Centrale Physique Chimie 2 TSI 2016Sujet et corrigé

Le carbure de silicium, de formule SiC, a été découvert par Jöns Jacob Berzelius en 1824 lors d'une expérience pour synthétiser du diamant. Il est devenu un matériau incontournable pour la fabrication d'instruments optiques nécessitant une stabilité thermomécanique importante. Les technologies actuelles permettent de réaliser des instruments constitués uniquement de SiC, que ce soient les miroirs, la structure ou les supports de détecteurs. En particulier la face optique des miroirs peut être revêtue de SiC par dépôt chimique en phase vapeur (ou CVD pour l'anglais «chemical vapor deposition») afin de masquer toute porosité résiduelle et obtenir une surface polissable parfaite.
Par exemple, le télescope spatial infrarouge Herschel, lancé en 2009 et développé par l'agence spatiale européenne (ESA), opérationnel entre 2009 et 2013, emportait un miroir primaire de 3, 5 m de diamètre, le plus grand miroir de l'espace, constitué de 12 segments en carbure de silicium fritté, assemblés par brasage.

I.A.1) Rappeler les règles permettant de déterminer la configuration électronique à l'état fondamental d'un atome.
I.A.2) Le numéro atomique du carbone est Z_C = 6. Donner sa configuration électronique à l'état fondamental.
I.A.3) Le silicium Si est situé juste en-dessous du carbone dans le tableau périodique. Quel est son numéro atomique?
I.A.4) Que peut-on dire des propriétés chimiques respectives du carbone et du silicium ?

Le carbure de silicium présente de très nombreuses structures cristallines. Celle utilisée dans la fabrication de miroirs est la phase β ou 3C-SiC. La figure 1 représente la maille conventionnelle du β-SiC ainsi que son contenu; les atomes de silicium, en gris, occupent les positions d'une structure cubique à faces centrées ; les atomes de carbone, en noir, occupent un site tétraédrique sur deux en alternance.

Dénombrer le nombre d'atomes de carbone et de silicium contenus en propre dans la maille et conclure.

Le dépôt chimique en phase vapeur (CVD) est un procédé utilisé pour produire des matériaux solides de grande pureté et sous forme de couches minces. Dans ce procédé, un solide inerte servant de support est exposé à un ou plusieurs composés chimiques en phase gazeuse qui se décomposent à sa surface pour former le matériau désiré. Généralement, plusieurs réactions se produisent conjointement, les produits des réactions indésirables étant évacués par un flux gazeux traversant en continu la chambre réactionnelle.
De nombreux composés chimiques sont utilisés pour produire des films minces de SiC. Parmi ceux-ci, le méthyltrichlorosilane MTS CH_3 SiCl_3 est très souvent choisi. La réaction se déroule sur un solide en graphite, à une
température de l'ordre de 1000^∘C et sous pression réduite. Elle se déroule dans un courant de dihydrogène et, d'un point de vue microscopique, en deux étapes:

L'équation-bilan globale de réaction s'écrit

On donne tableau 1 les enthalpies standard de formation à T_0 = 298 K de ces trois espèces ; on se placera dans le cadre de l'approximation d'Ellingham, c'est-à-dire que l'on considèrera que ces enthalpies standards ne dépendent pas de la température. Tous les gaz sont supposés parfaits et on prendra comme valeur de constante des gaz parfaits R = 8, 314 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1).

I.C.1) Calculer l'enthalpie standard de la réaction.
I.C.2) Que peut-on dire déduire du signe de cette grandeur ? En déduire le sens de variation de la constante d'équilibre thermodynamique de la réaction avec la température T.
I.C.3) La constante d'équilibre thermodynamique de la réaction à T_0 vaut K^∘(T_0) = 2, 9 × 10^(− 20). Déterminer la valeur de la température T_1 pour laquelle K^∘(T_1) = 10. On rappelle la relation de Van't Hoff

On se placera désormais à cette température.
On considère une enceinte vide, thermostatée à la température T_1, dans laquelle on introduit une quantité n = 1, 0 mol de MTS. On définit le taux de décomposition α du MTS par le quotient de la quantité de MTS ayant réagi sur la quantité initiale de MTS introduite. La pression dans l'enceinte est fixée à p = P^∘ = 1 bar.
I.C.4) Exprimer le quotient réactionnel Q_r de la réaction en fonction des pressions partielles des espèces gazeuses présentes dans le milieu réactionnel et de la pression standard P^∘.
I.C.5) Exprimer les quantités de matière des différentes espèces présentes en fonction de n et de α.
I.C.6) Calculer la valeur de α_(éq) à l'équilibre.
I.C.7) Calculer le transfert thermique Q échangé par l'enceinte au cours de la réaction.
I.C.8) Quel est l'effet d'une variation isotherme de pression sur la valeur de α_(éq) ?

On considère maintenant une enceinte vide, de volume constant, thermostatée à la température T_2 = 1200 K, dans laquelle, à la date t = 0, on introduit une quantité n de MTS. Pour cette température, la réaction de formation de carbure de silicium peut être considérée comme totale. La figure 2 représente l'évolution de la concentration de MTS dans l'enceinte, pour différentes quantités n introduites, au cours du temps.

I.C.9) Déterminer le temps de demi-réaction t_(1/2) pour chacune de ces trois expériences. Que peut-on en déduire concernant l'ordre par rapport au MTS ?
I.C.10) On notera k la constante de vitesse de la réaction. Quelle est l'équation différentielle vérifiée par la concentration en MTS ?
I.C.11) Exprimer la concentration en MTS dans l'enceinte au cours du temps, en fonction de la concentration initiale [MTS]_0, du temps et de la constante de vitesse k.
I.C.12) Exprimer le temps de trois-quarts de réaction t_(3/4) en fonction de k.
I.C.13) Que vaut le rapport (t_(3/4))/(t_(1/2)) ? Ceci est-il vérifié dans le cas présent?
I.C.14) Une augmentation de la température de 100 K pour atteindre T_3 = 1300 K entraine une diminution du temps de demi-réaction d'un facteur 20. La constante de vitesse est fonction de la température T selon la loi d'Arrhenius

où A (de même dimension que k ) et E_a (appelé énergie d'activation et exprimée en kJ ⋅ mol^(− 1) ) sont des constantes. En déduire la valeur de l'énergie d'activation de la réaction.
I.C.15) La réaction se déroule toujours dans la pratique à une température de 1000^∘C, sous pression réduite et en présence de dihydrogène dans un réacteur ouvert.
En vous aidant de vos connaissances et des résultats du problème, justifier ces conditions opératoires en précisant en particulier pourquoi il est nécessaire de maintenir une température constante pour obtenir un film mince de haute qualité (dix lignes maximum).

On s'intéresse à quelques éléments du matériel d'un astronome amateur adepte de l'imagerie numérique et désirant photographier Jupiter lors d'une période favorable à son observation. Dans un premier temps, on modélisera simplement les éléments optiques de son instrument d'observation, puis on abordera un dispositif antibuée équipant l'objectif de la lunette, enfin on étudiera mécaniquement le système de mise au point des images.

II.A.1) Pour un observateur terrestre, Jupiter est vue sous un angle α qui varie suivant la distance Terre-Jupiter. Les orbites de la Terre et de Jupiter sont assimilées à des cercles dans un même plan, ayant pour centre le Soleil, de rayons respectifs R_T = 150 × 10^6 km et R_J = 780 × 10^6 km et décrits dans le même sens. Jupiter est modé-

lisée par une sphère de diamètre d_J = 140000 km.
a) Calculer sous quel angle maximal α_0 on voit Jupiter depuis la Terre.
b) Cette situation, la plus favorable à l'observation, porte le nom d'opposition de Jupiter. Proposer une explication pour ce nom.
II.A.2) On admet que chacune des orbites est décrite à vitesse constante (pas la même pour la Terre et Jupiter) et que les périodes de révolution (temps pour décrire une orbite) T_T et T_J vérifient la troisième loi de Kepler : T_T^2 = KR_T^3 et T_J^2 = KR_J^3 où K est une constante (la même pour les deux planètes). On donne T_T = 365, 25 jours. Calculer T_J et le temps qui s'écoule entre deux oppositions de Jupiter.
À cause des imperfections du modèle, la valeur de α_0 n'est pas exactement celle trouvée au II.A.1, mais α_0 = 50^(′′) ( 3600^(′′) = 1^∘ ). On adoptera cette valeur dans toute la suite du problème.
II.B - L'astronome amateur désire photographier la planète Jupiter vue depuis la Terre à l'opposition. Il utilise une lunette astronomique (voir figure 4 à gauche) dont l'objectif est assimilé à une lentille mince convergente L_1 de diamètre d_1 = 235 mm et de distance focale f_1^′ = 2350 mm, monté sur un tube T_1. Une caméra CCD est fixée sur un tube T_2 appelé «porte oculaire». La mise au point est faite en faisant coulisser T_2. Dans toute la suite (sauf question II.D), on se placera dans le cadre de l'optique géométrique et dans les conditions de Gauss.

Le fabricant de la caméra donne les caractéristiques techniques suivantes pour le capteur : modèle ICX618, type CCD, noir et blanc, rectangulaire de diagonale d_c = 4, 48 mm, surface S_c = 9, 63 mm^2, comptant N = 307200 pixels de forme carrée.
II.B.1) Calculer la largeur ℓ_c et la hauteur h_c du capteur, ainsi que la largeur ε_c d'un pixel.
II.B.2) Expliquer pourquoi il est très raisonnable de considérer que Jupiter est située à l'infini, ce qu'on supposera pour toute la suite.
II.B.3) À quelle distance de L_1 faut-il placer le capteur pour y obtenir une image nette de Jupiter ? Quelle est alors la largeur, exprimée en nombre de pixels, de l'image de Jupiter sur le capteur ?
II.B.4) Pour estimer la précision avec laquelle on doit faire la mise au point, on suppose que l'ensemble ( T_2-capteur) se trouve à une distance ε_0 de la position assurant une image parfaitement nette.
En raisonnant sur les rayons issus du point de Jupiter situé sur l'axe optique de L_1, expliquer physiquement (faire un schéma) que l'image de ce point sur le capteur n'est plus ponctuelle et forme une tache de largeur ε_t. On distinguera les deux sens possibles de décalage du porte oculaire.
II.B.5) À quelle condition sur ε_t et ε_c cette non ponctualité ne se remarquera pas sur le capteur utilisé ? En déduire la valeur maximale autorisée pour ε_0 sans qu'il y ait d'incidence sur la netteté de l'image formée sur le capteur (tolérance sur la mise au point).
II. C - Pour obtenir une image plus grande de la planète, on intercale une lentille de Barlow, modélisée ici par une lentille mince ( L_2 ) divergente, de distance focale f_2^′, placée à la distance D_(2c) = 200 mm du capteur (figure 4 à droite). La mise au point se fait en translatant l'ensemble ( L_2-capteur), fixé sur le tube porte oculaire. On notera D_(12) la distance entre ( L_1 ) et ( L_2 ) et on admettra que F_1^′ est situé entre ( L_2 ) et le capteur.
II.C.1) Comment faut-il choisir f_2^′ et à quelle valeur doit-on régler D_(12) pour que le dispositif produise sur le capteur de la caméra une image de Jupiter trois fois plus large que précédemment ?
On rappelle la relation de conjugaison de Descartes pour une lentille mince 1/(OA^′^–) − 1/(OA^–) = 1/(f^′).
II.C.2) Le dispositif de Barlow est alors qualifié de «tripleur de focale». Proposer une justification à ce terme.
II.D - Jusqu'à présent, on a négligé les effets de la diffraction, qui produit un étalement des images. En supposant que l'effet dominant est la diffraction à travers l'ouverture délimitant L_1, estimer (ordre de grandeur) la largeur ε_d sur le capteur de l'image d'un objet ponctuel situé à grande distance suivant l'axe optique, dans le cas de la lunette munie du tripleur de focale.
On considérera que la mise au point est parfaite et que l'ensemble de la chaine optique est assimilable à une lentille de diamètre d_1 et de focale 3f_1^′. Les candidats introduiront une longueur d'onde et en proposeront un ordre de grandeur raisonnable.
Commenter le résultat obtenu.

Pour éviter la formation de buée sur l'objectif de la lunette lors des nuits humides, on utilise une résistance chauffante, constituée d'une fine bande conductrice électriquement, cerclant la lentille L_1 au niveau de sa surface latérale. Il faut alors trouver un compromis entre :

III.A.1) Rappeler la loi de Fourier dans le verre de la lentille. Dans quelles conditions est-elle utilisable ? Retrouver l'unité internationale de λ par analyse dimensionnelle.

a) À l'aide du premier principe de la thermodynamique appliqué à la tranche de verre comprise entre r et r + dr, montrer que l'équation différentielle vérifiée par θ = T(r) − T_0 peut se mettre sous la forme : (δ^2)/rd/(dr)(r(dθ)/(dr)) = θ.
On veillera dans cette question au sens du flux thermique. On rappelle la loi de Newton relative aux échanges thermiques : φ = h(T(r) − T_0 ) où φ est le flux thermique surfacique échangé entre une paroi à la température T(r) et l'air à la température T_0.
b) Montrer que δ = √((λe)/(2h)).
c) Calculer numériquement δ et en proposer une interprétation physique.
III.A.3) Les solutions de l'équation différentielle physiquement pertinentes pour notre problème sont du type θ(r) = BJ(r) où B est une constante d'intégration et J(r) une fonction sans dimension, représentée figure 6 à l'aide d'un logiciel de calcul.

Pour limiter la formation de buée de manière suffisamment efficace, on souhaite que la température du verre soit supérieure à T_0 + 0, 5 K sur toute la surface de la lentille. Mais pour éviter des turbulences trop fortes, on souhaite ne pas dépasser T_0 + 5, 0 K dans la zone la plus chaude.
En déduire la valeur optimale de B, qu'on utilisera pour la question suivante.
III. B - La résistance est branchée sur une batterie délivrant une tension U = 12 V, supposée constante, et d'une capacité de 20 A ⋅ h (elle peut fournir la même énergie électrique qu'en produisant un courant d'intensité I = 20 A pendant une heure sous la tension U = 12 V ).
III.B.1) Exprimer la puissance thermique reçue par la lentille sur sa surface latérale.

On pourra exploiter graphiquement les informations de la courbe (notamment la valeur de sa pente au bord de la lentille), la valeur de B et les données fournies numériquement.
III.B.2) La batterie alimente également, sous la même tension U, le moteur de la monture qui porte la lunette et lui permet de suivre le mouvement apparent de la planète tout au long de l'observation. Utilisée exclusivement pour alimenter le moteur, la batterie peut fonctionner pendant 15 heures.
De quel temps de fonctionnement disposera t -on si on utilise en plus le dispositif anti-buée ?

Pour faire la mise au point, on utilise un porte-oculaire de type «Crayford», aussi appelé porte oculaire à friction. Ce dispositif a été inventé au début des années 1970 par John Wall, un astronome amateur anglais membre du Crayford Manor Astronomical Society, près de Londres. La figure 7 reproduit le dessin original du concepteur.

La molette commandée par l'opérateur fait tourner une tige qui entraine par friction le tube coulissant portant l'oculaire d'observation ou une caméra photographique (et éventuellement d'autres accessoires : lentille de Barlow, filtres colorés...). Par rapport au type de porte-oculaires le plus courant, à crémaillère (roue dentée entrainant une crémaillère solidaire du tube porte-oculaire), le Crayford permet un réglage plus souple et plus précis. De nos jours, son usage est très répandu, y compris chez les astronomes professionnels.
Dans cette partie,on étudie quelques caractéristiques d'un porte oculaire Crayford simple, modélisé comme schématisé figure 8.

La norme de la force F⃗ est réglable par l'usager au moyen d'une vis comprimant un ressort appuyant sur la tige T. Une fois la vis réglée, F⃗ reste constante. L'ensemble étant initialement immobile, l'opérateur tourne la molette de mise au point, formant un seul solide avec T, à la vitesse angulaire ω constante, jusqu'à obtenir une mise au point correcte, puis il immobilise la molette. La mise en mouvement et l'arrêt de la molette sont supposés quasi-instantanés.

On donne b = 50 mm pour le rayon de la molette de commande, M = 1200 g pour la masse de T_2 muni de ses accessoires (Barlow, filtres, caméra...). On considèrera que les coefficients de frottement statique et dynamique en A (où s'exerce la seule force de frottement significative) sont identiques et égaux à f = 0, 20.
On étudie le mouvement de translation de T_2 lors de la mise au point, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
IV.A - On considère dans cette première sous-partie que la lunette est positionnée horizontalement.
IV.A.1) L'observateur tourne la molette pour mettre en mouvement T_2 dans le sens de l'axe ( Ox ). Exprimer la vitesse V⃗_(A ∈ T) = V_(A ∈ T)e⃗_x du point de T en contact avec T_2, en fonction de ω et a.
En notant V⃗ = Ve⃗_x la vitesse de T_2 et T⃗_A = T_A e⃗_x la force de frottement subie par T_2 en A, on admet que, tant que V < V_(A ∈ T), la loi de Coulomb de glissement s'applique comme si T_2 glissait sur un support fixe. Dès que V = V_(A ∈ T), T⃗_A = 0→.
IV.A.2) Le poids de la tige T et de la molette étant négligeables, on note N⃗_A la force de contact normale subie par T_2 en A. Justifier que N⃗_A = F⃗. En déduire l'expression de T⃗_A.
On rappelle la loi de Coulomb dans le cas du glissement : T = fN où T et N désignent respectivement les intensités des composantes tangentielle et normale de l'action de contact.
IV.A.3) Déterminer la loi d'évolution de V⃗(t) si on tourne indéfiniment la molette. On distinguera deux étapes, en appelant t_1 la durée de la première étape et V⃗_1 la vitesse maximale atteinte par T_2 (paramètres autorisés pour les expressions de t_1 et V_1 : M, ω, a, f et F ).
IV.A.4) T_2 ayant acquis une vitesse V⃗_0(V_0 ⩽ V_1) on immobilise la molette et la tige T. Comparer le temps d'arrêt de T_2 au temps mis pour acquérir la vitesse V⃗_0. Faire de même pour les distances parcourues lors des étapes de mise en mouvement et de freinage.
IV.A.5) Expliquer physiquement pourquoi, suivant la distance à parcourir par T_2 pour obtenir la bonne mise au point, l'évolution de V⃗ sur l'ensemble de l'opération peut se faire en deux ou trois étapes. On tracera l'allure qualitative V(t), sans chercher à déterminer pour quelles distances on est dans l'un ou l'autre des cas. Quels peuvent être les avantages d'un choix de ‖F⃗‖ faible ou élevée?
IV.B - La lunette est désormais pointée vers le ciel en direction de Jupiter.

Une fois la mise point effectuée, l'astronome amateur effectue une série de vues pendant toute une nuit. La hauteur angulaire de Jupiter par rapport à l'horizon évolue. Il dispose du graphe de la figure 9 , qui donne la hauteur angulaire maximale de la planète par rapport à l'horizon, nuit par nuit.

Déterminer, pour une observation effectuée le 29 octobre 2011 (date où le diamètre apparent de Jupiter est maximal pour cette année-là) et le porte oculaire réglé tel que ‖F⃗‖ = 2, 0 N, si le blocage de la molette à l'issue de la mise au point suffira à maintenir en place T_2, ou si on aura besoin d'un dispositif de blocage dédié. Le champ de pesanteur terrestre est supposé vertical vers le bas, uniforme et de norme g = 9, 8 m ⋅ s^(− 2).