N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
PROBLEME
Notations et définitions
Dans tout le problème, n et p désignent deux entiers naturels non nuls. M_(n, p)(C) désigne l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients complexes. M_n(C) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes. I_n désigne la matrice identité d'ordre n.
L'ensemble des entiers compris entre 1 et n sera noté [ [1, n] ].
On appellera matrice colonne d'ordre n toute matrice complexe à n lignes et 1 colonne. Ainsi, M_(n, 1)(C) est l'ensemble des matrices colonnes d'ordre n.
Soit (A_q)_(q ∈ N) une suite de matrices de M_(n, p)(C). Pour q ∈ N, 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p, on appelle A_q[i, j] le coefficient sur la i-ième ligne et la j-ième colonne de la matrice A_q.
On dira qu'une telle suite (A_q)_(q ∈ N) converge vers la matrice B = (B[i, j])_(1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ p) de M_(n, p)(C) lorsque :
On détermine dans ce préliminaire trois résultats qui seront utiles pour les questions 6 et 7 de la partie I.
Pour la question P.1, le détail des calculs devra figurer sur la copie. Pour les questions P.2 et P.3, on pourra faire usage de la calculatrice et ne mentionner que les résultats intermédiaires utiles.
On définit les trois matrices A_1, A_2 et A_3 par : A_1 = (4, 0, 14; 3/2, 1/2, 6; − 1, 0, − 7/2), A_2 = (3, 2i, 6i; − 2i, 3, 7; 2i, − 2, − 5) (où i^2 = − 1 ) et A_3 = (1, 1/2, 1/2; 1, 3/2, 3/2; − 1, − 1, − 1).
P. 1 - Donner les valeurs propres de A_1 et justifier que A_1 est diagonalisable.
P. 2 - Donner les valeurs propres de A_2 et justifier que A_2 est diagonalisable.
P. 3 - Justifier que A_3 est diagonalisable, et donner une matrice inversible P, une matrice diagonale D telles que P^(− 1)A_3 P = D. Déterminer P^(− 1).
Partie I
Généralités sur les suites matricielles. Etude du cas diagonalisable
1 - Soient S et T deux matrices de M_(n, p)(C) et soient (V_q)_(q ∈ N) et (W_q)_(q ∈ N), deux suites de matrices de M_(n, p)(C) convergentes respectivement vers les matrices S et T, et soit λ ∈ C. Prouver alors que la suite (V_q + λW_q)_(q ∈ N) converge vers S + λT.
2 - Soit r un entier naturel non nul et :
(V_q)_(q ∈ N) une suite de matrices de M_(n, p)(C), convergente vers S;
(W_q)_(q ∈ N) une suite de matrices de M_(p, r)(C), convergente vers T.
Prouver alors que la suite (V_q W_q)_(q ∈ N) est convergente vers ST.
3 - Soit B une matrice de M_n(C). Déduire du I. 2 que si (A_q)_(q ∈ N) est une suite de matrices de M_n(C), convergente vers B, et si P est une matrice inversible d'ordre n, alors la suite (P^(− 1)A_q P)_(q ∈ N) converge vers P^(− 1)BP.
Prouver également que si X et Y sont deux matrices colonnes d'ordre n, alors la suite de matrices colonnes (A_q X + Y)_(q ∈ N) converge vers BX + Y.
4 - On suppose, dans cette question 4 seulement, que A est une matrice carrée diagonale d'ordre n, de coefficients diagonaux λ_1, …, λ_n (qui peuvent être complexes) :
A = (λ_1, (0); ⋱; (0), λ_n)
Pour q ∈ N, A^q désigne la q-ième puissance de A :
{A^0 = I_n; ∀q ∈ N, A^(q + 1) = A ⋅ A^q.
On s'intéresse alors à la suite (A^q)_(q ∈ ℕ) des puissances de A.
4.1 - Prouver que si pour tout i ∈ [ [1, n] ] on a |λ_i| < 1, alors la suite (A^q)_(q ∈ N) converge. Quelle est sa limite ?
4.2 - Prouver que s'il existe i ∈ [ [1, n] ] tel que |λ_i| > 1, alors la suite (A^q)_(q ∈ N) ne converge pas.
4.3 - Soit λ un nombre complexe de module 1 tel que la suite de nombres complexes (λ^q)_(q ∈ ℕ) converge vers un nombre complexe z.
4.3.1 - Justifier que z ≠ 0.
4.3.2 - En remarquant que la suite (λ^(q + 1))_(q ∈ N) converge aussi vers z, montrer que λ = 1.
4.3.3 - En déduire que la suite de matrices (A^q)_(q ∈ N) converge, si et seulement si :
∀i ∈ [ [1, n] ], (|λ_i| < 1 ou λ_i = 1)
5 - Montrer que si A ∈ M_n(C) est une matrice carrée diagonalisable, dont chaque valeur propre λ vérifie |λ| < 1, alors la suite (A^q)_(q ∈ N) converge vers la matrice nulle.
6 - Déterminer si les suites de matrices (A_1^q)_(q ∈ N), (A_2^q)_(q ∈ N) et (A_3^q)_(q ∈ N) convergent et donner leurs limites éventuelles (les A_i sont les trois matrices définies dans la partie préliminaire). On pourra faire usage de la calculatrice.
7 - Les résultats de cette question 7 ne sont pas utilisés dans la suite du problème.
7.1 - Soit une matrice carrée A diagonale d'ordre n, de coefficients diagonaux λ_1, …, λ_n. Montrer que la suite de matrices (S_q)_(q ∈ N) définie par : S_q = ∑_(k = 0)^q 1/(k!)A^k a une limite, notée exp(A), qu'on déterminera.
7.2 - Montrer que si A est une matrice carrée diagonalisable avec A = PDP^(− 1), où D est une matrice diagonale (d'ordre n ) et P ∈ GL_n(C), alors la suite (S_q)_(q ∈ N) définie par S_q = ∑_(k = 0)^q 1/(k!)A^k converge vers une matrice notée exp(A), et que : exp(A) = Pexp(D)P^(− 1).
7.3 - Calculer exp(A_3) où A_3 est définie dans le préliminaire (on pourra utiliser la calculatrice pour faire certains produits matriciels).
Partie II
Suites arithmético-géométriques matricielles
Etant données A ∈ M_n(C) et B ∈ M_(n, 1)(C), on définit par récurrence une suite (X_q)_(q ∈ N) de matrices colonnes d'ordre n par :
{X_0 est une matrice colonne donnée d'ordre n; ∀q ∈ N, X_(q + 1) = AX_q + B.
On suppose de plus que 1 n 'est pas valeur propre de A.
1 - Montrer que A − I_n est inversible.
2 - Démontrer qu'il existe une unique matrice colonne S, telle que AS + B = S.
3 - Prouver alors que :
∀q ∈ N, X_q = A^q(X_0 − S) + S.
4 - En déduire que si A est diagonalisable et si toutes les valeurs propres λ de A vérifient |λ| < 1, alors :
lim_(q → ∞)X_q = S
Partie III
Application à la diffusion de la chaleur dans une tige
On considère, dans cette partie, une tige homogène découpée en n + 2 petits segments de longueurs identiques, numérotés de 0 à n + 1.
On suppose les segments assez petits pour considérer la température comme constante sur chacun d'entre eux à un instant donné. On appelle F(k, t) la température à l'instant t ≥ 0 du segment numéroté k avec k ∈ [ [0, n + 1] ]. On fait les hypothèses suivantes :
Après un intervalle de temps τ > 0 (caractéristique de la longueur des segments et de la matière de la tige) la température à l'instant t + τ, d'un segment autre que les deux segments extrêmes, a pour température la moyenne des températures à l'instant t des deux segments adjacents :
1 - Donner une matrice carrée A d'ordre n, et une matrice colonne B ∈ M_(n, 1)(C) tels que :
∀t ∈ R^+, (F(1, t + τ); ⋮; F(n, t + τ)) = A(F(1, t); ⋮; F(n, t)) + B.
2 - Pour q ∈ N, on définit la matrice colonne X_q par :
X_q = (F(1, qτ); ⋮; F(n, qτ)).
Justifier alors que pour tout entier naturel q on a : X_(q + 1) = AX_q + B. 3 − On suppose n = 4 dans cette question.
3.1 - Ecrire dans l'un des langages de calcul formel du programme (MAPLE ou MATHEMATICA par exemple) une procédure permettant de calculer X_q en fonction de q. On indiquera le langage utilisé.
3.2 - Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur numérique de X_(10). On donnera le résultat avec une précision de 10^(− 1) sur chaque coordonnée.
4 - Soit ω ∈ R. On note U_ω la matrice colonne :
U_ω = (sin(ω); sin(2ω); ⋮; sin(nω))
4.1 - Prouver que : U_ω = 0 ⇔ sin(ω) = 0.
On supposera par la suite que sin(ω) ≠ 0.
4.2 - Montrer que si λ est un réel tel que AU_ω = λU_ω, alors λ = cos(ω).
4.3 - Réciproquement, donner les valeurs de ω ∈ ]0, π[ pour lesquelles AU_ω = cos(ω)U_ω.
4.4 - En déduire que A est diagonalisable et donner une matrice inversible P ∈ GL_n(R) et une matrice diagonale D ∈ M_n(R), telles que P^(− 1)AP = D.
Justifier que les valeurs propres de A appartiennent à ] − 1, 1[.
5 - A l'aide de la partie II, justifier qu'il existe une unique matrice colonne S telle que S = AS + B, puis que lim_(q → ∞)X_q = S. Quelle interprétation physique pouvez-vous donner de S ?
6 - Déterminer explicitement S. Interprétez le résultat.
Partie IV
Etude de la suite des puissances d'une matrice réelle
A désigne, pour toute la suite, une matrice carrée réelle d'ordre n. On appelle ( E_1, …, E_n ) la base canonique de M_(n, 1)(R). On munit M_(n, 1)(R) de son produit scalaire usuel ; on note ‖X‖ = √(∑_(i = 1)^n x_i^2) la norme de la matrice colonne X = (x_1; ⋮; x_n) et (X|Y) le produit scalaire des matrices colonnes X et Y.
On notera que (X|Y) = ^t XY ( ^t X désigne la transposée de X ).
1 - Montrer que la suite (A^q)_(q ∈ N) converge si et seulement si pour tout k ∈ [ [1, n] ], la suite (A^q E_k)_(q ∈ N) de matrices colonnes converge.
On pourra introduire les colonnes C_1(q), …, C_n(q) de la matrice A^q.
2 - En déduire que la suite (A^q)_(q ∈ N) converge si et seulement si pour toute matrice colonne X ∈ M_(n, 1)(R) la suite de matrices colonnes (A^q X)_(q ∈ N) converge.
3 -Démontrer que :
3.1 - S'il existe k ∈ [0, 1[ tel que ∀X ∈ M_(n, 1)(R), ‖AX‖ ≤ k‖X‖, alors la suite (A^q)_(q ∈ N) converge vers la matrice nulle.
On pourra établir que ∀X ∈ M_(n, 1)(R), ∀q ∈ N, ‖A^q X‖ ≤ k^q‖X‖.
3.2 - S'il existe k ∈ ]1, + ∞[ tel que ∀X ∈ M_(n, 1)(R), ‖AX‖ ≥ k‖X‖, alors la suite (A^q)_(q ∈ N) ne converge pas.
4 - Pour toute matrice colonne X ∈ M_(n, 1)(R), on pose φ(X) = ‖AX‖^2. Soit g l'endomorphisme associé à ^t AA. Montrer que :
∀X ∈ M_(n, 1)(R), φ(X) = ^t X^t AAX = (X|g(X)).
5 - Justifier que ^t AA est semblable à une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux seront notés λ_1, …, λ_n.
6 - Prouver qu'il existe une base orthonormale B = (u_1, …, u_n) de M_(n, 1)(R) de sorte que pour tout vecteur X de coordonnées (y_1, …, y_n) dans B on ait :
φ(X) = ∑_(i = 1)^n λ_i y_i^2
En déduire que les λ_i sont tous positifs ou nuls. 7 − On pose désormais k_0 = min_(1 ≤ i ≤ n)λ_i et k_1 = max_(1 ≤ i ≤ n)λ_i. Prouver à l'aide de la question 3 que :
7.1 - Si k_1 < 1, alors la suite (A^q)_(q ∈ N) converge vers la matrice nulle. 7.2 − Si k_0 > 1, alors (A^q)_(q ∈ N) ne converge pas.
8 - On reprend la suite (X_q)_(q ∈ N) définie dans la partie II, et on suppose que k_1 < 1. Montrer que 1 n'est pas valeur propre de A et que pour tout entier q on a : ‖X_q − S‖ ≤ (√(k_1))^q‖X_0 − S‖.
9 - On reprend les notations de la partie III, avec n = 4. Déterminer à l'aide de la majoration cidessus un entier q_0 tel que pour q ≥ q_0 on ait ‖X_q − S‖ ≤ 1. En déduire que pour q ≥ q_0 et pour tout k ∈ [ [1, n] ] on a S_k − 1 ≤ F(k, qτ) ≤ S_k + 1 (les S_k désignent les coordonnées de S ). Interpréter ce résultat.
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