Centrale Mathématiques 1 TSI 2013Sujet et corrigé

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Étude de l'équation différentielle y^(n) - y = 0 : méthode d'Euler, séries entières et solutions périodiques

Le sujet étudie l'équation différentielle d'ordre n, y^(n) - y = 0. Il commence par le cas n = 1 et la méthode d'Euler pour approximer une solution, puis explore les propriétés générales des solutions, résout explicitement les cas n = 3 et n = 4, et termine par le cas général avec la question de l'existence de solutions 2π-périodiques.

1Partie I : cas n = 1 et méthode d'EulerOn construit puis on démontre la convergence simple de l'approximation d'Euler vers la solution exponentielle de y' - y = 0, et on étudie un cas particulier avec second membre développable en série entière.
2Partie II : généralités sur l'équation d'ordre nOn établit les propriétés qualitatives des solutions (classe C∞, structure d'espace vectoriel de dimension n) et on relie l'équation d'ordre n à un système différentiel d'ordre 1.
3Partie III : les cas n = 3 et n = 4On résout explicitement l'équation pour n = 3 par variation de la constante, puis pour n = 4 en cherchant des solutions développables en série entière, en exhibant une base de solutions.
4Partie IV : retour au cas généralOn donne la forme générale des solutions pour n quelconque à l'aide des racines n-ièmes de l'unité, puis on étudie l'existence de solutions 2π-périodiques à l'aide des séries de Fourier.

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Soit

n

un entier naturel non nul. Le but de ce problème est d'étudier les solutions définies sur

ℝ

, à valeurs réelles ou complexes, de l'équation différentielle d'ordre

n

E_n : y^((n)) - y = 0

L'exposant entre parenthèses indique un ordre de dérivation ; par exemple, pour

n = 2

on obtient l'équation différentielle

E_2 : y^('') - y = 0

.
Les solutions de

E_n

sont, par définition, les fonctions

y : ℝ \to ℂ

qui sont

n

fois dérivables sur

ℝ

et qui vérifient :

\forallt \in ℝ, y^((n))(t) - y(t) = 0

.
On notera

S_n(ℂ)

l'ensemble des solutions de

E_n

, à valeurs complexes tandis que

S_n(ℝ)

désigne l'ensemble des solutions à valeurs réelles.
On dira qu'une fonction

f : ℝ \to ℂ

est développable en série entière sur

ℝ

s'il existe une série entière de rayon de convergence infini telle que

f

coïncide, sur

ℝ

, avec la somme de cette série entière.

I Cas $n = 1$ et méthode d'Euler

I.A - La méthode d'Euler

Pour cette sous-partie I.A on considère une application

f : ℝ \to ℝ

telle que le problème de Cauchy

{y^′ = f(y); y(0) = 1

admet une unique solution que l'on va chercher à approximer sur

[0, 1]

. Soit

N

un entier naturel non nul et fixé jusqu'à la question I.C.3. On pose

y~_0 = 1et

, pour tout

k \in {0, 1, \dots, N - 1}

y~_(k + 1) = y~_k + 1/Nf(y~_k)

La méthode d'Euler, que nous allons étudier, consiste à construire une approximation de

y

, affine par morceaux sur

[0, 1]

et valant

y_k~

au temps

k/N

.
I.A.1) Rappeler brièvement l'idée menant à la définition (I.1).
I.A.2) En supposant

f

connue, écrire une procédure Maple ou Mathématica qui à

N

associe les éléments de la suite

(y~_k)_(0 ⩽ k ⩽ N)

I.B - Préliminaires au I.C

Désormais nous allons nous concentrer sur un problème de Cauchy associé à

E_1

C : {y^′ − y = 0; y(0) = 1

Nous allons vérifier que la suite des approximations donnée par la méthode d'Euler converge, dans un sens à préciser, vers la solution de

C

sur

[0, 1]

.
I.B.1) Justifier sans calculs que

C

a une unique solution définie sur

ℝ

, puis calculer explicitement cette solution

y

.
I.B.2) La notation

E[t]

désignant la partie entière entière d'un réel

t

, prouver que

(E[t])/t ⟶ _(t \to + \infty)1

I. $C -$ Mise en œuvre de la méthode d'Euler pour $E_1$

On souhaite approximer la solution

y

du problème de Cauchy

C

par la méthode d'Euler. On définit donc

y~_0 = 1

et, pour tout

k \in {0, 1, \dots, N - 1}

y~_(k + 1) = (1 + 1/N)y~_k

I.C.1) Expliquer rapidement le lien entre la définition ci-dessus et la démarche du I.A.
I.C.2) Exprimer simplement

y~_k

en fonction de

k

N

pour tout

k \in {0, 1, \dots, N}

.
I.C.3) On définit l'application

y_N : [0, 1] \to ℝ

pour tout $k ∈ {0, 1, …, N}, y_N(k/N) = y~_k$ ;
pour tout $k ∈ {0, 1, …, N − 1}, y_N$ est une fonction polynôme de degré au plus 1 sur l'intervalle $[k/N, (k + 1)/N]$ .
a) Dans un repère tel que l'axe des $x$ décrit $[0, 1]$ , celui des $y$ décrit $[0, 3]$ , dessiner les graphes de la solution $y$ de $C$ et des fonctions $y_2, y_3$ .
b) Prouver que pour tout $t \in [k/N, (k + 1)/N]$ on a

y_N(t) = (1 + 1/N)^k(t + 1 - k/N)

c) En déduire que pour tout

t \in [0, 1]

y_N(t) = (1 + 1/N)^(E[Nt])(t + 1 - (E[Nt])/N)

I.C.4) Prouver que

\forallt \in [0, 1] y_N(t) ⟶ _(N \to + \infty)y(t)

où

y

désigne la solution de

C

: on dit que la suite des approximations

(y_N)_(N \in ℕ^*)

converge simplement vers la solution réelle du problème.

I.D - Étude d'un cas particulier avec second membre

Dans cette partie seulement, on travaille avec un second membre non nul.
I.D.1) Déterminer l'unique solution

h

du système

{∀t ∈ ℝ, h^′(t) − h(t) = exp(− t)(cost − 2sint); h(0) = 0

I.D.2) Montrer que

h

est développable en série entière sur

ℝ

et calculer les coefficients de ce développement en fonction des

b_n = sin((3nπ)/4)

.
I.D.3) Tracer rapidement la représentation graphique de

h

sur

[0, 2π]

.
I.D.4) Montrer que

I = \int_0^(+ \infty)h(t)dt

est convergente et calculer

I

, en détaillant les calculs.

II Généralités

II.A - Quelques propriétés qualitatives des solutions de $E_n$

Ici

n ⩾ 1

est un entier quelconque.
II.A.1) Si

n = 2

, donner les solutions réelles, puis complexes de

E_2 : y^('') - y = 0

On rappelle que, dans le cas général, il n'existe pas de méthode au programme permettant de résoudre simplement l'équation

E_n

; l'utilisation de l'équation caractéristique associée est, en particulier, à proscrire.
II.A.2) Montrer que toute solution

y

E_n : y^((n)) - y = 0

est de classe

C^\infty

sur

ℝ

.
II.A.3) Montrer que si

y

est solution de

E_n

alors

y^'

est solution de

E_n

.
II.A.4) La connaissance de

S_n(ℂ)

implique celle de

S_n(ℝ)

Prouver que les deux propositions suivantes sont équivalentes :

$y$ est dans $S_n(ℝ)$ ;
$y$ est la partie réelle d'une fonction $y~ \in S_n(ℂ)$ .

II.B - Structure de l'ensemble des solutions

II.B.1) Prouver que

S_n(ℝ)

, muni des lois usuelles sur les applications, a une structure de

ℝ

-espace vectoriel.
II.B.2) Soit

y : ℝ \to ℝ

une application

C^\infty

. On pose pour tout

t

ℝ

Y(t) = (y(t); y^'(t); y^('')(t); ⋮; y^((n - 1))(t))

définissant ainsi une application

t \mapsto Y(t)

qui est

C^\infty

ℝ

dans l'ensemble des matrices colonnes réelles d'ordre

n

, ensemble identifié à

ℝ^n

.
Montrer que l'on a

y \in S_n(ℝ)

si et seulement si

t \mapsto Y(t)

est solution d'un système différentiel

Y^' = AY

où

A

est une matrice carrée d'ordre

n

, dont on explicitera les coefficients.
II.B.3) Montrer que l'application

θ : | S_n(ℝ), \to ℝ^n; y, \mapsto, (y(0), y^'(0), y^('')(0), \dots, y^((n - 1))(0))

est un isomorphisme de

ℝ

-espaces vectoriels.
En déduire que

S_n(K)

est un

K

-espace vectoriel de dimension

n

pour

K = ℝ

. On admettra qu'il en va de même pour

K = ℂ

III Les cas $n = 3$ et $n = 4$

III.A - Le cas

n = 3 :

méthode de la variation de la constante

Dans cette partie, on fixe

n = 3

de sorte que l'on étudie

E_3 : y^(''') - y = 0

.
III.A.1) Montrer que la fonction exponentielle

t \mapsto exp(t)

est une solution de

E_3

sur

ℝ

.
III.A.2) Pour toute fonction

y : ℝ \to ℂ

de classe

C^\infty

on note

z : t \mapsto y(t)exp(- t)

qui est aussi de classe

C^\infty

. Prouver que

E_3

est équivalente à

E^' : z^(''') + 3(z^('') + z^') = 0

.
III.A.3) Donner les solutions à valeurs complexes, puis réelles de

E^'

On pourra poser

Z = z^'

.
III.A.4) En déduire les solutions à valeurs complexes, puis réelles de

E_3

Existe-t-il une solution réelle,

2π

-périodique et non nulle?

III.B - Le cas $n = 4$ : recherche de séries entières solutions

Dans cette partie, on fixe

n = 4

de sorte que l'on étudie

E_4 : y^((4)) - y = 0

. Pour tout

t \in ℝ

on définit

A(t) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)(t^(4k))/((4k)!) B(t) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)(t^(4k + 1))/((4k + 1)!) C(t) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)(t^(4k + 2))/((4k + 2)!) D(t) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)(t^(4k + 3))/((4k + 3)!)

III.B.1) Déterminer le domaine de définition de ces séries entières et reconnaître, en justifiant, les dérivées

B^'

C^'

D^'

.
III.B.2) On pose, pour tout

k \in ℕ : σ_k = 1 + (- 1)^k + i^k + (- i)^k

.
a) Montrer que :

k

impair

\Rightarrow σ_k = 0

.
b) En déduire que

σ_k

est non nul si et seulement si

k

est un multiple de 4 .
c) Prouver que pour tout

t \in ℝ

A(t) = 1/4(exp(t) + exp(- t) + exp(it) + exp(- it)) = 1/2(cht + cost)

d) Donner des expressions analogues pour

B(t), C(t)

D(t)

.
III.B.3) Soit

y \in S_4(ℂ)

une solution développable en série entière sur

ℝ

, de développement noté

\forallt \in ℝ y(t) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)a_k t^k

Donner une relation de récurrence reliant

a_(k + 4)

a_k

pour tout

k \in ℕ

et en déduire que

\forallt \in ℝ y(t) = a_0 A(t) + a_1 B(t) + 2a_2 C(t) + 6a_3 D(t)

puis qu'il existe

(z_1, z_2, z_3, z_4) \in ℂ^4

tel que

\forallt \in ℝ y(t) = z_1 ch(t) + z_2 sh(t) + z_3 cos(t) + z_4 sin(t)

III.B.4) Montrer, à l'aide de la question II.B.3, que (ch, sh, cos, sin) est une base de

S_4(ℂ)

puis en déduire la forme générale des éléments de

S_4(ℂ)

et de

S_4(ℝ)

.
III.B.5) Montrer que les solutions de

E_4

sont développables en série entière sur

ℝ

. Donner le développement en série entière de la solution de

E_4

vérifiant

y(0) = y^'(0) = y^('')(0) = - y^(''')(0) = 1

IV Retour au cas général

Ici,

n ⩾ 1

est un entier quelconque. On étudie donc l'équation

E_n : y^((n)) - y = 0

IV.A - Expression des solutions dans le cas général

IV.A.1) Pour tout

k \in ℤ

, on pose

ω = exp((2iπ)/n)

y_k : t \mapsto exp(ω^k t)

Prouver que:

\forallk \in ℤ, y_k \in S_n(ℂ)

.
IV.A.2) Prouver que la famille d'applications

(y_k)_(0 ⩽ k ⩽ n - 1)

est libre.
IV.A.3) Donner une base de l'espace vectoriel

S_n(ℂ)

, en déduire la forme générale des éléments de

S_n(ℂ)

.
IV.A.4) Justifier que toutes les solutions de

E_n

sont développables en série entière sur

ℝ

IV.B - Étude des solutions 2-périodiques de $E_n$

On étudie ici la possibilité de solutions

2π

-périodiques, à valeurs réelles pour

E_n

. Soit

y

une telle solution de

E_n

.
IV.B.1) Soit

k \in ℕ

. On notera par

a_k(f)

b_k(f)

les coefficients de Fourier usuels d'une fonction

f

2π

-périodique, avec la convention

b_0(f) = 0

.
Prouver, pour tout entier naturel

k

, les relations

{a_k(y^′) = kb_k(y); b_k(y^′) = − ka_k(y)

IV.B.2) On pose

c_0(y) = a_0(y)

∀k ⩾ 1, {c_k(y) = 1/2(a_k(y) − ib_k(y)); c_(− k)(y) = 1/2(a_k(y) + ib_k(y))

Prouver que

c_k(y^') = ikc_k(y)

pour tout

k \in ℤ

, en déduire que tous les

c_k(y)

sont nuls dans le cas où

n

est impair.
IV.B.3) Rappeler le théorème de Dirichlet (hypothèses, conclusion).

L'utiliser pour prouver l'assertion : si

n

est impair alors l'unique solution

2π

-périodique à valeurs réelles de

E_n

est la fonction nulle.
Que dire si

n

est pair?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 1 TSI 2013 ?

Il porte sur les équations différentielles linéaires d'ordre n, la méthode d'Euler, les séries entières, les espaces vectoriels et les séries de Fourier.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Le sujet est progressif : les parties II à IV réutilisent la structure d'espace vectoriel des solutions établie en partie II, et la partie IV généralise les cas particuliers n = 3 et n = 4 traités en partie III.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

La partie I, centrée sur l'équation d'ordre 1 et la méthode d'Euler, mobilise des notions accessibles dès la première année ; les parties suivantes demandent les séries entières et les espaces vectoriels de deuxième année.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

La résolution des équations différentielles linéaires, la manipulation des séries entières usuelles (exponentielle, sinus, cosinus hyperboliques), et les coefficients de Fourier d'une fonction périodique.

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I Cas n = 1 et méthode d'Euler

I.A - La méthode d'Euler

I.B - Préliminaires au I.C

I. C − Mise en œuvre de la méthode d'Euler pour E_1

I.D - Étude d'un cas particulier avec second membre

II Généralités

II.A - Quelques propriétés qualitatives des solutions de E_n

II.B - Structure de l'ensemble des solutions

III Les cas n = 3 et n = 4

III.B - Le cas n = 4 : recherche de séries entières solutions

IV Retour au cas général

IV.A - Expression des solutions dans le cas général

IV.B - Étude des solutions 2-périodiques de E_n

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 1 TSI 2013 ?

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

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I Cas $n = 1$ et méthode d'Euler

I. $C -$ Mise en œuvre de la méthode d'Euler pour $E_1$

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III Les cas $n = 3$ et $n = 4$

III.B - Le cas $n = 4$ : recherche de séries entières solutions

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