Centrale Mathématiques 1 TSI 2006Sujet et corrigé

L'épreuve est constituée de deux parties totalement indépendantes.

Dans cette partie, H est un réel fixé dans l'intervalle 10, 2].
On désigne par I l'intervalle ]-1/2, 1/2 [ et par I^∗ cet intervalle privé de 0 .
Pour tout t ∈ I^∗, on pose N(t) = E[ − (ln|t|)/(ln2)] où E[x] désigne la partie entière de x.

I.A.1) Rappeler, sans démonstration, ce que sont :

Le but de cette partie est d'étudier, suivant les valeurs de H, la fonction f définie sur IR par

Pour k entier, avec k ≥ 1, on notera

I.A.3) Montrer que f est de période 2π. Déterminer un majorant M_1(H) de la fonction |f|.

I.A.4) Montrer que, pour tout t ∈ I^∗, on a :

I.A.5) Soit a et h deux réels. On pose z = e^(ia)(e^(ih) − 1 − ih) où i désigne le nombre complexe usuel tel que i^2 = − 1.
a) Montrer que |z| ≤ h^2 e^(|h|) (on pourra utiliser l'expression de e^(ih) comme somme d'une série entière).
b) En considérant la partie réelle de z, montrer que

I.A.6) Montrer que, pour tout x ∈ ℝ et tout t ∈ I^∗, on a :

(on pourra utiliser la question précédente et l'inégalité e^(|2^n t|) ≤ e, que l'on justifiera).
Lorsque H < 2, trouver une constante C_1(H) telle que, pour tout t ∈ I^∗, on ait

Lorsque H = 2, trouver une constante K telle que, pour tout t ∈ I^∗, on ait

I.A.7) Montrer qu'il existe une constante C_2(H) telle que, pour tous x ∈ ℝ et t ∈ I^∗, |T_(N(t))(x + t) − T_(N(t))(x)| ≤ C_2(H)|t|^H (on pourra utiliser l'inégalité |cosa − cosb| ≤ 2, vraie pour tous réels a et b ).

On considère maintenant la fonction g définie pour x réel par :

I.B - On prend H ∈ ]1, 2].
I.B.1) Montrer que g est définie sur ℝ. Déterminer un majorant M_2(H) de la fonction |g|.
I.B.2) Pour x fixé dans ℝ et t ∈ I^∗, on pose

Montrer que l(t) tend vers 0 quand t tend vers 0 (on pourra utiliser I.A. 6 et I.A.7).
I.B.3) En déduire que f est dérivable sur ℝ, et que f^′ = g. Par la suite, on admet que g est continue sur ℝ.
I.B.4)
a) Calculer les coefficients a_n(f) et b_n(f) de la série de Fourier de la fonction f. On admettra que

b) Pour un réel x fixé, écrire la somme de Fourier de f de rang 2^n et montrer qu'elle coïncide avec une somme partielle de la série numérique qui définit f(x).
c) Les propriétés de f permettent-elles de prévoir que f(x) est la limite, quand n tend vers + ∞, des sommes de Fourier de f de rang 2^n ?
I.B.5)
a) Utiliser I.B. 4 pour calculer ∫_0^(2π)f(t)^2 dt en fonction de H.
b) Montrer que

I.C - On prend H = 2.
I.C.1) Trouver la valeur exacte de f(x) et de g(x) pour x = π/4 et 3π/4.
I.C.2) On pose

a) À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur minimale de φ(x) pour

b) En revenant à la définition de g, donner une majoration de |g(x) + φ(x)|.
c) En déduire que g est strictement négative sur [π/4, (3π)/4].
I.C.3) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique sur [π/4, (3π)/4].
I.D - On prend H ∈ ]0, 1[. On veut montrer que f n'est pas dérivable en 0 . Soit t ∈ ]0, 1/2[.
I.D.1) Vérifier, que pour tout x ∈ [0, π/2], on a 1 − cos(x) ≥ (x^2)/4.
I.D.2) Montrer qu'il existe une constante C_3(H) > 0 telle que |S_(N(t))(0) − S_(N(t))(t)| ≥ C_3(H)(t^H − t^2 ⋅ 2^(2 − H)).
I.D.3) Vérifier que T_(N(t))(0) − T_(N(t))(t) ≥ 0.
I.D.4) En déduire que (f(0) − f(t))/t tend vers + ∞ lorsque t → 0, t > 0.

Soit Q un polynôme du second degré en x, y, défini par Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + a^′ x + b^′ y + c^′, à coefficients réels tels que b^2 − 4ac ≠ 0. On définit une fonction de ℝ^2 dans ℝ par f(x, y) = exp{Q(x, y)}.
II.A.1) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de f. Montrer qu'elles s'annulent aux mêmes points que celles de Q.
II.A.2) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de f. Comparer ces dérivées partielles d'ordre 2 de Q en un point où les dérivées partielles d'ordre 1 de Q sont nulles.
II.A.3) Utiliser le développement de Taylor-Young pour montrer que les extremums locaux de f sont situés aux mêmes points et sont de même nature que ceux de Q.

Soit Q_1 et Q_2 deux polynômes du second degré en x, y, définis par Q_1(x, y) = 1/2x^2 − y^2 + 2/3xy − 5/3x + (11)/3y − 7/2 et Q_2(x, y) = x^2 + 1/(10)y^2 − (19)/(10)x + 1/(10)y + 3/(10).
On définit deux fonctions f_1 et f_2 de ℝ^2 dans ℝ par f_1(x, y) = exp{Q_1(x, y)} et f_2(x, y) = 2exp{Q_2(x, y)}.
II.B.1) f_1 admet-elle des extremums ? Si oui, quelle en est la nature ?
II.B.2) Même question pour f_2.
II.B.3) Montrer que, sur la droite y = 2x les fonctions Q_1 et Q_2 prennent des valeurs égales en deux points que l'on déterminera.
II.C - On considère la transformation du plan définie par

II.C.1) Montrer que F admet un point fixe en ( 1,2 ), c'est-à-dire que

II.C.2) Donner l'équation du plan tangent à la surface d'équation z = f_1(x, y) au point (1, 2). Même question pour f_2.
II.C.3) Déterminer la matrice jacobienne J de la transformation F en (1,2). Cette matrice J est-elle diagonalisable dans 𝒰_2(ℝ) ?