-ième de l'unité est un nombre complexe z vérifiant z^n = 1. On note, pour k ∈ [ [0, n − 1] ], ω_k = e^((2kπ)/ni).
Q34. Montrer que ω_0, …, ω_(n − 1) sont précisément les racines n-ièmes de l'unité.
Q35. Montrer que, pour tout k ∈ [ [0, n − 1] ], on a : r_(2π/n)(ω_k) = ω_(k + 1).
Q36. Dans le cas où n = 4, donner la forme algébrique de ω_0, ω_1, ω_2 et ω_3.

I. 3 - Marche aléatoire sur un carré

Dans cette sous-partie, le plan est assimilé à l'ensemble des nombres complexes ℂ. On s'intéresse à une boussole centrée en 0 dont l'aiguille peut indiquer l'une des quatre directions :
Est (d'affixe 1), Nord (d'affixe i), Ouest (d'affixe − 1) et Sud (d'affixe − i).
On suppose que lorsque l'aiguille se trouve en l'un des quatre points précédents à une étape, elle se déplace d'un point à l'étape d'après avec la probabilité 1/2 que ce soit dans le sens trigonométrique ou dans le sens inverse. D'une étape sur l'autre, elle ne peut donc pas rester sur place.
Pour n ∈ ℕ, on étudie le déplacement de l'aiguille de l'étape n à l'étape n + 1 et on note A_n la variable aléatoire qui indique l'affixe de l'aiguille de la boussole à l'étape n. Ainsi A_n prend ses valeurs dans {1, i, − 1, − i}.
On admet que les résultats du cours pour les variables aléatoires à valeurs réelles le sont aussi pour les variables aléatoires à valeurs complexes. On pourra donc les utiliser sur les variables A_n.
Pour n ∈ ℕ, on note aussi D_n la variable aléatoire qui vaut +1 si la boussole tourne dans le sens trigonométrique entre l'étape n et l'étape n + 1, et -1 dans le sens inverse. De ce fait D_n suit une loi de Rademacher.
Q37. Soit n ∈ ℕ. Justifier que A_(n + 1) = e^(iπ/2D_n)A_n.
Q38. Soit n ∈ ℕ. En utilisant la variable D_n et le fait que {(A_n = 1), (A_n = i), (A_n = − 1), (A_n = − i)} est un système complet d'événements de Ω, justifier que :
P(A_(n + 1) = 1) = 1/2P(A_n = i) + 1/2P(A_n = − i).
Q39. Soit n ∈ ℕ. Sans justifier, exprimer avec des formules analogues, P(A_(n + 1) = i), P(A_(n + 1) = − 1) et P(A_(n + 1) = − i).
On note la matrice M = (0, 1/2, 0, 1/2; 1/2, 0, 1/2, 0; 0, 1/2, 0, 1/2; 1/2, 0, 1/2, 0).
Q40. Justifier que M est diagonalisable dans ℝ.
Q41. La matrice M est-elle inversible?
Q42. Montrer que -1 est valeur propre de M.
Q43. Montrer que le vecteur (1, 1, 1, 1) est vecteur propre de M et préciser la valeur propre associée.
Q44. Déterminer une base de l'image de M et retrouver le fait que M est diagonalisable dans ℝ grâce aux dimensions des sous-espaces propres.
Q45. Soit la matrice colonne U_n = (P(A_n = 1); P(A_n = i); P(A_n = − 1); P(A_n = − i)). On suppose qu'à l'étape 0 , l'aiguille indique l'Est, c'est-à-dire U_0 = (1; 0; 0; 0). Expliquer la démarche, sans mener les calculs, pour obtenir une expression en fonction de n ∈ ℕ des probabilités P(A_n = 1), P(A_n = i), P(A_n = − 1) et P(A_n = − i).

Partie II - Orthonormalité des lois de Rademacher

Dans cette partie, on fixe n ∈ ℕ^∗.

II. 1 - Un produit scalaire

On note V_f(Ω) l'ensemble des variables aléatoires réelles discrètes sur Ω admettant un nombre fini de valeurs :
V_f(Ω) = {X : Ω ⟶ ℝ, X(Ω) est fini }.
Q46. Montrer que si X suit une loi de Rademacher, alors X ∈ V_f(Ω) et montrer que E(X) = 0.
Q47. Montrer que V_f(Ω) est un ℝ-espace vectoriel.
On définit l'application Φ sur V_f(Ω) × V_f(Ω) par :
Φ(X, Y) = E(XY)
où E désigne l'espérance et ( X, Y ) est un couple dans V_f(Ω) × V_f(Ω).
Q48. Montrer que l'application Φ est un produit scalaire sur V_f(Ω).

II. 2 - Orthonormalité et projection

On considère X_1, …, X_n une suite de n variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi de Rademacher.
Q49. Montrer que (X_1, …, X_n) est une famille orthonormale dans V_f(Ω) pour le produit scalaire Φ.
On garde dans cette dernière sous-partie les notations introduites ci-dessus. On note F le sous-espace vectoriel de V_f(Ω) engendré par X_1, …, X_n.
Q50. Déterminer la dimension de F.
Q51. Montrer que si X ∈ V_f(Ω) est indépendante de chacune des variables X_1, …, X_n, alors X ∈ F^⊥ où F^⊥ désigne l'orthogonal de F pour le produit scalaire Φ.
Q52. Soit X = ∑_(i = 1)^n(X_i + 1)/2. Déterminer la loi de X puis la distance de X à F.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques CCINP TSI 2021 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques CCINP TSI 2021 ?

Le sujet couvre l'étude de fonctions et les développements limités, l'intégration et les séries entières, les séries de Fourier, la réduction des endomorphismes ainsi que les probabilités discrètes, avec une question de programmation Python.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet CCINP maths TSI 2021 ?

Le jury relève surtout des lacunes sur le programme de première année (dérivées, tangente, développements limités, récurrence) et sur les bases d'algèbre linéaire, ainsi qu'un manque de rigueur dans la justification des résultats.

Le sujet CCINP maths TSI 2021 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme particulièrement long et de difficulté globalement croissante, ce qui en fait un sujet exigeant.

Faut-il bien connaître son cours de première année pour ce sujet CCINP TSI ?

Oui, le rapport insiste sur le fait que de nombreuses lacunes se sont fait ressentir sur des notions de première année, ce qui a pénalisé un grand nombre de candidats.

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