Centrale Mathématiques 2 TSI 2016Sujet et corrigé

Q: Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 de Centrale TSI 2016 ?

La réduction des matrices et leur rayon spectral, avec une application aux probabilités discrètes puis à la méthode itérative de Jacobi pour résoudre un système linéaire.

Q: Les quatre parties de ce sujet de maths 2 Centrale TSI 2016 sont-elles indépendantes ?

L'énoncé les présente comme largement indépendantes, même si la partie IV réutilise le résultat général établi en partie III.

Q: Le sujet maths 2 Centrale TSI 2016 utilise-t-il les probabilités ?

Oui, la partie II modélise par une chaîne de Markov la rencontre de deux personnes dans un labyrinthe à cinq pièces.

Q: Quel est le fil conducteur du sujet de mathématiques 2, Centrale TSI 2016 ?

Comprendre à quelle condition, portant sur le rayon spectral d'une matrice, une suite définie par récurrence matricielle reste bornée ou converge.

Pas encore noté

Réduction des endomorphismes (valeurs propres, rayon spectral)
Matrices orthogonales
Suites de vecteurs et normes matricielles
Probabilités discrètes et chaînes de Markov
Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires

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Centrale, mathématiques 2, TSI 2016 : comportement asymptotique de suites définies par une matrice 3x3

Sujet de mathématiques 2 du concours Centrale TSI 2016, qui étudie le comportement asymptotique d'une suite de vecteurs définie par une relation de récurrence u_(n+1) = A u_n, en fonction du rayon spectral de la matrice A. Une partie applique ce cadre à un problème de probabilités (deux personnes cherchant à se retrouver dans un labyrinthe à cinq pièces) et une autre à la méthode itérative de Jacobi pour résoudre un système linéaire.

1I - GénéralitésÉtudie le cas d'une matrice orthogonale, pour laquelle la suite reste bornée, puis construit un exemple de matrice à valeurs propres réelles pour laquelle la suite n'est pas bornée.
2II - Un exemple issu des probabilitésModélise par une matrice 3x3 la probabilité que deux personnes se retrouvent dans un labyrinthe à cinq pièces, et en déduit la loi du nombre de déplacements avant qu'elles se retrouvent.
3III - Rayon spectralDémontre que la suite est bornée, ou converge vers le vecteur nul, dès que le rayon spectral de A est inférieur à 1, y compris quand A n'est pas diagonalisable.
4IV - Méthode de JacobiApplique les résultats précédents à la résolution itérative d'un système linéaire MX=B par la méthode de Jacobi, sur deux exemples numériques.

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Notations

$M_3(ℝ)$ désigne l'ensemble des matrices à coefficients réels ayant 3 lignes et 3 colonnes.
$GL_3(ℝ)$ désigne le sous-ensemble de $M_3(ℝ)$ formé des matrices inversibles.
$O_3(ℝ)$ désigne le sous-ensemble de $M_3(ℝ)$ formé des matrices orthogonales.
$I_3$ est la matrice identité de $M_3(ℝ)$ .
Le polynôme caractéristique d'une matrice $A$ de $M_3(ℝ)$ est $χ_A(X) = det(XI_3 - A)$ .
$M_(3, 1)(ℝ)$ est l'ensemble des matrices à coefficients réels ayant 3 lignes et 1 colonne.
La norme euclidienne d'un élément $u = (x; y; z)$ de $M_(3, 1)(ℝ)$ , égale à $\sqrt(x^2 + y^2 + z^2)$ , est notée $‖u‖$ .
On rappelle qu'une suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ de $M_(3, 1)(ℝ)$ est bornée s'il existe une constante $C ⩾ 0$ indépendante de $n$ telle que $‖u_n‖ ⩽ C$ pour tout $n \in ℕ$ et qu'une suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ de $M_(3, 1)(ℝ)$ converge vers $ℓ \in M_(3, 1)(ℝ)$ si $lim_(n \to + \infty)‖u_n - ℓ‖ = 0$ .
Pour $A \in M_3(ℝ), Sp(A)$ désigne l'ensemble des valeurs propres complexes de $A$ et $ρ(A)$ le maximum des modules des valeurs propres de A ; on appelle $ρ(A)$ le rayon spectral de $A$ .
On a donc $ρ(A) = max{|λ|; λ \in Sp(A)}$ .
$T_3(ℝ)$ désigne l'ensemble des matrices $A \in M_3(ℝ)$ qui vérifient $Sp(A) \subset ℝ$ (autrement dit, l'ensemble des matrices de $M_3(ℝ)$ dont toutes les valeurs propres sont réelles).

Objectif du problème

L'objectif du problème est d'étudier le comportement asymptotique d'une suite

(u_n)_(n \in ℕ)

à valeurs dans

M_(3, 1)(ℝ)

vérifiant une relation de récurrence

u_(n + 1) = Au_n

, où

A

est une matrice de

M_3(ℝ)

, en fonction de la condition initiale

u_0

et du rayon spectral

ρ(A)

.
Les quatre parties du problème sont largement indépendantes entre elles.

I Généralités

I.A - Cas des matrices orthogonales

On considère une matrice orthogonale

A \in O_3(ℝ)

et un vecteur

u \in M_(3, 1)(ℝ)

. On définit la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

par la condition initiale

u_0 = u

et la relation de récurrence

u_(n + 1) = Au_n

, valable pour tout

n \in ℕ

.
I.A.1) Exprimer

‖u_(n + 1)‖

en fonction de

‖u_n‖

et justifier que la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

est bornée dans

M_(3, 1)(ℝ)

.
I.A.2) À quelle condition, portant sur le vecteur

u

, la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

converge-t-elle vers

(0; 0; 0)

?
I.A.3) Que peut-on dire des valeurs propres d'une matrice

A

qui appartient à la fois à

O_3(ℝ)

et à

T_3(ℝ)

? En déduire la description de tous les éléments de

O_3(ℝ) \cap T_3(ℝ)

I.B - Étude d'un exemple

Pour

s \in ℝ

, on définit la matrice

B_s = (1, 0, 0; 0, 0, s; 0, s^2, 0)

.
I.B.1) Pour quelles valeurs du paramètre

s

la matrice

B_s

appartient-elle à

O_3(ℝ)

? Pour ces valeurs de

s

, donner une description géométrique de l'endomorphisme associé à

B_s

dans la base canonique.
I.B.2) Pour quelles valeurs du paramètre

s

la matrice

B_s

appartient-elle à

T_3(ℝ)

? Que vaut alors son rayon spectral

ρ(B_s)

?
I.B.3) Pour tout entier

ℓ ⩾ 1

, calculer la matrice

B_s^(2ℓ)

.
I.B.4) Déduire des deux questions précédentes qu'il existe

A \in T_3(ℝ)

u \in M_(3, 1)(ℝ)

tels que la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

définie par la condition initiale

u_0 = u

et la relation de récurrence

u_(n + 1) = Au_n

ne soit pas bornée dans

M_(3, 1)(ℝ)

II Un exemple issu des probabilités

Deux personnes sont perdues dans un labyrinthe composé de cinq pièces disposées comme indiqué sur le dessin de la figure 1. Chaque pièce est reliée aux deux pièces voisines par un couloir. Les couloirs sont représentés par les segments du dessin.

À l'instant

n = 0

, les deux personnes se situent dans deux pièces voisines (par exemple les pièces 1 et 2). Elles partent alors à la recherche l'une de l'autre selon les règles suivantes:

à partir d'une pièce, chacune peut aller dans l'une ou l'autre des deux pièces voisines, les deux possibilités étant de probabilité $1/2$ ;
les déplacements des deux personnes se font simultanément ;
les choix des déplacements sont indépendants les uns des autres;
on suppose que les deux personnes ne peuvent ni se retrouver ni se voir dans les couloirs qui relient entre elles les différentes pièces;

Figure 1

les deux personnes se déplacent jusqu'à se retrouver dans une même pièce ; une fois qu'elles se sont retrouvées, elles restent ensemble lors de leurs déplacements futurs.
Pour tout entier naturel $n$ on note:
$A_n$ l'événement «les deux personnes sont dans la même pièce après $n$ déplacements » et $a_n = P(A_n)$ ;
$B_n$ l'événement «les deux personnes sont dans des pièces voisines (par exemple les pièces 1 et 2 ou 1 et 5 ) après $n$ déplacements » et $b_n = P(B_n)$ ;
$C_n$ l'événement «les deux personnes sont dans des pièces non voisines (par exemple les pièces 1 et 3 ou 1 et 4) après $n$ déplacements » et $c_n = P(C_n)$ .
II. $A$ - Donner les valeurs de $a_0, b_0$ et $c_0$ .
II. $B$ - Soit $n$ un entier naturel. Déterminer la probabilité conditionnelle $P_(A_n)(A_(n + 1))$ de $A_(n + 1)$ sachant $A_n$ . Calculer de même les probabilités conditionnelles $P_(B_n)(A_(n + 1))$ et $P_(C_n)(A_(n + 1))$ .
$II.C$ - En déduire l'égalité $P(A_(n + 1)) = P(A_n) + 1/4P(C_n)$ .
II.D - Démontrer que, pour tout $n \in ℕ, a_(n + 1) = a_n + 1/4c_n, b_(n + 1) = 3/4b_n + 1/4c_n$ et $c_(n + 1) = 1/4b_n + 1/2c_n$ .
II. $E$ - On note $u_n = (a_n; b_n; c_n)$ . Déterminer une matrice $A$ telle que la relation $u_(n + 1) = Au_n$ soit vérifiée pour tout $n \in ℕ$ .
II.F - On se propose de déterminer l'expression des trois suites $(a_n)_(n \in ℕ), (b_n)_(n \in ℕ)$ et $(c_n)_(n \in ℕ)$ .
II.F.1) Montrer que la suite $(b_n)_(n \in ℕ)$ vérifie la relation de récurrence linéaire d'ordre 2

b_(n + 2) = 5/4b_(n + 1) - 5/(16)b_n

II.F.2) En déduire l'expression de

b_n

, puis celles de

c_n

et de

a_n

en fonction de

n

.
II.F.3) Les suites

(a_n)_(n \in ℕ), (b_n)_(n \in ℕ)

(c_n)_(n \in ℕ)

sont-elles convergentes ? Si oui, préciser leurs limites et en donner une interprétation.
II.

G

- Soit

X

la variable aléatoire égale au nombre de déplacements nécessaires pour que les deux personnes se retrouvent pour la première fois.
II.G.1) Quelles sont les valeurs prises par

X

?
II.G.2) Pour

n \in ℕ^⋆

, exprimer l'événement (

X = n

) en fonction de

A_n

C_(n - 1)

.
II.G.3) Donner la loi de

X

Justifier que pour

x \in ] - 1, 1[, \sum_(n = 1)^(+ \infty)nx^n = x/((1 - x)^2)

.
Calculer l'espérance de

X

.
Comment peut-on l'interpréter dans le cadre du problème du labyrinthe.

III Rayon spectral

III.A - Quelques résultats intermédiaires

Dans cette sous-partie, on fixe un nombre réel

μ ⩾ 0

et deux matrices

A \in M_3(ℝ)

P \in GL_3(ℝ)

vérifiant pour tout

w \in M_(3, 1)(ℝ), ‖P^(- 1)APw‖ ⩽ μ‖w‖

.
III.A.1) Démontrer l'inégalité

‖P^(- 1)A^(n + 1)Pw‖ ⩽ μ‖P^(- 1)A^n Pw‖

, pour tout entier

n ⩾ 1

et toute matrice

w \in M_(3, 1)(ℝ)

. En déduire que

‖P^(- 1)A^n Pw‖ ⩽ μ^n‖w‖

III.A.2)

a) Justifier brièvement l'inégalité

\forall(x; y; z) \in M_(3, 1)(ℝ) ‖P(x; y; z)‖ ⩽ |x|‖P(1; 0; 0)‖ + |y|‖P(0; 1; 0)‖ + |z|‖P(0; 0; 1)‖

b) Pour

P = (p_(11), p_(12), p_(13); p_(21), p_(22), p_(23); p_(31), p_(32), p_(33))

, on pose

C(P) = \sqrt(p_(11)^2 + p_(21)^2 + p_(31)^2 + p_(12)^2 + p_(22)^2 + p_(32)^2 + p_(13)^2 + p_(23)^2 + p_(33)^2)

En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz à des vecteurs bien choisis, démontrer l'inégalité

\forallw \in M_(3, 1)(ℝ) ‖Pw‖ ⩽ C(P)‖w‖

III.A.3) Déduire de ce qui précède l'inégalité

‖A^n Pw‖ ⩽ C(P)μ^n‖w‖

, valable pour tout

n \in ℕ

et tout

w \in M_(3, 1)(ℝ)

On considère à présent un vecteur

u \in M_(3, 1)(ℝ)

et la suite définie par la condition initiale

u_0 = u

et la relation de récurrence

u_(n + 1) = Au_n

, valable pour tout

n \in ℕ

.
III.A.4) En introduisant

w = P^(- 1)u

, démontrer l'inégalité

‖u_n‖ ⩽ C(P^(- 1))C(P)μ^n‖u‖

, valable pour tout

n \in ℕ

.
III.A.5)
a) Dans le cas où

0 ⩽ μ ⩽ 1

, montrer que la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

est bornée.
b) Dans le cas où

0 ⩽ μ < 1

, montrer que la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

converge vers

(0; 0; 0)

III.B - Cas d'une matrice diagonalisable

On considère une matrice

A \in M_3(ℝ)

et une matrice diagonale

D = (d_1, 0, 0; 0, d_2, 0; 0, 0, d_3) \in M_3(ℝ)

.
III.B.1) Justifier l'égalité

ρ(A) = ρ(P^(- 1)AP)

, valable pour toute matrice

P \in GL_3(ℝ)

.
III.B.2) Préciser le rayon spectral

ρ(D)

de la matrice

D

.
III.B.3) Pour tout

w \in M_(3, 1)(ℝ)

, démontrer l'inégalité

‖Dw‖ ⩽ ρ(D)‖w‖

On suppose dans la suite de cette sous-partie que que

A

est diagonalisable sur

ℝ

et on considère un vecteur

u \in M_(3, 1)(ℝ)

. Comme précédemment, on définit la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

par la condition initiale

u_0 = u

et la relation de récurrence

u_(n + 1) = Au_n

, valable pour tout

n \in ℕ

.
III.B.4) Expliquer pourquoi il existe une matrice

P \in GL_3(ℝ)

telle que l'on a l'inégalité

‖P^(- 1)APw‖ ⩽ ρ(A)‖w‖

pour tout

w \in M_(3, 1)(ℝ)

.
III.B.5) En déduire que si

ρ(A) ⩽ 1

alors la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

est bornée.
III.B.6) Le résultat de la question précédente est-il cohérent avec la question II.F. 3 ? Justifier la réponse.
III.B.7) Que dire de la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

ρ(A) < 1

III.C - Optimalité de l'hypothèse $ρ(A) < 1$ dans le cas général

III.C.1) On définit la matrice

A = (1, 0, 1; 0, 1, 0; 0, 0, 1)

. Que vaut

ρ(A)

A

est-elle diagonalisable sur

ℂ

?
III.C.2) Donner l'expression de

A^ℓ

, valable pour tout

ℓ \in ℕ^⋆

.
III.C.3) Comme précédemment, pour

u \in M_(3, 1)(ℝ)

, on considère la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

définie par la condition initiale

u_0 = u

et la relation de récurrence

u_(n + 1) = Au_n

.
Démontrer qu'il existe

u \in M_(3, 1)(ℝ)

tel que la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

ne soit pas bornée dans

M_(3, 1)(ℝ)

.
III.D - Cas d'une matrice

A \in T_3(ℝ)

avec

ρ(A) < 1

Dans toute cette sous-partie,

A

désigne une matrice de

T_3(ℝ)

qui vérifie l'hypothèse

ρ(A) < 1

III.D.1)

a) Expliquer pourquoi il existe une matrice triangulaire supérieure

T = (t_(11), t_(12), t_(13); 0, t_(22), t_(23); 0, 0, t_(33)) \in M_3(ℝ)

et une matrice

Q \in GL_3(ℝ)

telles que

Q^(- 1)AQ = T

.
b) Exprimer le rayon spectral

ρ(A)

en fonction des coefficients de la matrice

T

III.D.2)

a) En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer l'inégalité

(ay + bz)^2 ⩽ (a^2 + b^2)(y^2 + z^2)

, valable pour tout vecteur

(a, b, y, z) \in ℝ^4

.
b) En déduire, pour tous vecteurs

(a, b, c) \in ℝ^3

(y, z) \in ℝ^2

, l'inégalité

(ay + bz)^2 + c^2 z^2 ⩽ (a^2 + b^2 + c^2)(y^2 + z^2)

III.D.3)

a) En notant

D = (t_(11), 0, 0; 0, t_(22), 0; 0, 0, t_(33))

, justifier l'inégalité

‖Tw‖ ⩽ ‖Dw‖ + ‖(T - D)w‖

, valable pour tout

w \in M_(3, 1)(ℝ)

.
b) Démontrer l'inégalité

‖Tw‖ ⩽ (ρ(A) + \sqrt(t_(12)^2 + t_(13)^2 + t_(23)^2))‖w‖

III.D.4)

a) Soit

δ

un réel strictement positif. Justifier que la matrice

Δ_δ = (1, 0, 0; 0, δ, 0; 0, 0, δ^2)

est inversible et calculer la matrice

Δ_δ^(- 1)TΔ_δ

.
b) Démontrer l'inégalité

‖Δ_δ^(- 1)TΔ_δ w‖ ⩽ (ρ(A) + \sqrt(δ^2 t_(12)^2 + δ^4 t_(13)^2 + δ^2 t_(23)^2))‖w‖

.
III.D.5) Comme précédemment, pour tout vecteur

u \in M_(3, 1)(ℝ)

, on définit la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

par la condition initiale

u_0 = u

et la relation de récurrence

u_(n + 1) = Au_n

pour tout

n \in ℕ

.
En exploitant l'hypothèse

ρ(A) < 1

et la question III.A.5b, démontrer que

lim_(n \to + \infty)u_n = (0; 0; 0)

.
On pourra poser

P = QΔ_δ

pour un

δ

bien choisi.

IV Méthode de Jacobi

On s'intéresse dans cette partie à l'équation

MX = B

, avec les notations suivantes :

$X \in M_(3, 1)(ℝ)$ est un vecteur inconnu;
$M = (m_(ij))_((i, j))$ est une matrice de $T_3(ℝ) \cap GL_3(ℝ)$ dont aucun élément diagonal n'est nul ;
$B = (α; β; γ)$ est un élément de $M_(3, 1)(ℝ)$ .

La méthode de Jacobi consiste à calculer une solution approchée de la solution exacte de l'équation

MX = B

. On admettra le résultat suivant, plus fort que celui obtenu dans la partie précédente : si

A

est une matrice de

M_3(ℝ)

vérifiant

ρ(A) < 1

, alors pour tout

u \in M_(3, 1)(ℝ)

, la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

définie par la condition initiale

u_0 = u

et la relation de récurrence

u_(n + 1) = Au_n

converge vers

(0; 0; 0)

.
Partant d'un vecteur

X_0 = (x_0; y_0; z_0)

, on pose

X_n = (x_n; y_n; z_n)

avec, pour tout

n \in ℕ

{x_(n + 1) = 1/(m_(11))(− m_(12)y_n − m_(13)z_n + α); y_(n + 1) = 1/(m_(22))(− m_(21)x_n − m_(23)z_n + β); z_(n + 1) = 1/(m_(33))(− m_(31)x_n − m_(32)y_n + γ)

IV.

A

- Prouver qu'il existe une matrice

D

diagonale et inversible telle que

X_(n + 1) = (I - D^(- 1)M)X_n + D^(- 1)B

.
IV.B - Justifier l'existence et l'unicité de

X~ \in M_(3, 1)(ℝ)

, solution exacte de l'équation

MX = B

.
IV.

C

- Démontrer que

X_(n + 1) - X~ = (I - D^(- 1)M)(X_n - X~)

.
IV.D - En déduire que si

ρ(I - D^(- 1)M) < 1

la suite

(X_n)_(n \in ℕ)

converge vers

X~

.
IV.E - Pour chacun des deux exemples ci-dessous, calculer

X~

ρ(I - D^(- 1)M)

M = (1, 0, 0; 0, 10, 1; 0, 2, 10), B = (1; 11; 12)

X_0 = (1; 0; 0)

M = (1, 0, 0; 0, 1, 10; 0, 10, 2), B = (1; 11; 12)

X_0 = (1; 0; 0)

.
IV.F - Pour chacun des deux exemples, calculer

X_1, X_2, X_3, X_4

et commenter les résultats obtenus.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 de Centrale TSI 2016 ?

La réduction des matrices et leur rayon spectral, avec une application aux probabilités discrètes puis à la méthode itérative de Jacobi pour résoudre un système linéaire.

Les quatre parties de ce sujet de maths 2 Centrale TSI 2016 sont-elles indépendantes ?

L'énoncé les présente comme largement indépendantes, même si la partie IV réutilise le résultat général établi en partie III.

Le sujet maths 2 Centrale TSI 2016 utilise-t-il les probabilités ?

Oui, la partie II modélise par une chaîne de Markov la rencontre de deux personnes dans un labyrinthe à cinq pièces.

Quel est le fil conducteur du sujet de mathématiques 2, Centrale TSI 2016 ?

Comprendre à quelle condition, portant sur le rayon spectral d'une matrice, une suite définie par récurrence matricielle reste bornée ou converge.

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Objectif du problème

I Généralités

I.A - Cas des matrices orthogonales

I.B - Étude d'un exemple

II Un exemple issu des probabilités

III Rayon spectral

III.A - Quelques résultats intermédiaires

III.A.2)

III.B - Cas d'une matrice diagonalisable

III.C - Optimalité de l'hypothèse ρ(A) < 1 dans le cas général

III.D.1)

III.D.2)

III.D.3)

III.D.4)

IV Méthode de Jacobi

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 de Centrale TSI 2016 ?

Les quatre parties de ce sujet de maths 2 Centrale TSI 2016 sont-elles indépendantes ?

Le sujet maths 2 Centrale TSI 2016 utilise-t-il les probabilités ?

Quel est le fil conducteur du sujet de mathématiques 2, Centrale TSI 2016 ?

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III.C - Optimalité de l'hypothèse $ρ(A) < 1$ dans le cas général