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Contour apparent d'un cercle et d'une quadrique vus depuis un point extérieur
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La partie A étudie, dans le plan, l'ensemble des points d'un cercle visibles depuis un point extérieur fixé, à l'aide de l'étude des variations d'une fonction trigonométrique liée aux droites issues de ce point. La partie B généralise cette notion de visibilité à une quadrique de l'espace : après réduction de la forme quadratique associée et étude de sa section par un plan, elle détermine le contour apparent conique de la surface vu depuis un point donné, à l'aide des plans tangents à la surface.

  1. 1Partie A : un arc de cercle apparentOn étudie, pour un cercle et un point extérieur fixé, l'ensemble des points du cercle visibles depuis ce point, en analysant les variations d'une fonction trigonométrique associée aux droites sécantes issues du point.
  2. 2Partie B : un contour apparent d'une quadriqueOn réduit par diagonalisation orthogonale la forme quadratique définissant une surface de l'espace, on étudie sa section par un plan donné, puis on détermine le contour apparent conique de la surface vu depuis un point donné à l'aide des plans tangents.

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 3 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Les deux parties A et B de ce problème peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A : un arc de cercle apparent

On se place dans un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct ( O, ı⃗, ȷ⃗ ).
Soit C le cercle de centre O et de rayon 1 et le point A(a, 0) où a ∈ ]1, + ∞[.
On cherche l'ensemble des points du cercle C visibles du point A .
Définition : on dit qu'un point M(x, y) du cercle C est visible du point A lorsque pour tout M^′(x^′, y^′), point d'intersection du cercle et de la droite (AM), on a : x^′ ⩽ x.
Sur la figure 1, l'ensemble des points du cercle visibles du point A est en trait plein tandis que la partie non-visible du cercle est en pointillé. Les deux points distincts M_1 et M_2 d'abscisses respectives x_1 et x_2 sont sur le cercle C. Les points M_1, M_2 et A sont alignés. Le point M_1 est visible du point A car il n'y a pas d'autre point du cercle sur le segment [AM_1] alors que le point M_2 ne l'est pas car le point M_1 est sur le segment [AM_2], ce qui se vérifie par la condition : x_2 < x_1 < a.
figure 1 : une illustration graphique
Pour θ ∈ R, on note M(θ) le point de coordonnées ( cos(θ), sin(θ) ).
De plus, on pose : ω = Arccos(1/a).
  1. Soit θ ∈ R. Justifier que le point M(θ) est sur le cercle C.
  2. (a) Justifier l'existence de ω et que : ω ∈ ]0, π/2[.
    (b) Donner les coordonnées des vecteurs OM(ω)^(→−) et AM(ω)^(→−), en fonction des réels a et ω.
    (c) Exprimer a en fonction de ω.
    (d) Établir que la droite (AM(ω)) est tangente au cercle C.
On pourra utiliser un produit scalaire.
On considère la fonction f définie par : f(x) = (sin(x))/(cos(x) − a).
3. (a) Montrer que cette fonction est bien définie sur R et est de classe C^1.
(b) Étudier la parité de la fonction f.
(c) Soit x ∈ R. Donner une expression de f^′(x) en fonction de a et de cos(x).
(d) En déduire que f est strictement décroissante sur l'intervalle [0, ω] et est strictement croissante sur l'intervalle [ω, π].
(e) Donner le tableau des variations de la fonction f sur [ − π, π].
On ne cherchera pas à calculer f(ω).
4. Soit D une droite passant par A coupant le cercle C en au moins un point.
Montrer que D admet une équation de la forme : y = m(x − a) où m ∈ R.
Pour m ∈ R, on note D_m, la droite d'équation : y = m(x − a).
5. Soit m et θ deux réels. Montrer que : M(θ) ∈ D_m si et seulement si m = f(θ).
6. Montrer que les points M(0) et M(π) sont sur la droite D_0, puis après avoir comparé leurs abscisses, que le point M(0) est visible du point A alors que le point M(π) ne l'est pas.
On rappelle qu'un cercle et une droite se coupent en au plus deux points.
7. Soit deux réels θ_1 et θ_2 tels que : 0 ⩽ θ_1 < θ_2 ⩽ π et f(θ_1) = f(θ_2).
(a) Montrer que les points A, M(θ_1) et M(θ_2) sont alignés.
(b) Prouver que le point M(θ_1) est visible du point A alors que le point M(θ_2) ne l'est pas.
(c) Justifier brièvement que : θ_1 < ω < θ_2.
8. Soit θ ∈ [0, π]. Établir que :
(a) si θ ⩽ ω, alors le point M(θ) est visible du point A .
(b) si ω < θ, alors le point M(θ) n'est pas visible du point A .
9. Sans justification, donner des résultats analogues à la question précédente pour θ ∈ [ − π, 0].

Partie B : un contour apparent d'une quadrique

On se place dans un espace euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct R = (O, ı⃗, ȷ⃗, k⃗).
Soit la surface Σ d'équation : 3x^2 + y^2 − yz + z^2 = 1.
On considère les matrices S = (1, − 1/2; − 1/2, 1) et R = (3, 0, 0; 0, 1, − 1/2; 0, − 1/2, 1).
  1. Donner les valeurs propres de la matrice S . On détaillera les calculs.
  2. (a) Justifier, sans calcul, que l'on peut trouver une matrice diagonale D ∈ M_3(R) et une matrice orthogonale Ω ∈ M_3(R) telles que D = ^t ΩRΩ où ^t Ω désigne la transposée de la matrice Ω.
    (b) Donner une matrice diagonale D et une matrice orthogonale Ω telles que : D = ^t ΩRΩ. On pourra utiliser la calculatrice mais on explicitera la méthode utilisée.
  3. En déduire la nature de la quadrique Σ.
On considère le plan P d'équation : x = 1/3 et la courbe E = P ∩ Σ, intersection du plan P et de la surface Σ.
4. (a) Soit M(x, y, z)_R un point de l'espace. Montrer que : M ∈ E ⟺ {x = 1/3; y^2 − yz + z^2 = 2/3.
(b) Justifier que la courbe E est une conique et que dans un repère orthonormé du plan P noté (O^′, J→, K→), elle admet comme équation : (3Y^2)/4 + (9Z^2)/4 = 1.
On pourra utiliser la question 1 de la partie B. On ne cherchera pas à déterminer le point O^′ et les vecteurs J→ et K→.
(c) Préciser la nature de la conique E et les coordonnées de ses sommets dans le repère (O^′, J→, K→) et représenter cette conique dans le plan P muni de ce repère.
On considère les points A(1, 0, 0)_R et N(0, 0, 1)_R.
Définition : on dit qu'un point M(x, y, z)_R de la surface Σ est visible du point A lorsque que pour tout M^′(x^′, y^′, z^′)_R, point d'intersection de la surface Σ et de la droite (AM), on a : x^′ ⩽ x.
5. (a) Justifier que le point N est sur la surface Σ.
(b) Donner un système d'équations paramétriques de la droite (NA).
On pourra utiliser le point N et le vecteur NA^(→−) pour le paramétrage de cette droite.
(c) Donner les coordonnées des points d'intersection de la droite (NA) et de la surface Σ et en déduire que le point N n'est pas visible du point A .
On admet que la partie visible du point A de la surface Σ est délimitée par une courbe constituée des points M tels que la droite (AM) soit tangente à la surface Σ en M . Cette courbe est le contour apparent conique de la surface Σ issu du point A .
On note alors Γ l'ensemble des points M de la surface Σ tels que A appartienne au plan tangent à la surface Σ en M.
On considère la fonction φ définie sur R^3 par: φ(u, v, w) = 3u^2 + v^2 − vw + w^2 − 1.
6. Soit (u, v, w) ∈ R^3. Calculer grad^(→−)φ(u, v, w).
7. On considère le point B(1/3, (√2)/3, (− √2)/3)_R.
(a) Justifier que : B ∈ Σ.
(b) On note Π_B le plan tangent en B à la surface Σ.
Établir que le plan Π_B admet comme équation : 2x + √2y − √2z = 2.
On rappellera le lien entre le vecteur de coordonnées grad^(→−)φ(1/3, (√2)/3, (− √2)/3) et ce plan.
(c) A-t-on : A ∈ Π_B ? En déduire que : B ∈ Γ.
8. Soit T ∈ Σ, un point de coordonnées (u, v, w) dans le repère R.
Établir que le plan tangent noté Π_T en T à la surface Σ admet comme équation :
6ux + (2v − w)y + (2w − v)z = 2
  1. Conclure que la courbe Γ est la conique E.

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 2 TSI CCINP 2013 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 2 TSI CCINP 2013 ?

Il porte sur l'étude de fonctions et la trigonométrie dans le plan (partie A), puis sur la réduction des matrices symétriques et la géométrie des quadriques dans l'espace (partie B).

Les parties A et B sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise que les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante, la partie B généralisant à l'espace la notion de visibilité étudiée dans le plan en partie A.

Qu'est-ce qu'un point visible depuis un point extérieur, au sens de ce sujet ?

C'est un point du cercle (ou de la quadrique) tel que, sur toute droite issue du point d'observation et passant par lui, aucun autre point de la courbe ou de la surface ne soit plus proche du point d'observation.

Qu'est-ce que le contour apparent conique étudié dans la partie B ?

C'est la courbe formée des points de la quadrique où le plan tangent à la surface contient le point d'observation, qui délimite la partie de la surface visible depuis ce point.

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