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CCINP Mathématiques TSI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Trigonalisation matricielle, fonction définie par une intégrale et couple de variables aléatoires
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L'épreuve de mathématiques TSI du CCINP 2023 (4 heures) est composée de trois problèmes indépendants. Le premier étudie des suites par calcul matriciel et la trigonalisation d'une matrice réelle. Le deuxième analyse une fonction définie par une intégrale généralisée dépendant d'un paramètre, ses variations et son comportement à l'infini. Le troisième porte sur un couple de variables aléatoires issu d'une expérience à deux étapes, avec des séries entières.

  1. 1Problème 1 : suites et calcul matriciel (Q1 à Q15)Étude des éléments propres d'une matrice, trigonalisation dans une base adaptée, puis calcul de ses puissances pour obtenir l'expression explicite de trois suites couplées.
  2. 2Problème 2 : une fonction définie à partir d'une intégrale (Q16 à Q30)Définition d'une fonction par une intégrale généralisée dépendant d'un paramètre, calcul de ses valeurs entières, étude de ses variations et de son équivalent en l'infini.
  3. 3Problème 3 : étude d'un couple de variables aléatoires (Q31 à Q46)Résultats préliminaires sur les séries entières, puis étude de la loi et de l'espérance de deux variables aléatoires issues d'une expérience en deux étapes, et de leur indépendance.

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet de longueur raisonnable malgré le nombre important de questions ; l'algèbre a été très bien menée mais la partie probabilités a posé le plus de problèmes et a été moins réussie.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,37 / 20 · écart-type 4,39 · 1 137 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,37/ 20
Écart-type
4,39
Présents
1 137
Coefficient
8
Durée
4 h
moyenne 10,3705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 24 avril 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confusion entre polynôme scindé et matrice scindée · Lien erroné entre diagonalisabilité et inversibilité · Convergence de l'intégrale non traitée
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Le sujet balayait une grande partie du programme des deux années de TSI, avec une alternance de questions de cours, calculatoires et de réflexion. En algèbre, les calculs ont été très bien menés. En analyse, les intégrales généralisées ont posé problème à une partie des candidats. La partie probabilités a été la moins réussie, avec une nette séparation entre candidats maîtrisant le sujet et candidats ignorant les points élémentaires du cours.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre polynôme scindé et matrice scindéeQ2

    De nombreuses copies confondent la propriété d'être scindé, qui concerne le polynôme caractéristique, avec la matrice elle-même.

    « c'est le polynôme caractéristique qui est scindé, pas la matrice ! »
  2. 2
    Lien erroné entre diagonalisabilité et inversibilitéQ3

    Certaines copies établissent un lien direct entre diagonalisabilité et inversibilité qui n'existe pas, sans penser à utiliser le fait que 0 n'est pas valeur propre.

    « il n'y a pas de lien direct entre diagonalisabilité et inversibilité »
  3. 3
    Convergence de l'intégrale non traitéeQ16

    La valeur de l'intégrale est généralement déterminée avec succès, mais sa convergence, pourtant un exemple basique du cours sur les intégrales généralisées, n'est pas souvent traitée correctement.

    « sa convergence n'a pas souvent été traitée correctement »
  4. 4
    Décroissance définie par la dérivée plutôt que par définitionQ23

    La définition de la décroissance était attendue, et non une référence à la dérivée ; l'utilisation des quantificateurs est souvent approximative.

    « La définition de la décroissance était attendue, et non une référence à la dérivée. »
  5. 5
    Loi géométrique non reconnueQ34

    Certains candidats fournissent des réponses farfelues comme la loi binomiale ou de Bernoulli à cette question de cours, sans justifier la répétition indépendante d'expériences de type Bernoulli jusqu'au premier succès.

    « certains candidats fournissent des réponses farfelues (loi binomiale, Bernoulli) à ce qui est pourtant une question de cours ! »
  6. 6
    Existence de l'espérance non justifiéeQ35, Q43, Q44, Q45

    Au-delà du calcul, une justification de l'existence de l'espérance par la convergence absolue de la série était attendue et souvent manquante.

    « une justification précise de l'existence de l'espérance par la convergence absolue d'une série était attendue »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 a été globalement bien réussie.
  • Les calculs d'espaces propres de la question 4 sont généralement menés à bien et de façon efficace.
  • La question 19 a généralement été bien traitée.
  • La question 28 a été traitée correctement par la plupart des candidats.

Conseils du jury

  • Bien lire l'énoncé pour en comprendre les objectifs et suivre son fil directeur, afin d'éviter des méthodes fastidieuses quand des raccourcis existent.
  • Introduire les calculs par une phrase, même courte, plutôt que d'enchaîner des calculs sans justification.
  • Ne pas se contenter de réécrire un résultat intermédiaire fourni par l'énoncé ; le démontrer réellement plutôt que de trafiquer les calculs.
  • Citer explicitement les théorèmes utilisés (formule du binôme de Newton, théorème d'encadrement, formule des probabilités totales) et leurs conditions d'application.
  • Apprendre et savoir identifier les lois usuelles de probabilité à partir des situations qui les caractérisent.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois problèmes indépendants.

PROBLÈME 1
Suites et calcul matriciel

On considère les suites (u_n)_(n ≥ 0), (v_n)_(n ≥ 0) et (w_n)_(n ≥ 0) définies par :
{u_0, = 1; v_0, = 0; w_0, = 0 et ∀n ≥ 0, {u_(n + 1), =, 2u_n − v_n + w_n; v_(n + 1), =, v_n + w_n; w_(n + 1), =, − u_n + v_n + w_n.
On note :
A = (2, − 1, 1; 0, 1, 1; − 1, 1, 1) et, pour n ≥ 0, X_n = (u_n; v_n; w_n)

Partie I - Éléments propres d'une matrice

Soit f l'endomorphisme de ℝ^3 dont A est la matrice dans la base canonique.
Q1. Montrer que le polynôme caractéristique χ_A de A a pour expression : χ_A(x) = (x − 2)(x − 1)^2. En déduire les valeurs propres de A.
Q2. La matrice A est-elle trigonalisable? Justifier la réponse.
Q3. La matrice A est-elle inversible?
Q4. La matrice A est-elle diagonalisable? Justifier la réponse.

Partie II - Trigonalisation de A

On considère les éléments suivants de ℝ^3 : b_1 = (0, 1, 1), b_2 = (1, 1, 0) et b_3 = (0, 0, 1).
Q5. Montrer que B = (b_1, b_2, b_3) est une base de ℝ^3.
Q6. Montrer que la matrice de f dans la base B est :
T = (2, 0, 0; 0, 1, 1; 0, 0, 1)
Q7. On note P la matrice de passage de la base canonique de ℝ^3 à B.
Déterminer P et vérifier que P^(− 1) = (− 1, 1, 0; 1, 0, 0; 1, − 1, 1).
Q8. Déterminer une relation entre A, P, T, P^(− 1).

Partie III - Calcul des puissances de T et expression de u_n, v_n, w_n

Q9. On note T = N + D, où D est une matrice diagonale et N = (0, 0, 0; 0, 0, 1; 0, 0, 0).
Déterminer D et vérifier que N et D commutent.
Q10. Que vaut N^n pour un entier n ≥ 2 ?
Q11. Déduire de ce qui précède une expression de T^n. On donnera chacun de ses coefficients.
Q12. Pour n ∈ ℕ, établir une relation entre X_(n + 1), A et X_n.
Q13. En déduire, pour n ∈ ℕ, l'expression de X_n en fonction de A, n et X_0.
Q14. Déterminer, pour n ∈ ℕ, A^n en fonction de T^n, P et P^(− 1). Démontrer cette relation par récurrence.
Q15. Déterminer, pour n ∈ ℕ, l'expression de u_n, v_n et de w_n en fonction de n.

PROBLÈME 2
Une fonction définie à partir d'une intégrale

Présentation générale

Ce problème traite de l'étude d'une fonction définie par une intégrale. De telles fonctions apparaissent dans de nombreux domaines d'applications : automatique, traitement du signal, etc.
On s'intéressera en particulier au calcul de certaines des valeurs de cette fonction, à ses variations, ainsi qu'à son comportement asymptotique.

Partie I - Définition de la fonction

Q16. Pour quelles valeurs de α ∈ ℝ l'intégrale ∫_0^1 t^α dt est-elle convergente? Calculer alors sa valeur en fonction de α.
Q17. Un nombre réel x étant fixé, donner un équivalent (sous la forme d'une puissance de t ), lorsque t tend vers 0^+, de la fonction définie sur ]0,1] par t ↦ (t^(x − 1))/(1 + t).
Q18. En déduire que l'intégrale ∫_0^1(t^(x − 1))/(1 + t) dt converge si et seulement si x > 0.
On définit alors sur ]0; + ∞[ la fonction f par :
f(x) = ∫_0^1(t^(x − 1))/(1 + t) dt
La suite du problème a pour but d'étudier certaines propriétés de la fonction f.

Partie II - Calcul de f(n) pour n ∈ ℕ^∗

Q19. Montrer que f(1) = ln(2), puis que f(2) = 1 − ln(2). On pourra remarquer que, pour t ∈ [0, 1] :
1 − 1/(1 + t) = t/(1 + t)
Q20. Rappeler la formule de factorisation de a^n − b^n, pour(a, b) ∈ ℝ^2, n ∈ ℕ^∗.
En déduire que, pour t ∈ [0, 1], n ∈ ℕ^∗ :
1 − (− t)^n = (1 + t)∑_(k = 0)^(n − 1)(− 1)^k t^k
Q21. En déduire que, pour tout entier n ≥ 2 :
f(n) = (− 1)^(n − 1)ln(2) + (− 1)^n∑_(k = 0)^(n − 2)(− 1)^k 1/(k + 1)
On pourra remarquer que, pour n ≥ 2 et t ∈ [0, 1] : t^(n − 1) = (− 1)^(n − 1)(− t)^(n − 1).
Q22. Écrire une fonction python d'en-tête def fEntier(n): qui calcule f(n) à partir de la formule obtenue dans la question précédente et renvoie la valeur de f(n), pour n ∈ ℕ^∗.
On supposera la fonction log( pour ln) importée de la bibliothèque numpy.

Partie III - Variations de f

Q23. Rappeler la définition de la décroissance d'une fonction g définie sur un intervalle I et à valeurs dans ℝ.
Q24. Soit α et β deux nombres réels tels que − 1 < α ≤ β. Comparer, pour t ∈ ]0, 1], t^α et t^β. En déduire que f est décroissante sur ]0; + ∞[.
Q25. Montrer que, pour tout x > 0 et t ∈ ]0, 1] :
(t^(x − 1))/2 ≤ (t^(x − 1))/(1 + t) ≤ t^(x − 1)
En déduire que, pour x > 0 :
1/(2x) ≤ f(x) ≤ 1/x
Q26. En déduire la limite de f en + ∞ ainsi que la limite de f en 0 .
Q27. Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. On placera en particulier les points de cette courbe d'abscisses 1 et 2 (on donne ln(2) ≃ 0, 7 ).

Partie IV - Équivalent de f en + ∞

Q28. Montrer que, pour x ∈ ]0, + ∞[ :
f(x) + f(x + 1) = 1/x
Q29. En utilisant le résultat de la question Q24, montrer que, pour x > 1 :
f(x + 1) + f(x) ≤ 2f(x) ≤ f(x) + f(x − 1)
Q30. En déduire un équivalent de f en + ∞.

PROBLÈME 3
Étude d'un couple de variables aléatoires

Présentation générale

On considère l'expérience aléatoire suivante.
On dispose d'une pièce de monnaie donnant Pile avec une probabilité p ∈ ]0, 1[ et Face avec une probabilité 1 − p. On effectue une répétition de lancers de cette pièce. Si le premier Pile a été obtenu au n-ème lancer, on place n boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à n dans une urne et on pioche une de ces boules au hasard.
On admet l'existence d'un espace probabilisé ( Ω, P ) modélisant cette expérience aléatoire. On note alors :
  • X la variable aléatoire représentant le rang du premier Pile obtenu dans la suite de lancers;
  • N la variable aléatoire représentant le numéro de la boule piochée ensuite dans l'urne.
Prenons un exemple de tirage pour fixer les idées (on note P pour Pile, F pour Face). Si les lancers successifs de la pièce donnent FFFPFF..., alors X vaut 4 . On place alors quatre boules numérotées de 1 à 4 dans l'urne (on a alors une chance sur quatre de piocher chacune d'entre elles au tirage qui suit).
Le but de l'exercice est de décrire certains aspects des lois de X et N.

Partie I - Quelques résultats préliminaires sur les séries entières

On considère dans cette partie des séries entières d'une variable réelle.
Q31. Donner le rayon de convergence et l'expression de la somme de la série géométrique ∑_(n ≥ 0)x^n.
Q32. Donner le rayon de convergence et l'expression de la somme de la série dérivée de la précédente.
Q33. Donner le développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction x ↦ ln(1 − x). On précisera le rayon de convergence de cette série entière.

Partie II - Loi et espérance de X

Q34. Rappeler la loi de X. On précisera l'ensemble des valeurs prises par X (noté X(Ω) ) et, pour chaque entier n dans cet ensemble, la valeur de P(X = n).
Q35. Justifier l'existence de l'espérance de X, notée E(X), et calculer celle-ci.

Partie III - Loi de N

Q36. Quel est l'ensemble des valeurs prises par N ? On le notera N(Ω).
Q37. Donner, pour n ∈ X(Ω) et k ∈ N(Ω), la valeur de la probabilité conditionnelle P_([X = n])(N = k).
On distinguera les cas 1 ≤ k ≤ n et k > n.
Q38. Montrer que, pour k ∈ ℕ^∗ :
P(N = k) = ∑_(n = k)^(+ ∞)1/np(1 − p)^(n − 1)
On ne cherchera pas à calculer la somme de cette série.
Q39. Calculer la valeur de P(N = 1).

Partie IV - Étude de l'indépendance de X et N

Q40. Rappeler la définition de l'indépendance de deux variables aléatoires Y_1 et Y_2 définies sur un espace probabilisé fini et à valeurs respectivement dans les ensembles (finis) E_1 et E_2.
On admettra que cette définition s'étend au contexte de notre problème (où X et N sont des variables aléatoires prenant un nombre infini de valeurs).
Q41. Montrer que P(N = 2) > 0.
Q42. Que vaut P([X = 1] ∩ [N = 2]) ?
Les variables aléatoires X et N sont-elles indépendantes?

Partie V - Espérance de N

Q43. Montrer que, pour k ∈ ℕ^∗, P(N = k) ≤ (1 − p)^(k − 1).
On pourra remarquer que, pour tout k ∈ ℕ^∗ et n ≥ k :
1/np(1 − p)^(n − 1) ≤ p(1 − p)^(n − 1)
Q44. En déduire que N admet une espérance et que :
E(N) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)∑_(n = k)^(+ ∞)k/np(1 − p)^(n − 1)
Q45. On admet que le calcul de cette espérance peut être effectué en intervertissant l'ordre de sommation; et que l'on a :
E(N) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)∑_(k = 1)^n k/np(1 − p)^(n − 1)
Calculer alors cette espérance et montrer que l'on a:
E(N) = 1/2(1 + 1/p)
Q46. Montrer que E(N) ≤ E(X).
Ce résultat était-il prévisible?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths TSI CCINP 2023 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths TSI CCINP 2023 ?

Trois problèmes indépendants : trigonalisation matricielle et suites couplées, une fonction définie par une intégrale généralisée, et un couple de variables aléatoires avec des séries entières.

Quelle partie du sujet de maths TSI CCINP 2023 a posé le plus de difficultés ?

La partie probabilités du problème 3, jugée par le jury la moins réussie, avec une nette séparation entre candidats maîtrisant le cours et candidats ignorant ses points élémentaires.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths TSI CCINP 2023 ?

Des confusions entre diagonalisabilité, trigonalisabilité et inversibilité en algèbre, une convergence d'intégrale mal traitée, et des lois de probabilité mal identifiées ou non justifiées.

Le sujet de maths TSI CCINP 2023 comporte-t-il de la programmation ?

Oui, une seule question de programmation en Python est présente, et le jury a noté des efforts notables des candidats dans ce domaine.

Pas de description pour le moment