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Centrale Mathématiques 2 TSI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Systèmes différentiels linéaires à trajectoires sphériques
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Le sujet est un problème unique en trois parties portant sur l'étude des trajectoires de systèmes différentiels linéaires X'=AX. La première partie étudie deux équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants, la deuxième relie le caractère borné ou circulaire des trajectoires aux valeurs propres de la matrice A, et la troisième caractérise les trajectoires sphériques à l'aide des matrices antisymétriques et du produit vectoriel en dimension 3.

  1. 1Partie I : une équation différentielle linéaire du second ordreÉtude de la conservation de l'énergie associée à x''+kx=0 et du caractère borné des trajectoires selon le signe de k.
  2. 2Partie II : étude des trajectoires de systèmes linéairesLien entre les valeurs propres de la matrice A et le caractère borné ou circulaire des trajectoires, d'abord en dimension 2 puis en dimension n.
  3. 3Partie III : étude des trajectoires sphériquesCaractérisation des matrices antisymétriques, lien avec les trajectoires sphériques en dimension 2, puis construction de systèmes à trajectoires sphériques en dimension 3 à l'aide du produit vectoriel.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet comportait 43 questions permettant de décomposer les difficultés et que les candidats ayant une bonne connaissance du cours pouvaient obtenir un résultat honorable, tout en relevant de nombreuses erreurs sur des calculs simples comme les dérivées ou les équations différentielles élémentaires.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,12 / 20 · écart-type 4,33 · 914 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,12/ 20
Écart-type
4,33
Présents
914
Coefficient
14
Durée
4 h
1er quartile
6,4
Médiane
9,2
3e quartile
12,2
moyenne 9,1205101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 12 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Lien entre le titre de la question et la méthode attendue · Erreurs sur des calculs de base · Formules trigonométriques mal maîtrisées
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Le jury souligne qu'une connaissance solide du cours de mathématiques des deux années était indispensable pour bien réussir cette épreuve, et que les candidats sachant citer et reconnaître les théorèmes du cours ont pu se démarquer. Il regrette de nombreuses erreurs sur des calculs simples, un manque de rigueur logique dans la rédaction, et rappelle l'importance de vérifier les hypothèses des théorèmes utilisés.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Lien entre le titre de la question et la méthode attendueQ1

    Il fallait remarquer que la dérivée de l'énergie était nulle ; le titre de la question, qui évoquait une conservation de l'énergie, aurait dû orienter les candidats.

    « Il fallait remarquer que la dérivée de l'énergie était nulle. Le titre de la question mentionnait une conservation de l'énergie »
  2. 2
    Erreurs sur des calculs de base

    Une grande partie des candidats se trompe dans des calculs de dérivées simples ou ne parvient pas à résoudre des équations différentielles linéaires élémentaires.

    « Il est regrettable qu'une grande partie des candidats se trompe dans des calculs de dérivées simples »
  3. 3
    Formules trigonométriques mal maîtrisées

    Les formules trigonométriques, pourtant nécessaires dans plusieurs questions, ne sont pas suffisamment maîtrisées par les candidats.

    « Les formules trigonométriques ne sont pas suffisamment maitrisées. »
  4. 4
    Espaces propres et matrices de passage mal calculés

    Certains candidats trouvent des espaces propres réduits au seul vecteur nul, ou des matrices de passage comportant une colonne nulle.

    « Certains candidats trouvent des espaces propres réduits au vecteur nul, ou des matrices de passage avec une colonne nulle. »
  5. 5
    Raisonnement par équivalence rarement menéQ10

    Le raisonnement par équivalence attendu n'était pas souvent mené, et quand il l'était, seule une partie des points était attribuée.

    « Le raisonnement par équivalence n'était pas souvent mené. Lorsque c'était le cas, seule une partie des points était attribuée. »
  6. 6
    Division par une matriceQ27 à Q30

    Le jury rappelle qu'il est impossible de diviser par une matrice ; il fallait utiliser un autre argument pour conclure que la matrice est nulle.

    « Le jury rappelle que la division par une matrice est impossible. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les candidats ayant une bonne connaissance du cours et utilisant correctement les définitions rappelées dans l'énoncé pouvaient obtenir un résultat honorable.
  • Les questions 27 à 30, faisant intervenir du calcul matriciel classique, ont été abordées par la majorité des candidats.
  • La fin du sujet, qui étudiait le cas particulier des trajectoires sphériques avec le produit vectoriel, a été correctement abordée par les meilleurs candidats.

Conseils du jury

  • Connaître solidement le cours des deux années et savoir citer précisément les théorèmes utilisés.
  • Vérifier systématiquement les hypothèses avant d'appliquer un théorème.
  • Préciser clairement si un raisonnement se fait par équivalence, double implication ou simple implication.
  • Ne pas se contenter d'une succession de calculs sans explication : la clarté de la rédaction est attendue par le jury.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Notations et rappels

Lorsque n et p sont deux entiers naturels non nuls, M_(n, p)(ℝ) désigne l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients réels et M_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels.
Pour toute matrice M ∈ M_n(ℝ), on note M^⊤ sa transposée.
On identifie un vecteur de ℝ^n et une matrice colonne de M_(n, 1)(ℝ).
Si (u_i)_(i ∈ I) est une famille de vecteurs de ℝ^n, on note Vect((u_i)_(i ∈ I)) le sous-espace vectoriel engendré par cette famille.
Le produit scalaire canonique sur M_(n, 1)(ℝ) est défini par l'égalité ⟨X, Y⟩ = X^⊤Y, pour tous X, Y dans M_(n, 1)(ℝ) et on note ‖ ⋅ ‖ la norme euclidienne associée.
Si M est une matrice de M_n(ℝ), on note χ_M son polynôme caractéristique et Sp_ℂ(M) l'ensemble de ses valeurs propres complexes.
Dans l'espace vectoriel ℝ^3 orienté par sa base canonique, on note u ∧ v le produit vectoriel des deux vecteurs u et v.

Objectif du problème et articulations entre ses différentes parties

Ce problème étudie les trajectoires de certaines équations différentielles et de certains systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.
La partie I, consacrée à l'étude d'une équation différentielle linéaire du deuxième ordre, est indépendante des parties II et III. Dans les parties II et III, on étudie des trajectoires des solutions t ↦ X(t) à valeurs dans M_(n, 1)(ℝ) de problèmes de Cauchy de la forme
{X^′(t) = AX(t); X(0) = X_0
selon les propriétés de la matrice A de M_n(ℝ) et de la condition initiale X_0 dans M_(n, 1)(ℝ).

I Une équation différentielle linéaire du second ordre

On étudie dans cette partie l'équation différentielle linéaire du second ordre
x^(′′)(t) + kx(t) = 0
où x est une fonction inconnue deux fois dérivable sur ℝ, t une variable réelle et k un paramètre réel non nul.
On appelle trajectoire d'une solution x de (I.1) l'arc paramétré du plan défini par
| ℝ, →, ℝ^2; t, ↦, M(t) = (x(t), x^′(t))
où le point M(t) a pour abscisse x = x(t) et pour ordonnée y = x^′(t).
On dit qu'une trajectoire est bornée si ses deux fonctions coordonnées sont bornées sur ℝ.

I.A - Conservation de l'énergie

Si x est une solution de (I.1), on appelle énergie la fonction E définie par
∀t ∈ ℝ, E(t) = 1/2(kx(t)^2 + x^′(t)^2).
Q 1. Justifier que la fonction E est dérivable sur ℝ et calculer sa dérivée.
On note h = E(0).
Q 2. En déduire que, pour tout t ∈ ℝ, le point M(t) appartient à la courbe d'équation cartésienne
kx^2 + y^2 = 2h

I.B - Cas où k est strictement positif

Dans cette sous-partie, on suppose que k est un nombre réel strictement positif et on note ω la racine carrée positive de k. L'équation (I.1) s'écrit donc x^(′′)(t) + ω^2 x(t) = 0.
Q 3. Donner une base de l'espace vectoriel de ses solutions et exprimer la solution correspondant aux conditions initiales (x(0), x^′(0)) = (a, b), où a et b sont deux réels fixés.
Q 4. Démontrer qu'il existe un angle θ ∈ [0, 2π[ tel que x(0) = (√(2h))/ωcosθ et x^′(0) = √(2h)sinθ.
Q 5. Montrer que, pour tout t ∈ ℝ, x(t) = (√(2h))/ωcos(ωt − θ) et vérifier que les trajectoires sont bornées.
Q 6. Déterminer les solutions dont l'énergie est nulle.

I.C - Cas où k est strictement négatif

Dans cette sous-partie, on suppose que k est un nombre réel strictement négatif et on note ω la racine carrée positive de − k.
Q 7. L'équation (I.1) s'écrit donc x^(′′)(t) − ω^2 x(t) = 0. Donner une base de l'espace vectoriel de ses solutions et exprimer la solution correspondant aux conditions initiales (x(0), x^′(0)) = (a, b), où a et b sont deux réels fixés.
Q 8. Déterminer toutes les solutions d'énergie nulle et déterminer la nature géométrique de leurs trajectoires.
Q 9. Démontrer que la seule trajectoire bornée correspond à la solution identiquement nulle.

II Étude des trajectoires de systèmes linéaires

II.A - Exemple d'un frottement visqueux en dimension 2

On considère l'équation différentielle
x^(′′) + 2αx^′ + ω^2 x = 0
où α et ω sont des réels tels que α > ω > 0.
Si x est une solution de (II.1), on lui associe la fonction vectorielle
X : ℝ, →, M_(2, 1)(ℝ); t, ↦, X(t) = ((x(t))/(x^′(t)))
On appelle désormais trajectoire de x (ou de X ) l'arc paramétré t ↦ X(t).
On dit que la trajectoire de x est bornée si et seulement s'il existe M ⩾ 0 tel que, pour tout t ∈ ℝ, ‖X(t)‖ ⩽ M, où ‖ ⋅ ‖ est la norme euclidienne sur M_(2, 1)(ℝ), ce qui revient à dire que les deux coordonnées de X sont des fonctions bornées.
Q 10. Justifier que cette équation différentielle est équivalente au système différentiel
X^′(t) = AX(t) où A = (0, 1; − ω^2, − 2α).
Q 11. Préciser si la matrice A est diagonalisable dans M_2(ℝ) et donner le cas échéant une base de vecteurs propres.
Q 12. Donner la dimension de l'espace vectoriel formé par les solutions du système différentiel X^′ = AX, où la fonction inconnue X est à valeurs dans M_(2, 1)(ℝ), et déterminer une base de cet espace. En déduire que les solutions de l'équation différentielle (II.1) sont bornées sur ℝ_+. Sont-elles bornées sur ℝ ?

II.B - Résultats préliminaires sur le comportement des trajectoires

Dans cette sous-partie, n est un entier naturel non nul et A est une matrice dans M_n(ℝ).
On note w_A l'endomorphisme de M_(n, 1)(ℝ) canoniquement associé à A. On rappelle qu'il est défini en posant, pour tout Y ∈ M_(n, 1)(ℝ), w_A(Y) = AY. On appelle noyau de A le noyau de l'endomorphisme w_A.
On suppose enfin que X est la solution du problème de Cauchy
{X^′(t) = AX(t); X(0) = X_0
où X_0 est un vecteur dans M_(n, 1)(ℝ).
On rappelle qu'un sous-espace vectoriel F de M_(n, 1)(ℝ) est stable par une matrice A dans M_n(ℝ) (respectivement par un endomorphisme w ) si pour tout Y ∈ F, on a AY ∈ F( respectivement w(Y) ∈ F).
On admet que, si F est un sous-espace vectoriel de M_(n, 1)(ℝ) stable par w_A et si X_0 ∈ F, alors, pour tout t ∈ ℝ, X(t) ∈ F.
II.B.1) On suppose, dans les deux questions qui suivent, que X_0 est un vecteur propre de A pour une valeur propre réelle λ.
Q 13. Démontrer que, pour tout nombre réel t, il existe un nombre réel a(t) tel que X(t) = a(t)X_0.
On admet que la fonction a est de classe C^1.
Q 14. En déduire une expression de X(t) en fonction de X_0, λ et t.
Q 15. En déduire que, si la trajectoire de X est bornée sur ℝ, quelle que soit la condition initiale X_0 ∈ M_(n, 1)(ℝ), alors 0 est la seule valeur propre réelle possible de A.
Dans toute la suite du problème, on admet le résultat suivant :

- Proposition 1

Si A ∈ M_n(ℝ) et si la trajectoire de la solution du problème de Cauchy
{X^′(t) = AX(t); X(0) = X_0
est bornée sur ℝ, quelle que soit la condition initiale X_0 ∈ M_(n, 1)(ℝ), alors toutes les valeurs propres de A dans ℂ ont une partie réelle égale à 0 .
II.B.2 Dans cette section, on suppose que X_0 appartient à ker(A^2) mais n'appartient pas à kerA.
Q 16. Démontrer que la famille (X_0, AX_0) est libre.
On admet que le plan Vect(X_0, AX_0) est stable par l'endomorphisme w canoniquement associé à A et qu'il existe deux fonctions a et b de classe C^1 sur ℝ telles que, pour tout t ∈ ℝ, X(t) = a(t)X_0 + b(t)AX_0.
Q 17. Déterminer les fonctions a et b. En déduire la nature géométrique de la trajectoire de X. Est-elle bornée sur ℝ ?

II.C - Étude de certaines trajectoires pseudo-périodiques

On suppose dans toute cette sous-partie II.C que μ est un nombre réel strictement positif, que φ est un nombre réel n'appartenant pas à πℤ et que X_0 est un élément non nul de M_(n, 1)(ℝ) vérifiant
(A^2 − 2μcosφA + μ^2 I_n)X_0 = 0.
On note toujours X la solution du problème de Cauchy
{X^′(t) = AX(t); X(0) = X_0
Q 18. Justifier que l'équation x^2 − 2xμcosφ + μ^2 = 0, d'inconnue x, n'admet pas de racine réelle.
Q 19. En déduire que la famille ( X_0, AX_0 ) est libre.
Comme dans la question 17, on admet que le plan Vect(X_0, AX_0) est stable par l'endomorphisme canoniquement associé à A et qu'il existe deux fonctions a et b de classe C^1 telles que, pour tout t ∈ ℝ, X(t) = a(t)X_0 + b(t)AX_0.
Q 20. Démontrer que les fonctions a et b sont de classe C^2 et que
{a(0) = 1; a^′(0) = 0; a^(′′)(t) − 2a^′(t)μcosφ + μ^2 a(t) = 0, ∀t ∈ ℝ
Q 21. En déduire une expression de a(t) pour tout t ∈ ℝ.
On admet que, pour tout t ∈ ℝ, b(t) = (e^(μtcosφ))/(μsinφ)sin(μtsinφ).
Q 22. Montrer que la fonction X est bornée sur ℝ si et seulement si cosφ = 0.
On suppose à présent que cosφ = 0.
Q 23. Justifier que, pour tout t ∈ ℝ, b(t) = 1/μsin(μt).
Q 24. Calculer ‖X(t)‖^2 pour tout t ∈ ℝ.
Q 25. En déduire que, pour tout t ∈ ℝ,
d/(dt)(‖X(t)‖^2) = 2cos(2μt)⟨X_0, AX_0⟩ + 1/μsin(2μt)(‖AX_0‖^2 − μ^2‖X_0‖^2).
Q 26. Montrer que la trajectoire de X est contenue dans un cercle de centre (0, 0) si et seulement si ⟨X_0, AX_0⟩ = 0 et ‖AX_0‖ = μ‖X_0‖.
On a montré en particulier le résultat suivant qu'on pourra utiliser dans la suite du problème :
Si X Proposition 2 solution du problème de Cauchy
{X^′(t) = AX(t); X(0) = X_0
et si X_0 appartient au noyau d'une matrice de la forme A^2 + μ^2 I_n, avec μ ∈ ℝ^(+ ∗), alors la trajectoire de X est dans le plan Vect(X_0, AX_0). Cette trajectoire est tracée dans un cercle du plan Vect(X_0, AX_0) si et seulement si ⟨X_0, AX_0⟩ = 0 et ‖AX_0‖ = μ‖X_0‖.

III Étude des trajectoires sphériques

III.A - Cas des matrices antisymétriques
III.A.1)
Q 27. Démontrer que, pour toute matrice A de M_n(ℝ) et tout couple (X, Y) de M_(n, 1)(ℝ)^2,
X^⊤AY = Y^⊤A^⊤X
On dit qu'une matrice A de M_n(ℝ) est antisymétrique si A^⊤ = − A.
Q 28. Démontrer que si la matrice A est antisymétrique alors, pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℝ),
X^⊤AX = 0

III.A.2)

Réciproquement, on suppose que, pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℝ), X^⊤AX = 0.
Q 29. Démontrer que, pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℝ), AX = − A^⊤X.
On pourra calculer de deux manières différentes (X + Y)^⊤A(X + Y).
Q 30. En déduire que la matrice A est antisymétrique.

III.A.3)

Soient A ∈ M_n(ℝ) et X : ℝ → M_(n, 1)(ℝ) une solution de classe C^1 du système différentiel X^′(t) = AX(t). On dit que la trajectoire de X est sphérique s'il existe Z ∈ M_(n, 1)(ℝ) et r ⩾ 0 tels que, pour tout t ∈ ℝ, ‖X(t) − Z‖ = r.
Q 31. On suppose que A est une matrice antisymétrique. Étudier la fonction t ↦ ‖X(t)‖^2 et en déduire que la trajectoire de X est sphérique.

III.B - Caractérisation du cas où les trajectoires sont sphériques en dimension 2

Dans cette sous-partie, on suppose que n = 2 et on suppose que la matrice A ∈ M_2(ℝ) est non nulle et que les trajectoires du système différentiel X^′ = AX sont sphériques, quelle que soit la condition initiale X_0.
Q 32. Justifier que 0 est la seule valeur propre réelle possible pour la matrice A.
On pourra utiliser le résultat de la question 15.
Q 33. On suppose que le polynôme caractéristique de A est scindé dans ℝ[X]. Justifier que la matrice A est trigonalisable et que A^2 = 0_(M_2(ℝ)). En utilisant le résultat des questions 16 et 17 , démontrer que kerA = kerA^2 et aboutir à une contradiction.
Q 34. Justifier que A est diagonalisable dans M_2(ℂ) et qu'il existe un nombre réel μ non nul tel que A^2 = − μ^2 I_2.
On pourra utiliser le résultat de la proposition 1.
Q 35. Étant donné un vecteur X_0 ∈ M_(n, 1)(ℝ), justifier l'égalité ⟨X_0, AX_0⟩ = 0.
On pourra considérer la trajectoire de la solution du système X^′(t) = AX(t) vérifiant la condition initiale X(0) = X_0 et utiliser le résultat de la proposition 2.
Q 36. En déduire que toutes les trajectoires du système différentiel X^′(t) = AX(t) sont sphériques si et seulement si la matrice A est antisymétrique.

III.C - Systèmes différentiels à trajectoires sphériques en dimension 3

Dans cette sous-partie, on suppose que n = 3 et que l'espace vectoriel ℝ^3 est orienté par sa base canonique.
On dit qu'un endomorphisme de ℝ^3 est antisymétrique si sa matrice dans la base canonique de ℝ^3 est antisymétrique.
Q 37. On considère un vecteur ω = (ω_1, ω_2, ω_3) non nul dans ℝ^3. Démontrer que l'application
f_ω : | ℝ^3, →, ℝ^3; x, ↦, ω ∧ x
est un endomorphisme de ℝ^3 et que cet endomorphisme est antisymétrique.
On considère un vecteur v non nul dans ℝ^3 et orthogonal à ω. On admet que l'application
g : | ℝ^3, →, ℝ^3; x, ↦, ω ∧ x + ⟨x, ω⟩v
est un endomorphisme de ℝ^3.
On considère une fonction X : ℝ → ℝ^3 de classe C^1 qui vérifie, pour tout t ∈ ℝ, X^′(t) = g(X(t)), c'est-à-dire X^′(t) = ω ∧ X(t) + ⟨X(t), ω⟩v.
L'objectif des questions suivantes est de montrer que la trajectoire de X est sphérique.
Q 38. Pour tous vecteurs x, y et z dans ℝ^3, montrer l'égalité x ∧ (y ∧ z) = ⟨x, z⟩y − ⟨x, y⟩z.
On pourra, par exemple, considérer d'abord le cas où la famille (y, z) est liée. Puis, lorsqu'elle est libre, on pourra considérer une base orthonormée (e_2, e_3) du plan Vect(y, z) choisie de manière à écrire y = y_2 e_2 et z = z_2 e_2 + z_3 e_3, où y_2, z_2 et z_3 sont des réels. On posera alors e_1 = e_2 ∧ e_3 et on écrira x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3, où x_1, x_2, x_3 sont des réels.
Q 39. Calculer d/(dt)(⟨X(t), ω⟩) pour tout t ∈ ℝ et en déduire qu'il existe K ∈ ℝ tel que, pour tout t ∈ ℝ, ⟨X(t), ω⟩ = K.
Q 40. On pose α = K/(‖ω‖^2) et a = α(ω + ω ∧ v). Montrer qu'il existe une constante réelle C telle que, pour tout t ∈ ℝ,
‖X(t) − a‖^2 = ‖X(t)‖^2 − 2α⟨X(t), ω ∧ v⟩ + C.
Q 41. En déduire que, pour tout t ∈ ℝ, d/(dt)(‖X(t) − a‖^2) = 2⟨X(t), ω⟩⟨X(t), v⟩ − 2α⟨ω ∧ X(t), ω ∧ v⟩.
Q 42. En interprétant ⟨ω ∧ X(t), ω ∧ v⟩ comme un déterminant, justifier l'égalité ⟨ω ∧ X(t), ω ∧ v⟩ = ⟨X(t), v⟩‖ω‖^2.
Q 43. En déduire que la trajectoire de X est sphérique.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet mathématiques 2 Centrale TSI 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet mathématiques 2 Centrale TSI 2023 ?

Le sujet porte sur les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants, l'algèbre linéaire (diagonalisation, trigonalisation, valeurs propres), le produit scalaire et le produit vectoriel, ainsi que les matrices antisymétriques.

Ce sujet de mathématiques 2 Centrale TSI est-il difficile ?

Le rapport le présente comme un sujet de difficulté moyenne : ses 43 questions décomposent bien les difficultés et les candidats ayant une bonne connaissance du cours pouvaient obtenir un résultat honorable.

Quelles erreurs reviennent le plus souvent sur ce sujet ?

Le jury relève de nombreuses erreurs de calcul de dérivées, des équations différentielles simples mal résolues, des formules trigonométriques mal maîtrisées et une confusion entre raisonnement par équivalence et simple implication.

Faut-il bien maîtriser la diagonalisation et les valeurs propres pour ce sujet ?

Oui, ces notions sont centrales dans les parties II et III, notamment pour relier les valeurs propres de la matrice au caractère borné, circulaire ou sphérique des trajectoires.

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