Centrale Mathématiques 2 TSI 2017Sujet et corrigé

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Présentation du sujet

Structure algébrique des torseurs et développement en produit infini du sinus

Le sujet comporte deux parties indépendantes. La première construit la théorie mathématique des torseurs, outils utilisés en mécanique du solide, en étudiant la structure d'espace vectoriel qu'ils forment et la propriété d'équiprojectivité qui les caractérise. La seconde introduit la notion de produit infini, puis établit le développement de sin(πx) en produit infini à l'aide des séries de Fourier, avec des applications au calcul de ζ(2).

1I.A L'espace T des torseursDémonstration que l'ensemble des torseurs est un espace vectoriel, décomposé en somme directe des couples et des glisseurs en un point donné.
2I.B ÉquiprojectivitéDémonstration que la propriété d'équiprojectivité caractérise les torseurs, via l'étude des applications linéaires antisymétriques associées au produit vectoriel.
3II.A Définitions et premières propriétés des produits infinisDéfinition de la convergence d'un produit infini, étude d'exemples télescopiques et conditions nécessaires ou suffisantes de convergence, notamment via les séries logarithmiques.
4II.B Développement en produit infini de sin(πx)/(πx)Démonstration du développement de sin(πx) en produit infini à partir de la série de Fourier de cos(xt), avec deux applications numériques dont le calcul conjectural de ζ(2).

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Ce sujet comporte deux parties indépendantes.

I Étude des torseurs

Les torseurs sont des outils mathématiques utilisés en mécanique du solide indéformable.
On considère un solide indéformable

Σ

. Si

A

est un point de ce solide et si

V⃗(A)_R

désigne la vitesse du point

A \in Σ

dans le référentiel galiléen

R

, il est bien connu que, pour tous points

A

B

Σ

, on a

V⃗(B)_R = V⃗(A)_R + Ω⃗_(Σ/R) \land AB^(\to-)

où

Ω⃗_(Σ/R)

est un vecteur (un pseudo-vecteur en réalité) appelé vecteur instantané de rotation du solide

Σ

par rapport au référentiel

R

.
L'application

A \mapsto V⃗(A)_R

est appelé torseur cinématique.
Cette partie se propose de dégager la théorie liée aux torseurs.

Notations

$E$ désigne l'ensemble des points de l'espace géométrique orienté usuel de dimension 3 et on considère $O$ un point fixé de $E$ .
On note $E\to$ l'ensemble des vecteurs de $E$ et on considère $B = (e⃗_1, e⃗_2, e⃗_3)$ une base orthonormée directe de $E\to$ .
Le produit scalaire de deux vecteurs $u⃗$ et $v⃗$ de $E\to$ est noté $u⃗ \cdot v⃗$ .
Le produit vectoriel de deux vecteurs $u⃗$ et $v⃗$ de $E\to$ est noté $u⃗ \land v⃗$ .

On appelle torseur toute application

M : E \to E\to

pour laquelle il existe un vecteur

r⃗

tel que que la relation

M(B) = M(A) + r⃗ \land AB^(\to-)

est vérifiée pour tous points

A

B

E

I.A - L'espace $T$ des torseurs

I.A.1) Soit

r⃗

un vecteur de

E\to

. Montrer que l'application

M : A \mapsto r⃗ \land OA^(\to-)

est un torseur.
I.A.2) Montrer que l'ensemble

T

des torseurs est un sous-espace vectoriel du

ℝ

-espace vectoriel

F(E, E\to)

des applications de

E

dans

E\to

I.A.3)

a) Soient

u⃗

v⃗

deux vecteurs de l'espace. Rappeler, sans démonstration, une condition géométrique nécessaire et suffisante pour que

u⃗ \land v⃗ = 0\to

.
b) Soit

M

un torseur. Montrer que le vecteur

r⃗

de la définition est unique.

Il s'appelle la résultante du torseur

M

. On admet que l'application

{T \to E\to; M \mapsto r⃗

est linéaire.
I.A.4) Vérifier qu'une application constante de

E

dans

E\to

est un torseur et en donner la résultante. Un tel torseur s'appelle un couple. Montrer que l'ensemble

C

des couples est un sous-espace vectoriel de

T

et que l'application

{C \to E\to; M \mapsto M(O)

est un isomorphisme.
En déduire la dimension de

C

.
I.A.5) On appelle glisseur tout torseur qui s'annule en au moins un point de

E

.
a) Soit

O_1

un point de

E

distinct de

O

r⃗

un vecteur non nul et non colinéaire à

OO_1^(\to-)

. On note

g_0 : A \mapsto r⃗ \land OA^(\to-)

g_1 : A \mapsto r⃗ \land O_1 A^(\to-)

.
Montrer que

g_0

g_1

sont des glisseurs, mais que

g_0 - g_1

n'en est pas un. Expliquer pourquoi l'ensemble

G

des glisseurs n'est pas un sous-espace vectoriel de

T

.
b) Montrer que l'ensemble

G_O

des glisseurs s'annulant en

O

est un sous-espace vectoriel de

T

et que l'application

{G_O → E→; M ↦ r⃗

, où

r⃗

est la résultante de

M

, est un isomorphisme.
En déduire la dimension de

G_O

.
c) Démontrer que

T = C \oplus G_O

. Quelle est la dimension de

T

I.B - Équiprojectivité

I.B.1) Démontrer que, si

M

est un torseur alors

M

vérifie la propriété suivante:

\forallA, B \in E, M(A) \cdot AB^(\to-) = M(B) \cdot AB^(\to-)

Cette propriété est connue sous le nom de propriété d'équiprojectivité.
On se propose d'étudier la réciproque.

I.B.2) Question préparatoire

a) Rappeler la définition d'une matrice antisymétrique.
b) L'espace est muni du repère orthonormé direct (

O, e⃗_1, e⃗_2, e⃗_3

) et on identifie tout vecteur avec la matrice colonne

3 \times 1

contenant ses coordonnées dans la base

B

.
Montrer qu'il existe un unique vecteur

r⃗

, dont on donnera les coordonnées dans la base

B

, tel que

\forallu⃗ = (x; y; z) \in E\to, (0, 1, 2; - 1, 0, 3; - 2, - 3, 0)(x; y; z) = r⃗ \land u⃗

I.B.3) Soit

f : E\to \to E\to

une application telle que pour tous vecteurs

u⃗

v⃗, f(u⃗) \cdot v⃗ = - u⃗ \cdot f(v⃗)

.
a) Montrer que

f

est linéaire.

Pour

λ

μ

deux nombres réels, on pourra considérer le vecteur

w⃗ = f(λu⃗ + μv⃗) - λf(u⃗) - μf(v⃗)

et montrer qu'il est orthogonal à tout vecteur de

E

.
b) Montrer que la matrice de

f

dans la base

B

est une matrice antisymétrique.
c) Démontrer qu'il existe un unique vecteur

r⃗ \in E\to

tel que pour tout

u⃗ \in E\to, f(u⃗) = r⃗ \land u⃗

.
I.B.4) Soit

M : E \to E\to

une application vérifiant la propriété d'équiprojectivité. Montrer alors que

M

est un torseur.

On pourra considérer l'application

f : E\to \to E\to

définie pour tout vecteur

u⃗ \in M^(\to-)

par

f(u⃗) = M(O^') - M(O)

où

O^'

désigne le translaté du point

O

par le vecteur

u⃗

c'est-à-dire

OO^'^(\to-) = u⃗

II Produits infinis

II.A - Définitions et premières propriétés

Soient

n_0 \in ℕ

(u_n)_(n ⩾ n_0)

une suite de nombres réels ou complexes. Pour

N ⩾ n_0

, on pose

P_N = u_(n_0)u_(n_0 + 1)\dotsu_N = \prod_(n = n_0)^N u_n

La suite

(P_N)_(N ⩾ n_0)

est appelée suite des produits partiels associée à

(u_n)_(n ⩾ n_0)

.
On dit que le produit infini

\prod_(n ⩾ n_0)u_n

converge si la suite

(P_N)_(N ⩾ n_0)

admet une limite finie non nulle. Cette limite est notée

\prod_(n = n_0)^(+ \infty)u_n

et est appelée valeur du produit infini. Si

(P_N)_(N ⩾ n_0)

est divergente ou de limite nulle, on dit que le produit infini

\prod_(n ⩾ n_0)u_n

diverge.

II.A.1) Produits téléscopiques

a) Montrer que

\prod_(n = 2)^N(1 - 1/n) = 1/N

En déduire la divergence du produit infini

\prod_(n ⩾ 2)(1 - 1/n)

.
b) Justifier que

\prod_(n = 2)^N(1 - 1/(n^2)) = (\prod_(n = 2)^N(n - 1)/n)(\prod_(n = 2)^N(n + 1)/n)

En déduire la convergence et la valeur du produit infini

\prod_(n ⩾ 2)(1 - 1/(n^2))

II.A.2) Conditions nécessaires de convergence

a) Montrer que si

\prod_(n ⩾ n_0)u_n

converge alors pour tout

n ⩾ n_0, u_n \neq 0

.
b) Montrer, en considérant le quotient

(P_(N + 1))/(P_N)

que si

\prod_(n ⩾ n_0)u_n

converge alors

lim_(n \to + \infty)u_n = 1

.
c) La condition

lim_(n \to + \infty)u_n = 1

est-elle suffisante pour que le produit infini

\prod_(n ⩾ n_0)u_n

converge ?
II.A.3) On suppose dans cette question que

(u_n)_(n ⩾ n_0)

est une suite de réels strictement positifs.
a) Montrer que le produit infini

\prod_(n ⩾ n_0)u_n

converge si et seulement si la série

\sum_(n ⩾ n_0)ln(u_n)

converge. Préciser alors la relation entre

\prod_(n = n_0)^(+ \infty)u_n

\sum_(n = n_0)^(+ \infty)ln(u_n)

.
b) Montrer que si, pour tout

n ⩾ n_0, 0 < u_n < 1

alors le produit infini

\prod_(n ⩾ n_0)(1 - u_n)

converge si et seulement si la série

\sum_(n ⩾ n_0)u_n

converge.
c) Soit

q

un nombre réel appartenant à [ 0,1 [ quelle est la nature du produit infini

\prod_(n ⩾ 1)(1 - q^n)

?
II.B - Développement en produit infini de

(sin(πx))/(πx)

On se propose dans cette sous-partie de démontrer que

\forallx \in ] - 1, 1[, sin(πx) = πx\prod_(n = 1)^(+ \infty)(1 - (x^2)/(n^2))

II.B.1) Expliquer pourquoi il suffit de démontrer cette égalité pour tout

x \in ]0, 1[

Dans toute la suite de cette sous-partie II.B,

x

est un réel fixé appartenant à l'intervalle

]0, 1[

.
II.B.2) Prouver la convergence du produit infini

\prod_(n ⩾ 1)(1 - (x^2)/(n^2))

II.B.3)

a) Montrer que pour tout

(a, b) \in ℝ^2, cosacosb = 1/2(cos(a + b) + cos(a - b))

.
b) On définit la fonction

f

2π

-périodique, par

\forallt \in ] - π, π]

f(t) = cos(xt)

Représenter graphiquement la fonction

f

dans le cas particulier où

x = 1/2

.
Dans le cas général où

x \in ] - 1, 1[

, démontrer que

f

est continue sur

ℝ

C^1

par morceaux.
Calculer les coefficients de Fourier de

f

.
c) En déduire, pour tout

t \in [ - π, π]

, l'égalité

cos(xt) = (sin(πx))/π(1/x + \sum_(n = 1)^(+ \infty)((- 1)^n 2x)/(x^2 - n^2)cos(nt))

d) Pour tout

t \in ℝ

tel que

sint \neq 0

on pose

cott = (cost)/(sint)

. Montrer que,

πcot(πx) = 1/x + \sum_(n = 1)^(+ \infty)(2x)/(x^2 - n^2)

II.B.4)

a) À l'aide d'un développement limité en 0 de

ucosu - sinu

, calculer

lim_(t \to 0)(πcot(πt) - 1/t)

. En déduire la convergence de l'intégrale

I = \int_0^x(πcot(πt) - 1/t)dt

.
b) Prouver l'existence et calculer la limite de

ln((sin(πε))/(πε))

quand

ε

tend vers 0 .
c) En déduire que

I = ln((sin(πx))/(πx))

.
d) Expliquer pourquoi la quantité

\sum_(n = N + 1)^(+ \infty)(2t)/(n^2 - t^2)

est définie pour tout

N \in ℕ^*

et tout

t \in [0, 1]

.
e) Justifier que

lim_(N \to + \infty)\sum_(n = N + 1)^(+ \infty)2/(n^2 - 1) = 0

.
f) Montrer que

\forallt \in [0, 1[, \forallN \in ℕ^*, 0 ⩽ \sum_(n = N + 1)^(+ \infty)(2t)/(n^2 - t^2) ⩽ \sum_(n = N + 1)^(+ \infty)2/(n^2 - 1)

g) Montrer que, pour tout

N \in ℕ^*

|ln((sin(πx))/(πx)) - \sum_(n = 1)^N\int_0^x(2t)/(t^2 - n^2) dt| ⩽ x\sum_(n = N + 1)^(+ \infty)2/(n^2 - 1)

h) En déduire le développement en produit infini de

sin(πx)

II.B.5) Deux applications

a)
i. Justifier la convergence du produit infini

\prod_(n ⩾ 1)(1 - 1/(4n^2))

.
ii. À l'aide du développement en produit infini de

(sin(πx))/(πx)

appliqué à un réel

x

bien choisi, donner la valeur du produit infini

\prod_(n ⩾ 1)(1 - 1/(4n^2))

.
b) On introduit la fonction

ζ

de Riemann donnée par

ζ(a) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^a)

.
i. Prouver que

ζ

est définie sur

]1, + \infty[

.
ii. Écrire le développement limité à l'ordre 3 en 0 de la fonction

x \mapsto sin(πx)

.
iii. On trouve dans les travaux d'Euler un «calcul formel» permettant d'obtenir la valeur de

ζ(2)

. Il identifie les termes de degré 3 du développement limité de

x \mapsto sin(πx)

et de son développement en produit infini. Conjecturer la valeur de

ζ(2)

en utilisant cette méthode.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale TSI 2017 ?

Il porte sur les espaces vectoriels et les applications linéaires en lien avec le produit vectoriel pour la partie torseurs, et sur les séries numériques, les produits infinis et les séries de Fourier pour la seconde partie.

Les deux parties du sujet Centrale maths 2 TSI 2017 sont-elles indépendantes ?

Oui, l'énoncé précise explicitement que le sujet comporte deux parties indépendantes : l'étude des torseurs d'une part, les produits infinis d'autre part.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser les espaces vectoriels et les applications linéaires, le produit vectoriel, la convergence des séries numériques, ainsi que le calcul des coefficients de Fourier d'une fonction périodique.

Ce sujet fait-il le lien entre les torseurs de mécanique et l'algèbre linéaire ?

Oui, la première partie reformule entièrement la notion physique de torseur comme un objet mathématique abstrait, étudié avec les outils de l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, sommes directes, isomorphismes).

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II Produits infinis

II.A - Définitions et premières propriétés

II.A.1) Produits téléscopiques

II.A.2) Conditions nécessaires de convergence

II.B.3)

II.B.4)

II.B.5) Deux applications

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale TSI 2017 ?

Les deux parties du sujet Centrale maths 2 TSI 2017 sont-elles indépendantes ?

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Ce sujet fait-il le lien entre les torseurs de mécanique et l'algèbre linéaire ?

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