Centrale Mathématiques 2 TSI 2015Sujet et corrigé

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Réduction des matrices symétriques réelles
Groupe orthogonal et matrices orthogonales
Produit scalaire sur l'espace des matrices
Groupe symétrique et permutations
Convexité

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Matrices de permutation, matrices magiques et matrices bistochastiques

Le sujet étudie plusieurs sous-ensembles remarquables de l'espace des matrices carrées : les matrices contractantes pour la norme euclidienne, les matrices de permutation, les matrices magiques dont les sommes de lignes et de colonnes sont égales, et les matrices bistochastiques. Il se termine par l'étude des points extrémaux de l'ensemble des matrices bistochastiques et par le théorème de Birkhoff, démontré dans le cas de taille 2.

1I. Étude de l'ensemble E_nCaractérise les matrices qui contractent la norme euclidienne, en particulier les matrices symétriques dont les valeurs propres sont dans [-1, 1].
2II. Matrices de permutationÉtudie les matrices associées aux permutations d'un ensemble fini et montre qu'elles forment un sous-groupe fini du groupe orthogonal.
3III. Matrices magiquesDéfinit les matrices magiques par l'égalité des sommes de lignes et de colonnes et en étudie la structure d'espace vectoriel stable par produit.
4IV. Matrices bistochastiquesÉtudie les matrices magiques à coefficients positifs de somme 1 sur plusieurs exemples explicites, dont un lien avec le groupe orthogonal.
5V. Points extrémaux de B_nMontre que les matrices de permutation sont les points extrémaux de l'ensemble des matrices bistochastiques, cas particulier du théorème de Birkhoff.

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Notations et définitions

Dans tout le problème,

n

désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On notera par ailleurs :

$S_n$ l'ensemble des permutations de l'ensemble $[ [1, n] ]$ des entiers compris entre 1 et $n$ , c'est-à-dire des applications de $[ [1, n] ]$ vers lui-même qui sont bijectives. C'est un ensemble fini ayant $n!$ éléments et qui forme un groupe pour la loi de composition o, appelé groupe symétrique d'ordre $n$ .
$R^n = M_(n, 1)(ℝ)$ . Il est muni du produit scalaire défini par $⟨X, Y⟩ = X^T Y$ ainsi que de la norme associée définie par $‖X‖ = \sqrt(⟨X, X⟩)$ .
$M_n = M_n(ℝ)$ . Il est muni du produit scalaire défini par $(A|B) = tr(A^T B)$ ainsi que de la norme associée définie par $N(A) = \sqrt((A|A))$ .
$I_n = diag(1, \dots, 1)$ la matrice unité de $M_n$ .
$O(n) = {P ∈ M_n : P^T P = I_n}$ l'ensemble des matrices orthogonales de $M_n$ . On rappelle que c'est un groupe pour le produit matriciel appelé groupe orthogonal d'ordre $n$ .
$- SO(n) = {P \in O(n) : det(P) = 1}$ .
On définit également les points suivants.
Pour tous $A, B \in M_n$ , on définit le segment $[A, B] = {(1 - t)A + tB, t \in [0, 1]}$ .
Une partie $Φ$ de $M_n$ est dite convexe lorsque pour tous $A, B \in Φ$ , on a $[A, B] \subset Φ$ .
Si $Φ$ est convexe, $A \in Φ$ est dit extrémal (dans $Φ$ ) si l'égalité $A = (1 - t)A_1 + tA_2$ avec $t \in ]0, 1[$ et $A_1, A_2$ dans $Φ$ implique $A = A_1 = A_2$ .
Ce problème a pour objectif d'étudier des propriétés de certains sous-ensembles de $M_n$ et d'en donner quelques illustrations géométriques. Il est constitué de cinq parties, largement indépendantes entre elles.

I Étude de l'ensemble $E_n$

Dans toute cette partie, on s'intéresse à l'ensemble défini par

E_n = {P ∈ M_n : ∀X ∈ R^n, ‖PX‖ ⩽ ‖X‖}

I.A

- Donner une condition nécessaire et suffisante sur

(a, b) \in ℝ^2

pour que la matrice

(a, - b; b, a)

appartienne à

E_2

.
I.

B -

M \in E_n

, que dire de ses valeurs propres réelles ?

Calculer le spectre de

A = 1/3(1, - 1, 2; - 1, 2, 1; 2, 2, - 2)

et en déduire que

A

n'appartient pas à

E_3

I.C -

Montrer que

E_n

est convexe.
I.D - Soit

M \in M_n

. On note

C_1, C_2, \dots, C_n

ses vecteurs colonnes.

Montrer que

N(M)^2 = \sum_(j = 1)^n‖C_j‖^2

. En déduire une expression de

N(M)

à l'aide des coefficients de

M

IE

- Montrer alors que

E_n

contient la boule unité fermée de

M_n

.
On pourra utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
I.

F

- Montrer que

E_n

est contenu dans la boule fermée de centre 0 et de rayon

\sqrtn

. Montrer de plus que cette inclusion est stricte dans le cas

n = 3

.
I.

G

- Soit

A \in M_n

symétrique (vérifiant

A^T = A

). Montrer que

A \in E_n

si et seulement si toutes ses valeurs propres sont dans

[ - 1, 1]

.
I.H - Soit

B \in M_n

A = B^T B

. Montrer que

B \in E_n

si et seulement si toutes les valeurs propres de

A

sont dans

[0, 1]

II Matrices de permutation

II.A - Cas

n = 3

L'ensemble

S_3

des permutations de

[ [1, 3] ]

contient 6 éléments. On note (

e_1, e_2, e_3

) la base canonique de

R^3

.
II.A.1) Sachant qu'une application

σ

S_3

est déterminée par la donnée du triplet (

σ(1), σ(2), σ(3)

), expliciter les 6 applications de

S_3

.
II.A.2) Justifier que

L = (0, 0, 1; 1, 0, 0; 0, 1, 0)

est diagonalisable dans

M_3(ℂ)

et préciser ses valeurs propres complexes.
II.A.3) Justifier que

L \in SO(3)

. En déduire l'existence de

M \in SO(3)

telle que

M^3 = L

. Combien existe-t-il de matrices

M \in M_3(ℂ)

telles que

M^3 = L

?
II.A.4) Soit

K = (0, 1, 0; 1, 0, 0; 0, 0, 1)

Le segment

[K, L]

est-il contenu dans

O(3)

Les ensembles

{K^r L^h : r ∈ {0, 1}, h ∈ {0, 1, 2}}

{M_σ : σ ∈ S_3}

sont-ils égaux ?
II.A.5) Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel (réel) de

M_3

engendré par l'ensemble

{M_σ : σ ∈ S_3}

II.B - Cas général $n ⩾ 1$

II.B.1) On note (

e_1, e_2, \dots, e_n

) la base canonique de

R^n

. Pour tout

σ \in S_n

, on note

M_σ

l'unique matrice de

M_n

telle que pour tout

j \in [ [1, n] ], M_σ e_j = e_(σ(j))

.
Préciser les coefficients de

M_σ

et justifier que

M_σ \in O(n)

.
II.

C

- Une matrice de la forme

M_σ

est dite matrice de permutation et on note

P_n

l'ensemble des matrices de permutations de

M_n(ℝ)

.
Montrer que l'application

φ : σ \mapsto M_σ

du groupe (

S_n, \circ

) dans le groupe multiplicatif

O(n)

est injective et que, pour tout

σ

σ^'

S_n, φ(σ \circ σ^') = φ(σ) \circ φ(σ^')

.
On en déduit que

P_n

est un sous-groupe de

O(n)

, fini de cardinal

n!

.
II.C.1) Pour tout

σ \in S_n

, montrer que

{(M_σ)^k : k ∈ ℕ^∗}

est fini. En déduire l'existence de

p \in ℕ^*

tel que

(M_σ)^p = I_n

III Matrices magiques

Une matrice

M = (m_(i, j))

dans

M_n

est dite magique s'il existe un réel

s(M)

tel que pour tout

i \in [ [1, n] ]

, on ait :

\sum_(k = 1)^n m_(i, k) = \sum_(k = 1)^n m_(k, i) = s(M)

On note

Π_n

l'ensemble des matrices magiques de

M_n

.
On note encore

U = (1; ⋮; 1) \in R^n

J = UU^T = (1, \dots, 1; ⋮, ⋮, ⋮; 1, \dots, 1) \in M_n

.
Soient également

D = vect(U)

la droite de

R^n

engendrée par

U

H = {(h_1; ⋮; h_n) ∈ R^n : ∑_(i = 1)^n h_i = 0}}}{{

(l'ensemble des vecteurs colonnes de

M_(n, 1)(ℝ)

dont la somme des coordonnées vaut 0 ).
III.

A

- Montrer que les matrices de permutations sont magiques, c'est-à-dire que

P_n \subset Π_n

.
III. B - Montrer que les sous espaces

D

H

sont supplémentaires dans

R^n = M_(n, 1)(ℝ)

.
III.

C

- Soit

M \in M_n

.
III.C.1) Montrer que

M

est magique si et seulement s'il existe un réel

λ

tel que

MJ = JM = λJ

.
III.C.2) Montrer que

M

est magique si et seulement si

M

laisse stable

D

H

.
III.C.3) Montrer que

Π_n

est un sous-espace vectoriel de

M_n

stable pour le produit matriciel.
III.C.4) Montrer que

s : M \in Π_n \mapsto s(M) \in ℝ

est une application linéaire, vérifiant

s(MM^') = s(M)s(M^')

pour tous

M, M^' \in Π_n

.
III.C.5) Soit

M

magique et inversible. Montrer que

M^(- 1)

est magique et calculer

s(M^(- 1))

.
III.D - Déterminer

dim(Π_n)

.
III.

E

- Montrer que pour tout

k \in ℕ

, on a

J^k \in Π_n

et que

Z = vect(I_n, J)

est stable pour le produit matriciel.
III.

F

- Déterminer le centre de

Π_n

c'est-à-dire :

{M ∈ Π_n : ∀A ∈ Π_n, AM = MA}

On pourra utiliser les matrices de permutation élémentaire

P_(i, j)

avec

i < j

, associée à la permutation de

[ [1, n] ]

qui échange

i

j

et laisse invariant les autres éléments.
III.

G

- Déterminer un supplémentaire de

ker(s)

dans

Π_n

III.H - Matrices super-magiques

Une matrice

M

à coefficients dans

ℝ

de taille

n \times n

est dite super-magique s'il existe un nombre

s(M)

tel que les sommes des coefficients sur les lignes, sur les colonnes et sur les deux diagonales soient toutes égales à

s(M)

.
III.H.1) Exprimer les conditions précédentes en fonction des

M_(i, j)

(coefficient de

M

à la

i

-ème ligne et

j

-ème colonne).
III.H.2) On choisit

n = 3

. Déterminer une base de l'espace vectoriel des matrices super-magiques de

M_3

IV Matrices bistochastiques

Une matrice

M \in M_n

est dite bistochastique si

M

est magique (

M \in Π_n

), tous les coefficients de

M

sont positifs et

s(M) = 1

. Ainsi si

M = (m_(i, j))

on doit avoir :

\foralli, j \in [ [1, n] ], m_(i, j) ⩾ 0

\sum_(k = 1)^n m_(i, k) = \sum_(k = 1)^n m_(k, i) = 1

.
On note

B_n

l'ensemble des matrices bistochastiques de

M_n

.
IV.

A

- Montrer que les matrices de permutation sont bistochastiques, c'est-à-dire que

P_n \subset B_n

.
IV.B - Les matrices bistochastiques sont-elles toujours inversibles?
IV.C - Montrer que

B_n

est stable pour le produit matriciel.

IV.D

- Montrer que

vect(B_n) = Π_n

IV.E - Exemple 1

IV.E.1) Pour tout

a \in [0, 1]

, on note

U_a = (a, 1 - a; 1 - a, a)

Justifier qu'une telle matrice

U_a

est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.
IV.E.2) Déterminer

a \in [0, 1]

tel que

U_a

soit une matrice orthogonale.
IV.E.3) Déterminer le sous-espace vectoriel de

M_2(ℝ)

engendré par

B_2 = {U_a : a ∈ [0, 1]}

IV.F - Exemple 2

Pour tout

b \in [0, 1/2]

, on note

V_b = (1 - 2b, b, b; b, 1 - 2b, b; b, b, 1 - 2b)

.
IV.F.1) Justifier qu'une telle matrice est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.
IV.F.2) Existe-t-il

b \in [0, 1/2]

tel que

V_b

soit une matrice orthogonale ?

IV.G - Exemple 3

IV.G.1) Soit

Γ = {(a, b, c) ∈ ℝ^3 : (a, b, c; c, a, b; b, c, a) ∈ O(3)}}}{{

Montrer que

Γ

est la réunion de deux cercles de

ℝ^3

(muni de son produit scalaire canonique) dont on précisera les centres et rayons.
IV.G.2) Soient

a, b, c \in [0, 1]

tels que

a + b + c = 1

W = (a, b, c; c, a, b; b, c, a)

Préciser dans quels cas

W \in O(3)

V Points extrémaux de $B_n$

V.A

- Les sous-ensembles suivants de

M_n

sont-ils convexes :

P_n, O(n), B_n, Π_n

GL_n(ℝ)

V. $B$ - Matrices de permutations

V.B.1) Décomposer la matrice

A = 1/4(2, 1, 1; 1, 2, 1; 1, 1, 2)

comme combinaison linéaire, à coefficients positifs et de somme 1, de matrices de permutations. Y a-t-il unicité de cette décomposition?
V.B.2) Montrer que les matrices de permutation sont des points extrémaux de

B_n

V.C

- On peut en fait établir la réciproque et le théorème (de Birkhoff) : «Les points extrémaux de

B_n

sont exactement les matrices de permutations

» P_n»

.
On souhaite juste ici établir ce résultat dans le cas simple

n = 2

.
En supposant que

U_a = (a, 1 - a; 1 - a, a)

dans

B_2

, avec

a \in [0, 1]

est un point extrémal, justifier que

U_a

est une matrice de permutation.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques 2 TSI Centrale 2015 ?

Il porte sur la réduction des matrices symétriques, le groupe orthogonal, le groupe symétrique des permutations, et la notion de convexité appliquée aux matrices bistochastiques.

Quelles parties du sujet sont indépendantes ?

L'énoncé précise que le problème est constitué de cinq parties largement indépendantes entre elles.

Faut-il connaître le théorème de Birkhoff avant de traiter ce sujet ?

Non, il est énoncé dans la partie V et seule sa démonstration dans le cas particulier n=2 est demandée.

Quelles notions de théorie des groupes sont mobilisées ?

Le groupe symétrique S_n des permutations et le groupe orthogonal O(n), reliés par un morphisme injectif dans la partie II.

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I Étude de l'ensemble E_n

II Matrices de permutation

II.B - Cas général n ⩾ 1

III Matrices magiques

III.H - Matrices super-magiques

IV Matrices bistochastiques

IV.E - Exemple 1

IV.F - Exemple 2

IV.G - Exemple 3

V Points extrémaux de B_n

V. B - Matrices de permutations

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques 2 TSI Centrale 2015 ?

Quelles parties du sujet sont indépendantes ?

Faut-il connaître le théorème de Birkhoff avant de traiter ce sujet ?

Quelles notions de théorie des groupes sont mobilisées ?

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I Étude de l'ensemble $E_n$

II.B - Cas général $n ⩾ 1$

V Points extrémaux de $B_n$

V. $B$ - Matrices de permutations