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Centrale Mathématiques 2 TSI 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Commutant d'une matrice et suites récurrentes linéaires d'ordre 3
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Le sujet balaie l'ensemble du programme d'algèbre linéaire et de calcul matriciel des deux années. La première partie étudie le commutant d'une matrice, d'abord sur des exemples en dimension 3 puis dans le cas général des matrices diagonalisables. La deuxième partie étudie un ensemble de suites récurrentes linéaires d'ordre 3 à l'aide des outils algébriques du programme.

  1. 1I. Commutant d'une matricealgèbre linéairePropriétés générales du commutant, exemples en dimension 3, puis cas d'une matrice à n valeurs propres distinctes et d'une matrice diagonalisable à deux valeurs propres.
  2. 2II. Suites récurrentes linéaires d'ordre 3algèbre linéaireÉtude d'un cas particulier puis du cas général de suites récurrentes linéaires d'ordre 3 à l'aide des outils d'algèbre linéaire.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet est de longueur raisonnable et que les candidats ayant une bonne connaissance du cours pouvaient obtenir un résultat honorable.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,74 / 20 · écart-type 4,4 · 1 038 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,74/ 20
Écart-type
4,4
Présents
1 038
Coefficient
12
Durée
4 h
1er quartile
6
Médiane
8,5
3e quartile
12
moyenne 8,7405101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 23 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Bijectivité confondue avec injectivité · Matrice de passage mal maîtrisée · Réponses sans justification
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Le jury note que le sujet a permis d'évaluer la maîtrise des notions d'algèbre linéaire au programme. Les candidats se sont trop souvent limités aux questions calculatoires au détriment des questions théoriques, alors que beaucoup étaient abordables avec une bonne connaissance du cours. Des lacunes sont relevées sur les notions de sous-espace vectoriel, base, isomorphisme et matrice de passage.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Bijectivité confondue avec injectivité

    Pour démontrer qu'une application est un isomorphisme entre espaces de dimensions inconnues, il faut démontrer sa bijectivité et non se contenter de l'injectivité.

  2. 2
    Matrice de passage mal maîtrisée

    La formule de changement de bases n'est pas souvent citée et ne semble pas bien connue ; certains candidats obtiennent des matrices de passage avec une colonne nulle.

    « La notion de matrice de passage est mal assimilée. La formule de changement de bases n'est pas souvent citée. »
  3. 3
    Réponses sans justificationQ11, Q15, Q22

    Aux questions Q11, Q15 et Q22, les candidats donnent souvent une réponse sans justification alors que la démonstration du caractère libre et générateur de la famille était attendue.

  4. 4
    Raisonnement par équivalence confondu avec une implicationQ5

    À la question Q5, il fallait raisonner par équivalence ou double implication et non par simple implication, une confusion relevée plus largement dans les copies.

  5. 5
    Double inclusion oubliéeQ33

    Plusieurs candidats ont bien traité la question Q33 mais n'ont pas conclu à l'égalité des ensembles par double inclusion.

  6. 6
    Rédaction et présentation insuffisantes

    Beaucoup de copies ne sont qu'une succession de calculs sans explication, avec des difficultés d'expression en français et un manque de soin.

Ce qui a été bien réussi

  • Le calcul des déterminants et des polynômes caractéristiques est dans la plupart des cas bien réalisé.
  • La partie I.B, abordée par quasiment tous les candidats, a permis à la plupart de gagner des points grâce aux calculs d'éléments propres.
  • D'assez nombreux candidats ont bien traité la question Q33.

Conseils du jury

  • Ne pas se limiter aux questions calculatoires : traiter aussi les questions théoriques, souvent abordables avec une bonne connaissance du cours.
  • Bien préciser si un raisonnement se fait par équivalence, par double implication ou par simple implication.
  • Soigner la rédaction et l'explication des calculs, la communication étant une compétence attendue chez un futur ingénieur.
  • Ne pas calculer l'inverse des matrices de passage lorsque cela n'est pas demandé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Notations et rappels

  • Pour n et p deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1, M_(n, p)(ℝ) désigne l'espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients réels. M_n(ℝ) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n et I_n la matrice identité d'ordre n.
Si M ∈ M_n(ℝ), on note [M]_(i, j) le coefficient situé sur la i-ème ligne et la j-ème colonne de M.
Si (λ_1, …, λ_n) ∈ ℝ^n, on note diag(λ_1, …, λ_n) la matrice diagonale de M_n(ℝ) dont les coefficients diagonaux sont λ_1, …, λ_n.
  • Base de M_n(ℝ)
Pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, on note E_(i, j)^((n)) la matrice de M_n(ℝ) dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient situé sur la i-ème ligne et la j-ème colonne qui vaut 1 . On admet que (E_(i, j)^((n)))_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2) est une base de M_n(ℝ).
  • Matrices blocs
Si n_1 et n_2 sont deux entiers naturels non nuls tels que n_1 + n_2 = n, toute matrice M ∈ M_n(ℝ) peut s'écrire sous la forme M = (M_1, M_2; M_3, M_4) où M_1 ∈ M_(n_1)(ℝ), M_2 ∈ M_(n_1, n_2)(ℝ), M_3 ∈ M_(n_2, n_1)(ℝ) et M_4 ∈ M_(n_2)(ℝ). Si N = (N_1, N_2; N_3, N_4) est une décomposition du même type, on admet que le produit matriciel MN s'effectue selon la même formule que le produit habituel en remplaçant les coefficients par des blocs :
MN = (M_1 N_1 + M_2 N_3, M_1 N_2 + M_2 N_4; M_3 N_1 + M_4 N_3, M_3 N_2 + M_4 N_4)
  • Polynômes matriciels
Si M ∈ M_n(ℝ), on définit la suite des puissances de M par M^0 = I_n et, pour tout entier naturel k, M^(k + 1) = MM^k.
ℝ[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels et ℝ_n[X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
Si Π = ∑_(k = 0)^d a_k X^k ∈ ℝ[X] et si M ∈ M_n(ℝ), on note Π(M) la matrice ∑_(k = 0)^d a_k M^k de M_n(ℝ).
On dit alors que Π(M) est un polynôme matriciel en M.
Enfin, on admet que, si (Π_1, Π_2) ∈ ℝ[X]^2 et M ∈ M_n(ℝ), alors (Π_1 × Π_2)(M) = Π_1(M) × Π_2(M).

Définition et objectifs du problème

On définit le commutant C_A d'une matrice A ∈ M_n(ℝ) par
C_A = {M ∈ M_n(ℝ)|AM = MA}.
L'objectif de la première partie est d'expliciter le commutant de certaines matrices de M_n(ℝ), notamment dans le cas où n = 3. La deuxième partie aborde l'étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 3 à coefficients constants. Seuls les résultats du I.B. 3 sont utilisés dans la partie II.
Le candidat mentionnera les résultats obtenus à l'aide d'une calculatrice. Dans ce cas, aucune justification complémentaire n'est attendue.

I Commutant d'une matrice

I.A - Propriétés générales

Soit A une matrice de M_n(ℝ) et P une matrice inversible de M_n(ℝ).
Q 1. Montrer que C_A est un sous-espace vectoriel de M_n(ℝ).
Q 2. Montrer que, si M et N appartiennent à C_A, alors leur produit MN appartient à C_A.
Q 3. Montrer que si M appartient à C_A, alors, pour tout entier naturel k, M^k appartient à C_A.
Q 4. Déduire de la question précédente que, si Π ∈ ℝ[X], alors Π(A) ∈ C_A.
On note A^′ = P^(− 1)AP.
Q 5. Montrer que M appartient à C_A si et seulement si M^′ = P^(− 1)MP appartient à C_(A^′).
On définit les deux applications Φ et Ψ par
Φ : | C_A, →, C_(A^′); M, ↦, P^(− 1)MP et Ψ : | C_(A^′), →, C_A; M, ↦, PMP^(− 1)
Q 6. Justifier que Φ et Ψ sont des applications linéaires.
Q 7. Calculer Φ ∘ Ψ et Ψ ∘ Φ.
Q 8. Établir que Φ et Ψ sont des isomorphismes.

I.B - Quelques exemples en dimension 3

I.B.1) Premier exemple

On considère la matrice A = (− 1, 0, 2; 0, − 1, 0; − 1, 1, 2).
Q 9. Montrer que A est diagonalisable dans M_3(ℝ) et expliciter une matrice P_1 inversible et une matrice D diagonale telles que A = P_1 DP_1^(− 1).
Q 10. Montrer qu'une matrice M^′ de M_3(ℝ) appartient à C_D si et seulement s'il existe trois réels a, b et c tels que
M^′ = (a, 0, 0; 0, b, 0; 0, 0, c).
Q 11. En déduire une base de C_D faisant intervenir certaines des matrices E_(i, j)^((3)).
Q 12. En utilisant la question 8, déterminer une base de C_A. Quelle est la dimension de C_A ?

I.B.2) Deuxième exemple

On considère la matrice B = (7, 2, − 2; 2, 4, − 1; − 2, − 1, 4).
Q 13. Justifier sans calcul que B est diagonalisable dans M_3(ℝ) et expliciter une matrice P_2 inversible et une matrice Δ diagonale vérifiant [Δ]_(3, 3) = 9 telles que B = P_2 ΔP_2^(− 1).
Q 14. Montrer qu'une matrice M^′ de M_3(ℝ) appartient à C_Δ si et seulement s'il existe cinq réels a, b, c, d et e tels que
M^′ = (a, b, 0; c, d, 0; 0, 0, e).
Q 15. En déduire une base de C_Δ puis une base de C_B. Quelle est la dimension de C_B ?

I.B.3) Troisième exemple

On considère la matrice G = (0, 1, 0; 0, 0, 1; − 2, 3, 0).
Q 16. Donner le polynôme caractéristique de G, ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
Q 17. G est-elle trigonalisable ? Est-elle diagonalisable ? Justifier les réponses.
On note g l'endomorphisme de ℝ^3 admettant G comme matrice dans la base canonique B de ℝ^3.
Q 18. Déterminer les vecteurs u et v de ℝ^3 vérifiant g(u) = − 2u et g(v) = v et dont les premières composantes dans la base B sont égales à 1 .
Q 19. Déterminer le vecteur w de première composante nulle dans la base B vérifiant (g − Id_(ℝ^3))(w) = v.
Q 20. Vérifier que B^′ = (u, v, w) est une base de ℝ^3 et donner une matrice P_3 inversible telle que G = P_3 TP_3^(− 1), où
T = (− 2, 0, 0; 0, 1, 1; 0, 0, 1)
Q 21. Montrer qu'une matrice M^′ de M_3(ℝ) appartient à C_T si et seulement s'il existe quatre réels a, b, c et d tels que
M^′ = (a, 0, 0; 0, b, c; 0, d, b)
Q 22. En déduire une base de C_T, puis une base de C_G.

I. C - Commutant d'une matrice d'ordre n ayant n valeurs propres distinctes

On suppose dans cette sous-partie que n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et que A est une matrice réelle d'ordre n admettant n valeurs propres réelles deux à deux distinctes λ_1, …, λ_n.

I.C.1)

Q 23. Justifier qu'il existe une matrice P_4 inversible telle que A = P_4 DP_4^(− 1) où D = diag(λ_1, …, λ_n).
Q 24. Démontrer que, pour tout polynôme Π de ℝ[X],
diag(Π(λ_1), …, Π(λ_n)) = Π(diag(λ_1, …, λ_n)).
I.C.2) On considère l'application Θ : | ℝ_(n − 1)[X], →, ℝ^n; Π, ↦, (Π(λ_1), …, Π(λ_n)).
Q 25. Montrer que Θ est linéaire et injective.
Q 26. Démontrer que, pour tout n-uple (μ_1, …, μ_n) de ℝ^n, il existe un unique polynôme Q ∈ ℝ_(n − 1)[X] tel que
∀i ∈ [ [1, n] ], Q(λ_i) = μ_i.
I.C.3) Soit M^′ une matrice de M_n(ℝ).
Q 27. Pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, calculer [M^′ D]_(i, j) et [DM^′]_(i, j).
Q 28. Démontrer que M^′ appartient à C_D si et seulement s'il existe des réels μ_1, …, μ_n tels que
M^′ = diag(μ_1, …, μ_n)
Q 29. Déterminer une base de C_D, puis une base de C_A.
Q 30. Comparer la dimension de C_A avec le résultat obtenu à la question 12.
I.C.4) Soit M une matrice appartenant à C_A. On pose M^′ = P_4^(− 1)MP_4.
Q 31. Démontrer qu'il existe un polynôme Q ∈ ℝ[X] tel que M^′ = Q(D).
Q 32. Démontrer que pour tout entier naturel n, (P_4 DP_4^(− 1))^n = P_4 D^n P_4^(− 1), puis que,
∀Π ∈ ℝ[X], Π(P_4 DP_4^(− 1)) = P_4 Π(D)P_4^(− 1).
Q 33. En déduire que M = Q(A), puis comparer C_A à l'ensemble des polynômes matriciels en A.

I.D - Commutant d'une matrice diagonalisable ayant deux valeurs propres

On suppose dans cette sous-partie que A ∈ M_n(ℝ) est une matrice diagonalisable sur ℝ, ayant exactement deux valeurs propres λ_1 et λ_2.
Pour tout i ∈ {1, 2}, on note n_i = dim(E_(λ_i)(A)) où E_(λ_i)(A) est le sous-espace propre de A associé à la valeur propre λ_i.
Soient
D = (λ_1 I_(n_1), 0; 0, λ_2 I_(n_2))
et P_5 une matrice inversible de M_n(ℝ) telle que A = P_5 DP_5^(− 1).
Q 34. Montrer qu'une matrice M^′ de M_n(ℝ) appartient à C_D si et seulement s'il existe deux matrices M_1^′ ∈ M_(n_1)(ℝ) et M_2^′ ∈ M_(n_2)(ℝ) telles que
M^′ = (M_1^′, 0; 0, M_2^′)
Q 35. En déduire la dimension de C_A et comparer ce résultat avec celui trouvé à la question 15.

II Suites récurrentes linéaires d'ordre 3

On note ℝ^ℕ l'ensemble des suites réelles définies sur ℕ et F le sous-ensemble de ℝ^ℕ formé des suites (u_n)_(n ∈ ℕ) qui vérifient
∀n ∈ ℕ, u_(n + 3) = au_(n + 2) + (a + 3)u_(n + 1) − 2(a + 1)u_n
où a est un nombre réel. On admet que F est un sous-espace vectoriel de ℝ^ℕ.

II.A - Étude du cas particulier a = 0

On considère ici la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par ses trois premiers termes u_0, u_1, u_2 et la relation de récurrence
∀n ∈ ℕ, u_(n + 3) = 3u_(n + 1) − 2u_n.
Pour tout entier naturel n, on pose U_n = (u_n; u_(n + 1); u_(n + 2)).
Q 36. Donner l'expression de U_(n + 1) en fonction de U_n et de la matrice G définie au I.B.3. En déduire l'expression de U_n en fonction de G et de U_0.
Q 37. Déterminer, pour tout entier naturel n, la matrice T^n où T est la matrice définie à la question 20 .
Q 38. En décomposant T^n en une somme de trois matrices bien choisies, montrer que (u_n)_(n ∈ ℕ) est combinaison linéaire des suites ((− 2)^n)_(n ∈ ℕ), (n)_(n ∈ ℕ), (1)_(n ∈ ℕ).
Q 39. Réciproquement, démontrer que toute combinaison linéaire des trois suites précédentes vérifie la récurrence (II.1).

II.B - Étude du cas général

On revient au cas général où a est un réel quelconque. On considère l'application
φ : | F, →, ℝ^3; (u_n)_(n ∈ ℕ), ↦, (u_0, u_1, u_2)
Q 40. Démontrer que φ est un isomorphisme et donner la dimension de F.
Q 41. Justifier que 3 suites (u_n)_(n ∈ ℕ), (v_n)_(n ∈ ℕ), (w_n)_(n ∈ ℕ) de F forment une base de F si, et seulement si, le déterminant |u_0, v_0, w_0; u_1, v_1, w_1; u_2, v_2, w_2| est non nul.
Q 42. Soit x ∈ ℝ^∗. Démontrer que la suite ( u_n ) définie par
∀n ∈ ℕ, u_n = x^n,
appartient à F si et seulement si
x^3 − ax^2 − (a + 3)x + 2(a + 1) = 0.
L'équation (II.2) s'appelle équation caractéristique de la récurrence. On note C(x) = x^3 − ax^2 − (a + 3)x + 2(a + 1).
Q 43. Démontrer que 1 est racine du polynôme C et et que toutes les racines de C sont réelles.
Q 44. On suppose a ≠ 0 et a ≠ − 3. Montrer que C admet deux racines distinctes, autres que 1 , notées r_1 et r_2. Montrer que les suites (1)_(n ∈ ℕ), (r_1^n)_(n ∈ ℕ) et (r_2^n)_(n ∈ ℕ) forment une base de l'espace vectoriel F.
Q 45. Montrer que, si a = − 3, l'équation (II.2) admet une racine double et une racine simple, notées respectivement r_0 et r_1. Donner les valeurs de r_0 et r_1.
Q 46. Soit x un nombre réel non nul et (v_n)_(n ∈ ℕ) la suite de terme général nx^n. Démontrer que, pour tout n de ℕ,
v_(n + 3) − av_(n + 2) − (a + 3)v_(n + 1) + 2(a + 1)v_n = x^n(nC(x) + xC^′(x))
où C^′ désigne la dérivée de C.
Q 47. En déduire, dans le cas où a = − 3, que la suite (nr_0^n)_(n ∈ ℕ) est élément de F. Déterminer une base de F.
Q 48. Déterminer la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) vérifiant
u_0 = 1, u_1 = 0, u_2 = 1 et ∀n ∈ ℕ, u_(n + 3) = − 3u_(n + 2) + 4u_n.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Centrale TSI 2021 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Centrale TSI 2021 ?

Le sujet porte sur le commutant d'une matrice et la réduction des endomorphismes en première partie, puis sur les suites récurrentes linéaires d'ordre 3 en seconde partie, en mobilisant l'ensemble du programme d'algèbre linéaire.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths 2 Centrale TSI 2021 ?

Le jury relève une maîtrise insuffisante des notions de base et d'isomorphisme, une formule de changement de bases mal connue, et des réponses données sans justification théorique suffisante.

Ce sujet de maths 2 Centrale TSI 2021 est-il difficile ?

Le rapport le qualifie de longueur raisonnable et indique que les candidats ayant une bonne connaissance du cours pouvaient obtenir un résultat honorable, ce qui correspond à une difficulté moyenne.

Le sujet de maths 2 Centrale TSI 2021 couvre-t-il tout le programme d'algèbre linéaire ?

Oui, le rapport précise que les thèmes proposés permettent de balayer l'ensemble du programme d'algèbre linéaire et de calcul matriciel des deux années.

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