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Matrices tridiagonales (oscillateurs couplés, théorie de Hückel) et séries de piles ou faces
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Le problème I étudie les matrices tridiagonales A_n, d'abord en dimension 3 et 4 avec deux applications : des oscillateurs mécaniques couplés par ressorts, et la méthode de Hückel pour les orbitales moléculaires du butadiène. Il diagonalise ensuite A_n pour tout n via une relation de récurrence trigonométrique, puis localise les valeurs propres d'une matrice tridiagonale plus générale. Le problème II étudie les séries de lancers consécutifs amenant le même côté lors de n lancers de pièce, leur longueur, puis leur nombre via des fonctions génératrices.

  1. 1I.A : cas des matrices 3x3 et 4x4, applications en physique et en chimieDiagonalisation de A_3 et étude d'un sous-espace vectoriel de matrices associées, application à un système de trois oscillateurs couplés résolu par diagonalisation, puis application à la méthode de Hückel pour les orbitales moléculaires du trans-butadiène et du cis-butadiène.
  2. 2I.B : diagonalisation de A_nÉtablissement d'une relation de récurrence sur le polynôme caractéristique de A_n évalué en 2cos(alpha), calcul explicite des valeurs propres et des sous-espaces propres de A_n pour tout n.
  3. 3I.C : localisation des valeurs propres de certaines matrices tridiagonalesEncadrement des valeurs propres réelles d'une matrice tridiagonale générale B, d'abord par un argument de norme infinie, puis par l'étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2, pour obtenir un intervalle plus précis contenant le spectre.
  4. 4II.A : étude des longueurs de sériesDétermination des lois de probabilité de la longueur de la première puis de la deuxième série de lancers amenant le même côté.
  5. 5II.B : étude du nombre de séries lors de n lancersDétermination des lois du nombre de séries pour les premiers lancers, puis établissement d'une relation de récurrence sur les fonctions génératrices permettant de calculer le nombre moyen de séries lors de n lancers d'une pièce équilibrée.

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I Autour des matrices tridiagonales

Pour tout n ∈ ℕ, n ⩾ 2, on pose A_n = (0, 1, 0, ⋯, 0; 1, 0, 1, ⋱, ⋮; 0, 1, 0, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 1; 0, ⋯, 0, 1, 0) et on note I_n la matrice identité d'ordre n.
Pour toute matrice M de M_n(ℝ), par convention M^0 = I_n.
Les trois sous-parties I.A, I.B et I.C sont indépendantes.

I.A - Cas des matrices 3 × 3 et 4 × 4 - Applications en physique et en chimie

I.A.1) Préliminaires

Soit n ∈ ℕ^∗. Soient A et B deux matrices de M_n(ℝ). On suppose qu'il existe P ∈ M_n(ℝ) inversible telle que A = PBP^(− 1).
a) Montrer que pour tout k ∈ ℕ, A^k = PB^k P^(− 1).
b) En déduire que pour tout N ∈ ℕ, pour tout a_0, …, a_N dans ℝ : ∑_(k = 0)^N a_k A^k = P(∑_(k = 0)^N a_k B^k)P^(− 1).
c) Expliciter ∑_(k = 0)^N a_k B^k lorsque B est la matrice diagonale : (λ_1, 0, ⋯, 0; 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, ⋯, 0, λ_n).

I.A.2) Diagonalisation d'une famille de matrices 3 × 3

On considère, dans cette question, les matrices A_3 = (0, 1, 0; 1, 0, 1; 0, 1, 0) et J = (0, 0, 1; 0, 1, 0; 1, 0, 0).
a) Déterminer une matrice diagonale D_3 et une matrice inversible P_3 telles que A_3 = P_3 D_3 P_3^(− 1).
b) On considère l'ensemble F = {M(a, b, c) = (a, c, b; c, a + b, c; b, c, a)| (a, b, c) ∈ ℝ^3}}}{{.
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M_3(ℝ) et en donner une base.
c) Justifier que toute matrice M(a, b, c) de F est diagonalisable.
d) Exprimer A_3^2 en fonction de J et de I_3.
e) Soit M(a, b, c) appartenant à F. Exprimer M(a, b, c) en fonction de I_3, A_3 et A_3^2.
f) En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de M(a, b, c).

I.A.3) Application en physique

On considère, dans cette question, la matrice A_3 = (0, 1, 0; 1, 0, 1; 0, 1, 0).
On considère un système de 3 oscillateurs couplés, où les 4 ressorts sont identiques et de constante de raideur k. Les positions des masses m sont repérées par leurs abscisses x_1, x_2 et x_3 à partir de leur position d'origine respective O_1, O_2 et O_3, positions pour lesquelles les ressorts ne sont pas tendus. On suppose qu'on lâche les masses aux abscisses x_(1m), x_(2m) et x_(3m) sans vitesse initiale.
Figure 1
On montre, en appliquant le principe fondamental de la dynamique et en posant ω_0^2 = k/m (avec ω_0 ∈ ℝ^(+ ∗) ), que les abscisses x_1, x_2 et x_3 vérifient le système différentiel
(S1) : {x_1^(′′)(t), = − 2ω_0^2 x_1(t) + ω_0^2 x_2(t); x_2^(′′)(t), = ω_0^2 x_1(t) − 2ω_0^2 x_2(t) + ω_0^2 x_3(t); x_3^(′′)(t), = ω_0^2 x_2(t) − 2ω_0^2 x_3(t)
On pose X = (x_1; x_2; x_3).
a) Déterminer une matrice M_3 telle que ( S1 ) s'écrive X^(′′)(t) = M_3 X(t).
b) Exprimer cette matrice M_3 en fonction de A_3 et de I_3.
c) En déduire une matrice D_3^′ diagonale et une matrice P_3^′ inversible telles que M_3 = P_3^′ D_3^′ P_3^(′ − 1).
d) Résoudre alors le système ( S1 ), c'est-à-dire déterminer les expressions de x_1, x_2 et x_3 en fonction de t et des conditions initiales x_(1m), x_(2m) et x_(3m).

I.A.4) Application en chimie

On considère, dans cette question, la matrice A_4 = (0, 1, 0, 0; 1, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 1; 0, 0, 1, 0).
Dans le modèle quantique de l'atome, on ne considère plus que les électrons d'un atome sont en orbite circulaire autour du noyau, mais occupent de manière probabiliste certaines régions de l'espace autour du noyau. Une orbitale atomique correspond à une région de l'espace dans laquelle on a 95% de chance de trouver un électron considéré. Pour une molécule, constituée de plusieurs atomes, on parle d'orbitale moléculaire. En 1930, Hückel publie une méthode permettant de déterminer des orbitales moléculaires qui conduit à diagonaliser des matrices tridiagonales. Par exemple, si on s'intéresse à la construction des orbitales molé-
Figure 2 trans-butadiène
culaires du trans-butadiène (figure 2), les orbitales moléculaires, notées π, sont des combinaisons linéaires d'orbitales atomiques, notées respectivement p_1, p_2, p_3 et p_4 des atomes de carbone, elles s'écrivent sous la forme π = C_1 p_1 + C_2 p_2 + C_3 p_3 + C_4 p_4.
On est alors amené à déterminer les valeurs de ε, pour lesquelles il existe C_1, C_2, C_3 et C_4 réels non tous nuls, solutions du système
(S2) : {αC_1 + βC_2, = εC_1; βC_1 + αC_2 + βC_3, = εC_2; βC_2 + αC_3 + βC_4, = εC_3; βC_3 + αC_4, = εC_4
Les différentes valeurs de ε que l'on va trouver correspondent aux énergies des différentes orbitales moléculaires possibles. α et β sont des constantes données,
Figure 3 cis-butadiène
indépendantes des atomes de carbone considérés. La constante α correspond à une énergie propre à l'atome de carbone. La constante β correspond à une énergie d'interaction entre deux atomes de carbone voisins.
a) À la recherche des valeurs propres et vecteurs propres de quelle matrice correspond la recherche des ε, pour lesquelles il existe C_1, C_2, C_3 et C_4 non tous nuls, solutions de ( S2 ) ?
On note M_4 cette matrice.
b) Exprimer M_4 en fonction de I_4 et de A_4.
c) On admet que si on pose φ = (1 + √5)/2, D_4 = (φ, 0, 0, 0; 0, 1 − φ, 0, 0; 0, 0, φ − 1, 0; 0, 0, 0, − φ) et P_4 = (φ − 1, φ, φ, φ − 1; 1, − 1, 1, − 1; 1, − 1, − 1, 1; φ − 1, φ, − φ, 1 − φ), alors P_4 est inversible et on a D_4 = P_4^(− 1)A_4 P_4.
Déterminer, en fonction de φ, une matrice D_4^′ diagonale et une matrice P_4^′ inversible telle que D_4^′ = P_4^(′ − 1)M_4 P_4^′. En déduire les différentes valeurs de ε possibles et, pour chaque valeur de ε, les valeurs de C_1, C_2, C_3 et C_4 correspondantes.
d) On s'intéresse maintenant aux orbitales moléculaires de la molécule de cis-butadiène (cf figure 3). On souhaite appliquer à cette molécule la même méthode que précédemment, mais sans négliger l'énergie d'interaction entre le premier et le dernier atome de carbone. Quels coefficients de M_4 doit-on modifier ? On ne demande pas de calcul.

I.B - Diagonalisation de A_n

Pour tout n ∈ ℕ, n ⩾ 2, on appelle χ_n le polynôme caractéristique de A_n : χ_n(X) = det(XI_n − A_n) et, pour tout α ∈ ]0, π[, on pose u_n = χ_n(2cosα) = |2cosα, − 1, 0, ⋯, 0; − 1, 2cosα, − 1, ⋱, ⋮; 0, − 1, 2cosα, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, − 1; 0, ⋯, 0, − 1, 2cosα|.
I.B.1) Pour tout n ∈ ℕ, n ⩾ 4, déterminer une relation de récurrence liant u_n, u_(n − 1) et u_(n − 2).
I.B.2) En déduire que pour tout n ∈ ℕ, n ⩾ 2, u_n = (sin(n + 1)α)/(sinα).
I.B.3) En déduire que pour tout n ∈ ℕ, n ⩾ 2, A_n possède n valeurs propres deux à deux distinctes, que l'on explicitera.
I.B.4) Pour tout n ∈ ℕ, n ⩾ 2, déterminer les sous-espaces propres associés aux valeurs propres de A_n.
On pourra considérer les vecteurs X_α = (sinα; sin2α; ⋮; sinnα).

I.C - Localisation des valeurs propres de certaines matrices tridiagonales

Dans cette sous-partie, on considère un entier n ⩾ 2, a et b deux nombres réels strictement positifs et B la matrice de M_n(ℝ) suivante: (0, a, 0, ⋯, 0; b, 0, a, ⋱, ⋮; 0, b, 0, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, a; 0, ⋯, 0, b, 0). On note sp(B) le spectre de la matrice B c'est-à-dire l'ensemble des valeurs propres réelles de la matrice réelle B et, pour λ ∈ ℝ, on pose C_λ = B − λI_n. Le but de cette sous-partie est de localiser les valeurs propres réelles de B, c'est-à-dire de trouver un intervalle I de ℝ tel que sp(B) ⊂ I.
I.C.1) Soit λ une éventuelle valeur propre réelle de B. Soit X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ ℝ^n, non nul, vérifiant C_λ X = 0. On pose |x_k| = max(|x_1|, …, |x_n|).
a) En examinant la k-ième ligne du système C_λ X = 0, montrer que |λ| ⩽ a + b.
b) En déduire un premier intervalle I tel que sp(B) ⊂ I.
I.C.2) Dans la suite de cette sous-partie, on considère λ quelconque dans ℝ.
On dira qu'une suite (u_k)_(k ∈ ℕ) vérifie la propriété ( R ) lorsque l'on a :
∀k ∈ ℕ : bu_k − λu_(k + 1) + au_(k + 2) = 0
Soit X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ ℝ^n. On pose x_0 = x_(n + 1) = 0.
Montrer que X vérifie C_λ X = 0 si et seulement si les nombres x_0, x_1, …, x_n, x_(n + 1) sont les n + 2 premiers termes d'une suite vérifiant ( R ).
I.C.3) On suppose dans cette question que λ^2 > 4ab.
a) Déterminer l'ensemble des suites vérifiant ( R ).
b) Montrer que si un vecteur X ∈ ℝ^n vérifie C_λ X = 0 alors c'est le vecteur nul.
I.C.4) On suppose dans cette question que λ^2 = 4ab.
a) Déterminer l'ensemble des suites vérifiant ( R ).
b) Montrer que si un vecteur X ∈ ℝ^n vérifie C_λ X = 0 alors c'est le vecteur nul.
I.C.5) En déduire que sp(B) ⊂ ] − 2√(ab), 2√(ab)[.
I.C.6) Le résultat de la question I.C. 5 est-il meilleur que celui du I.C. 1 ?

II Séries de pile ou face

Soit n ∈ ℕ^∗. On effectue n lancers indépendants d'une pièce donnant pile avec la probabilité p ∈ ]0, 1[ et face avec la probabilité q = 1 − p. On va s'intéresser dans ce problème aux successions de lancers amenant un même côté. Pour décrire la succession de n lancers, on introduit la notion de séries de lancers amenant un même côté et on parle de longueur d'une série. Ainsi, la première série est de longueur m ∈ [ [1, n − 1] ] si les m premiers
lancers ont amené le même côté de la pièce et le ( m + 1 )-ième l'autre côté, et de longueur n si les n lancers ont amené le même côté de la pièce. Si la longueur de la première série est égale à m < n, la deuxième série commence au ( m + 1 )-ième lancer et se termine au lancer précédant un changement de côté s'il y a au moins un deuxième changement de côté au cours des n lancers, sinon on dit qu'elle est de longueur n − m. On peut définir de même les séries suivantes.
Ω_n désigne l'ensemble des successions de pile ou face au bout de n lancers. Pour i ∈ ℕ^∗, on note P_i l'événement «le i-ième lancer amène pile» et F_i l'événement contraire.
Les deux sous-parties II.A et II.B sont indépendantes.

II.A - Étude des longueurs de séries

On considère dans cette sous-partie que m ∈ ℕ^∗ et k ∈ ℕ^∗.
II.A.1) On note L_1 la longueur de la première série.
a) Déterminer L_1(Ω_n) (ensemble des valeurs prises par L_1 ).
b) On suppose que m < n. Exprimer l'événement ( L_1 = m ) à l'aide des événements P_i et F_i pour i entier naturel variant entre 1 et m + 1. En déduire la probabilité de l'événement ( L_1 = m ).
c) On suppose maintenant que m = n. Exprimer l'événement ( L_1 = n ) à l'aide des événements P_i et F_i pour i entier naturel variant entre 1 et n. En déduire la probabilité de l'événement ( L_1 = n ).
d) Vérifier que ∑_(m = 1)^n P(L_1 = m) = 1.
II.A.2) On note L_2 la longueur de la deuxième série, s'il y en a une, et on pose L_2 = 0 s'il n'y a pas de deuxième série.
a) Déterminer L_2(Ω_n).
b) On suppose que m + k < n. Exprimer l'événement (L_1 = m) ∩ (L_2 = k) à l'aide des événements P_i et F_i pour i entier naturel variant entre 1 et m + k + 1. En déduire la probabilité de l'événement (L_1 = m) ∩ (L_2 = k).
c) On suppose que m + k = n. Exprimer l'événement (L_1 = m) ∩ (L_2 = k) à l'aide des événements P_i et F_i pour i entier naturel variant entre 1 et n. En déduire la probabilité de l'événement (L_1 = m) ∩ (L_2 = k).
d) En déduire la valeur de P(L_2 = k) pour k ∈ [ [1, n − 1] ].
e) Calculer P(L_2 = 0).

II.B - Étude du nombre de séries lors de n lancers

On considère dans toute cette sous-partie que la pièce est équilibrée, c'est-à-dire que p = 1/2. On suppose que l'on effectue n(n ⩾ 3) lancers indépendants et on note N_k le nombre de séries lors des k premiers lancers ( k ⩽ n ). Par exemple, si on prend n = 11 et si les lancers successifs donnent : FFPPPPFFPPP ( F désignant face et P pile), on a pour une telle succession ω ∈ Ω_(11) : N_1(ω) = N_2(ω) = 1, N_3(ω) = ⋯ = N_6(ω) = 2, N_7(ω) = N_8(ω) = 3 et N_9(ω) = ⋯ = N_(11)(ω) = 4. On admettra que pour tout k ∈ [ [1, n] ], N_k est une variable aléatoire sur Ω_n.
II.B.1) Déterminer les lois de N_1, N_2 et N_3 et donner leurs espérances.
II.B.2) Déterminer N_n(Ω_n), puis calculer les valeurs de P(N_n = 1) et P(N_n = n).
II.B.3) Fonctions génératrices de N_n
On pose, pour n ∈ ℕ^∗ et pour s ∈ [0, 1], G_n(s) = ∑_(k = 1)^n P(N_n = k)s^k.
a) Pour s ∈ [0, 1], comparer l'espérance de la variable aléatoire s^(N_n) avec G_n(s).
b) Que représente G_n^′(1) ?
c) Montrer que pour tout n ⩾ 2 et tout k ∈ [ [1, n] ] on a :
P((N_n = k) ∩ P_n) = 1/2P((N_(n − 1) = k) ∩ P_(n − 1)) + 1/2P((N_(n − 1) = k − 1) ∩ F_(n − 1))
On admet que l'on obtiendrait de même
P((N_n = k) ∩ F_n) = 1/2P((N_(n − 1) = k) ∩ F_(n − 1)) + 1/2P((N_(n − 1) = k − 1) ∩ P_(n − 1))
Montrer alors que P(N_n = k) = 1/2P(N_(n − 1) = k) + 1/2P(N_(n − 1) = k − 1).
d) Soit n ⩾ 2. Montrer que G_n(s) = (1 + s)/2G_(n − 1)(s).
Calculer G_1(s) et en déduire que G_n(s) = ((1 + s)/2)^(n − 1)s.
e) Déterminer le nombre moyen de séries dans les n lancers.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 TSI Centrale 2015 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 TSI Centrale 2015 ?

Le problème I porte sur la réduction des endomorphismes et les suites récurrentes linéaires, appliquées à la physique des oscillateurs couplés et à la chimie quantique. Le problème II porte sur les probabilités discrètes et les fonctions génératrices.

Les deux problèmes du sujet Centrale maths 1 TSI 2015 sont-ils indépendants ?

Oui, le problème I sur les matrices tridiagonales et le problème II sur les séries de pile ou face sont indépendants ; à l'intérieur du problème I, les sous-parties I.A, I.B et I.C sont elles-mêmes indépendantes, de même que les sous-parties II.A et II.B du problème II.

Ce sujet fait-il intervenir des applications en physique et en chimie ?

Oui, la sous-partie I.A applique la diagonalisation de matrices à un système d'oscillateurs mécaniques couplés par ressorts, puis à la méthode de Hückel utilisée en chimie quantique pour déterminer les orbitales moléculaires du butadiène.

Le sujet Centrale maths 1 TSI 2015 est-il accessible en première année ?

La sous-partie I.A repose sur la diagonalisation de matrices 3x3 et 4x4, une notion de première année, avant que le sujet ne généralise l'étude à des matrices de taille n et n'aborde des probabilités avec fonctions génératrices, notions de deuxième année.

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