Centrale Physique Chimie 2 TSI 2017Sujet et corrigé

Le traitement antireflet d'un verre de lunette permet d'améliorer la netteté, le contraste, la vision des couleurs et présente également de nombreux autres avantages, y compris esthétiques. La partie I consiste en une étude descriptive du phénomène ; la partie II proposant quant à elle une étude plus théorique.
La modulation d'amplitude permet la transmission de signaux de faibles fréquences par ondes électromagnétiques. Pour ce faire un signal modulé est transformé en onde électromagnétique au moyen d'une antenne émettrice. L'onde électromagnétique est ensuite captée par une antenne réceptrice, laquelle restitue le signal électrique modulé. La démodulation consiste ensuite à extraire le signal d'origine du signal modulé par un dispositif ad hoc. La partie III traite du principe de fonctionnement d'une diode à l'échelle microscopique (souspartie III.A), puis de l'emploi de celle-ci dans un montage de démodulation d'amplitude (sous-partie III.B).
Le silicium est un élément utilisé comme semi-conducteur dans de nombreux composants électroniques (diodes, transistor, ALI, etc.) mais il est également employé comme réducteur en chimie, intervenant notamment dans l'obtention du magnésium. Dans la partie IV nous nous intéressons à un procédé d'obtention de magnésium à partir du carbonate de magnésium avant d'en étudier quelques propriétés.
Dans tout le problème, c désigne la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide et j le nombre imaginaire pur tel que j^2 = − 1. L'indice de l'air sera pris à un et λ désigne la longueur d'onde, dans l'air, d'une radiation monochromatique.
Un formulaire et différentes données numériques sont fournis en fin d'énoncé.

Considérons un rayon incident arrivant sur une lame de verre d'indice n = 1, 5 baignée dans l'air. Le tableau figure 1 indique les pourcentages des intensités des rayons considérés par rapport au rayon incident, noté 0. D'autres rayons existent mais n'ont pas été représentés.

Figure 1

À l'aide de la figure 1, indiquer quelle est l'intensité lumineuse réfléchie sur le verre de lunette et comparer celle-ci à l'intensité transmise.
I.B - Un traitement antireflet monocouche consiste à recouvrir la surface du dioptre par une couche d'un matériau sur une épaisseur e comme indiqué sur le schéma de principe figure 2. La lumière incidente est supposée monochromatique de longueur d'onde dans l'air λ.

Le principe du traitement est d'utiliser un système interférentiel. L'épaisseur choisie pour la couche est e = λ/(4N).
I.B.1) Préciser pourquoi les différentes ondes réfléchies peuvent interférer entre elles.
I.B.2) En considérant un éclairage sous incidence normale ( i = 0^∘ ) et en traduisant la condition d'interférence destructive entre les ondes 1 et 2 , justifier l'expression de e. Quelles autres valeurs pourraient éventuellement être choisies ?
I.B.3) Quelle longueur d'onde va-t-on choisir pour calculer e ?
I.B.4) Citez un autre paramètre ayant une influence sur l'épaisseur choisie à N et λ fixés ?

Les courbes de ZEISS fournissent en fonction de la longueur d'onde de la radiation incidente les pourcentages des intensités lumineuses réfléchies.
La figure 3 fournit les courbes de ZEISS pour un verre minéral avec et sans traitement monocouche.

I.C.1) Que remarque-t-on dans le cas non traité ?
I.C.2) Que peut-on dire de la radiation 625 nm ?
I.C.3) Proposer une explication pour le fait qu'il y a deux minimas sur la courbe. La tester quantitativement et conclure.

Dans cette partie nous allons nous intéresser à des milieux isolants non chargés, transparents et non absorbants. On admet que les propriétés de ces milieux sont semblables à celles du vide en remplaçant la permittivité ε_0 parε_0 ε_r, ε_r désignant la permittivité relative du milieu.
II.A - Propagation d'une onde électromagnétique dans un matériau isolant non chargé
II.A.1) Écrire les équations de Maxwell dans le milieu considéré en précisant leur nom.
II.A.2) Établir l'équation de propagation du vecteur champ électrique dans le milieu.
II.A.3) Exprimer la célérité de propagation de l'onde électromagnétique dans le milieu et montrer que son indice est alors n = √(ε_r).
II.A.4) On considère une onde plane progressive monochromatique se propageant vers les x croissants de la forme

a) L'onde plane progressive est-elle polarisée rectilignement ? Si oui, dans quelle direction ?
b) Déterminer l'expression du vecteur d'onde k⃗. On montrera en particulier que k = nω/c.
c) Déterminer l'expression du vecteur champ magnétique associé.
II.B - Coefficients de transmission et réflexion en énergie à l'interface entre deux milieux On s'intéresse à l'interface suivante entre deux milieux d'indices n_1 et n_2, séparés par le plan x = 0.

On considère une onde électromagnétique incidente, le vecteur champ électrique étant E⃗_(incident) = E⃗_1 = E_0 cos(ωt − k_1 x)u⃗_y. On note E⃗_(réfléchi) = E⃗_2 = ρE_0 cos(ωt + k_2 x)u⃗_y le champ électrique réfléchi et E⃗_(transmis) = E⃗_3 = τE_0 cos(ωt − k_3 x)u⃗_y où ρ et τ désignent respectivement les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude.
II.B.1) Justifier les formes des champs réfléchi et transmis fournis.
II.B.2) Quelle relation existe entre k_1 et k_2 ainsi qu'entre k_2 et k_3 ? Justifier.
II.B.3) Déterminer les expressions des champs magnétiques associés B⃗_(incident), B⃗_(réfléchi) et B⃗_(transmis), notés respectivement B⃗_1, B⃗_2 et B⃗_3.
II.B.4) Les champs électriques et magnétiques doivent vérifier des relations dites de passage à l'interface entre les deux milieux. Compte tenu des propriétés des deux milieux, on admet que les champs électrique et magnétique sont continus à l'interface.
Traduire ces deux relations et en déduire que ρ = (n_1 − n_2)/(n_1 + n_2) et τ = (2n_1)/(n_1 + n_2).
II.B.5) Déterminer les expressions des vecteurs de Poynting pour les ondes incidente, réfléchie et transmise.
II.B.6) À l'aide d'un bilan énergétique clairement défini, déterminer les expressions des coefficients de réflexion et transmission en énergie à l'interface, notés respectivement R et T. L'énergie est-elle conservée ? Justifier.

Un rayon incident arrive sous incidence normale sur une couche antireflet d'épaisseur e et d'indice N; celle-ci recouvrant un matériau d'indice n.
Compte tenu des différentes interfaces, plusieurs rayons vont être réfléchis et transmis comme indiqué figure 5. On supposera 1 < N < n.

On note respectivement ρ_(n_1 → n_2) et τ_(n_1 → n_2) les coefficients de réflexion et transmission en amplitude pour une interface de type n_1 → n_2, n_1 étant l'indice du milieu associé à l'onde incidente.
II.C.1) Donner les expressions des coefficients ρ_(1 → N), ρ_(N → n), τ_(1 → N) et τ_(N → 1).
II.C.2) Soit E_–_0 l'amplitude complexe du champ électrique associée à l'onde incidente.

L'amplitude complexe de la première onde réfléchie s'écrit alors ρ_(1 → N)E_–_0.
a) Justifier que l'amplitude complexe de la seconde onde réfléchie est E_–_0 τ_(1 → N)ρ_(N → n)τ_(N → 1)e^(jφ) = a_– avec φ = (4πNe)/λ où λ et la longueur d'onde dans le vide.
b) Exprimer alors les amplitudes complexes des ondes réfléchies suivantes en fonction de a_–, φ et des différents coefficients de réflexion et transmission.
c) En remarquant que τ_(1 → N)τ_(N → 1) = 1 − ρ_(1 → N)^2, montrer que l'amplitude complexe résultante pour les ondes réfléchies est : A_– = E_–_0(ρ_(1 → N) + ρ_(N → n)e^(jφ))/(1 + ρ_(1 → N)ρ_(N → n)e^(jφ))
d) Quelles sont les valeurs possibles de φ permettant des interférences destructives ?
e) Montrer que l'intensité réfléchie peut s'annuler pour une valeur particulière de N. Commenter.

Une diode au silicium est en fait constituée d'une jonction de deux semi-conducteurs dopés, l'un de type « P » et l'autre de type « N ».
Dans ces deux zones, on ajoute, en quantité limitée, des impuretés dans le silicium de telle façon que la zone « N » contient une majorité d'électrons et une minorité de trous «+» (d'où sa charge négative) alors que la zone « P » contient une majorité de trous « + » et une minorité d'électrons (d'où sa charge positive) comme illustré figure 6 où seuls les porteurs majoritaires ont été représentés.

La proximité de ces deux zones va entrainer une migration des trous vers la zone « N » ainsi que des électrons vers la zone « P ».
Lorsqu'un électron migre vers la zone « P », il va se recombiner avec un trou et cela entraine l'apparition d'un trou dans la zone « N »; un raisonnement analogue peut être tenu en ce qui concerne la migration d'un trou « P » vers la zone « N ».
Tout ceci entraine une zone appelée zone de charge d'espace, notée ZCE, dans laquelle la zone « N » se trouve localement chargée positivement et la zone « P » chargée négativement comme illustré figure 7.

III.A.1) Préciser pourquoi la ZCE est nécessairement limitée dans l'espace.
III.A.2) On se propose d'étudier le vecteur champ électrostatique dans la ZCE.

La zone de charge d'espace est modélisée par deux distributions uniformes, l'une de densité volumique ρ_1 > 0 entre les plans d'équations x = 0 et x = a, l'autre de densité volumique ρ_2 < 0 située entre les plans d'équations x = − b et x = 0.

a) La ZCE étant globalement neutre, déterminer la relation entre a, b, ρ_1 et ρ_2.
b) On considère le cas d'une distribution uniforme de densité volumique ρ_0 comprise entre les plans d'équations x = − d/2 et x = + d/2 où d est une largeur.
i. Démontrer soigneusement que le vecteur champ électrostatique créé par cette distribution en tout point M de l'espace est de la forme E⃗(M) = E(x)u⃗_x.
ii. À l'aide du théorème de Gauss, déterminer soigneusement l'expression de E(x) en tout point de l'espace. On montrera en particulier que E(x) = (ρ_0 x)/(ε_0) si |x| < d/2.
c) À l'aide du principe de superposition, déterminer le vecteur champ électrostatique en tout point M de la ZCE précédemment décrite. On exprimera E(x) en fonction de x, ρ_1, a et b.
d) Représenter les variations de E(x) pour x variant de − b à a.
e) À l'aide de l'étude précédente, indiquer la valeur minimale de la tension U = V_P − V_N à appliquer afin qu'un courant circule dans la diode.

On considère dans cette partie une diode supposée idéale de sorte que sa caractéristique courant-tension soit celle de figure 9. La diode a donc deux modes de fonctionnement : passant ( i > 0 et U_d = 0 ) ou bloqué ( i = 0 et U_d < 0 ).

On considère le montage figure 10 constitué d'un générateur de tension idéal délivrant une tension sinusoïdale, de la diode idéale D précédemment décrite, d'un resistor de résistance R et d'un condensateur de capacité C.

On suppose que e(t) = Ecos(ωt) et que la diode est passante à t = 0.
a) Déterminer l'expression de U(t) si la diode est passante.
b) Déterminer la forme de U(t) si la diode est bloquée.
c) Représenter sur un même graphe les allures de e(t) et U(t).

On suppose maintenant que e(t) est une tension modulée en amplitude comme indiqué figure 11, la modulation étant supposée sinusoïdale : e(t) = Ecos(2πf_p t)(1 + mcos(2πf_m t)) avec m un coefficient positif inférieur à 1 .
a) Sachant que la fréquence de e(t) est f_p = 12kHz, déterminer la fréquence de la tension modulant l'amplitude, notée f_m.
b) On souhaite récupérer la tension modulant l'amplitude, c'est-à-dire l'enveloppe supérieure du signal. Montrer que le montage précédent peut permettre cette opération.
c) Que se passe-t-il si RC est trop faible ? Trop élevé ? Représenter dans les deux cas l'allure de U(t) et e(t) sur un même graphe.
d) Montrer alors que RC doit vérifier une double condition afin que la tension modulant l'amplitude puisse être récupérée de manière la plus fidèle possible.

Le carbonate de magnésium est un minéral blanc solide de formule MgCO_3. À une certaine température, on peut observer la réaction chimique décrite par l'équation suivante:

IV.A.1) À l'aide des données en fin d'énoncé, calculer l'enthalpie standard de réaction à la température T_0 = 298 K. La réaction est-elle endothermique? Exothermique?
IV.A.2) La constante d'équilibre thermodynamique de la réaction (IV.1) à la température T_0 = 298 K vaut K^∘(T_0) = 4, 4 × 10^(− 12). En supposant Δ_r H^∘ indépendant de la température, exprimer la constante d'équilibre K^∘(T) en fonction de la température T et de R, Δ_r H^∘, T_0 et K^∘(T_0).
On rappelle la relation de Van't Hoff : (dlnK^∘(T))/(dT) = (Δ_r H^∘)/(RT^2).
IV.A.3) Montrer alors que la réaction de calcination est thermodynamiquement favorisée en se plaçant à T > T_1, T_1 étant une température que l'on calculera et pour laquelle K^∘(T_1) = 1.
IV.A.4) L'oxyde de magnésium est un cristal ionique. Il est constitué d'un réseau d'anions oxygène O^(2 −) formant une structure cubique à faces centrées, les cations magnésium Mg^(2 +) occupant le centre du cube et le milieu de chacune de ses arêtes. Dans la figure 12, les ions O^(2 −) sont représentés par des cercles (sommets et milieux des faces) et les ions Mg^(2 +) par des carrés (centre du cube et milieux des arêtes).

a) Vérifier que cette structure est bien en accord avec la formule de l'oxyde MgO .
b) Déterminer la masse volumique de MgO . La valeur du paramètre de maille a est donnée à la fin du sujet.

Une fois la calcination réalisée (étape 1), on récupère l'oxyde de magnésium MgO que l'on réduit par le silicium suivant la réaction

On se place à 1690 K ⩽ T ⩽ 1990 K.
IV.B.1) Écrire la réaction (IV.2) en complétant les états physiques des différents réactifs et produits.
IV.B.2) Exprimer la constante d'équilibre K_(IV.2)^∘ de cette réaction en fonction de T.
IV.B.3) Quelle est l'influence d'une augmentation de température sur l'équilibre (IV.2) ? Justifier.
IV.B.4) Calculer la constante de l'équilibre (IV.2) à T = 1700 K. Conclure.
IV.B.5) Définir le quotient de réaction Q_r. L'exprimer pour la réaction (IV.2) en fonction de la pression P en magnésium gazeux et de P^∘ = 1, 00 bar, la pression standard.
Montrer que la réaction (IV.2) peut donc être envisagée à T = 1700 K sous pression réduite. Ce résultat était-il prévisible?

IV.C.1) Donner la structure électronique du magnésium dans son état fondamental. Justifier. En déduire quel degré d'oxydation du magnésium est particulièrement stable. Justifier.
IV.C.2) On se place désormais à T_0 = 298 K. On donne figure 13 le diagramme potentiel- pH du magnésium pour une concentration molaire de travail en élément apporté égale à C = 1, 0 × 10^(− 2) mol ⋅ L^(− 1).
Les trois espèces considérées dans ce diagramme sont Mg_((s)), Mg(OH)_(2(s)) et Mg^(2 +)_((aq)).

a) Identifier chacune des espèces A , B et C . Justifier.
b) Déduire du diagramme potentiel pH le potentiel standard du couple Mg^(2 +)_((aq))/Mg_((s)) ainsi que le produit de solubilité de Mg(OH)_(2(s)).
c) On introduit m = 10, 0 g de chlorure de magnésium MgCl_2 dans un litre d'eau pure. Va-t-on voir apparaitre l'hydroxyde de magnésium ? Justifier.
d) On superpose au diagramme potentiel-pH du magnésium celui de l'eau (en pointillé sur le diagramme précédent).
Indiquer parmi les différentes espèces A , B et C celles thermodynamiquement stables dans l'eau.
e) Pour la (les) espèce(s) chimique(s) thermodynamiquement instable(s), écrire la (les) équation(s) associée(s) à la (les) réaction(s) chimique(s) de celle(s)-ci sur l'eau.

Table des enthalpies standard de formation a^‵T_0 = 298 K

T_(fusion)(Si) = 1683 K
T_(fusion)(SiO_2) = 2000 K
Paramètre de maille de MgO : a = 4, 21 × 10^(− 10) m
Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1)
Constante d'Avogadro: N_A = 6, 022 × 10^(23) mol^(− 1)
À T_0 = 298 K : (RT_0)/Fln(x) ≈ 0, 06log(x)