CCINP Mathématiques 1 TSI 2004Sujet et corrigé

NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Objet : La transformation de Fourier est un outil employé en sciences de l'ingénieur. En plus d'être linéaire, elle vérifie de nombreuses propriétés. Nous nous proposons d'en établir quelques-unes en nous limitant à un espace vectoriel particulier.

On note C^∞ (R, Γ ) l'espace vectoriel sur Γ des fonctions définies, continues, infiniment dérivables de R dans [.
On note P le sous-espace vectoriel de C^∞(ℝ, ℂ) des fonctions f de la forme f(t) = P(t)e^(− πt^2) où P est un polynôme à coefficients complexes.

Pour tout n entier naturel, on note P_n, le sous-espace vectoriel de P des fonctions f de la forme f(t) = P(t)e^(− πt^2) où P est un polynôme à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à n.

Soient T, D, S trois applications qui, à une fonction f de C^∞(R, Γ) associent respectivement les fonctions suivantes :

Montrer que les applications T, D, S définissent chacune un endomorphisme de C^∞(R, Γ).

Montrer que S est un automorphisme. Donner S^(− 1).

a) Justifier l'existence de J = ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− t^2) dt.

De nombreuses méthodes permettent d'obtenir J = √π. On l'admettra.
En déduire la valeur de : ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− πt^2) dt.
b) Pour toute fonction f de P, justifier la convergence absolue de ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)dt.
c) Pour tout u réel, pour toute fonction f de P, justifier la convergence absolue de ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)e^(− 2iπut) dt.

Soit φ l'application qui, à tout f de P associe si elle existe la fonction φ(f) = ψ de ℝ dans [ vérifiant :

Vérifier que φ est bien définie sur P, puis montrer que φ est une application linéaire.

On conservera par la suite les notations suivantes :
f un élément de P, défini par : f(t) = P(t)e^(− πt^2) pour tout t réel.
Son image par φ : ψ = φ(f) définie par: ψ(u) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)e^(− 2iπut) dt pour tout u réel.

Justifier la dérivabilité de ψ, calculer ψ^′(u) et montrer que dans P on a :

que l'on peut écrire de façon plus formelle

En remarquant que ψ 'est l'image d'une fonction de P, en déduire que ψ est infiniment dérivable et est donc un élément de C^∞(R, Γ).

Par une intégration par parties, montrer que dans P on a :

que l'on peut écrire de façon plus formelle :

III-1) Pour tout k entier naturel, on note b_k la fonction qui à tout t réel associe b_k(t) = t^k e − πt^2. Pour tout n entier naturel, on considère la famille (b_k)_(0 ≤ k ≤ n), justifier que celle-ci constitue une base de P_n. On pose φ(b_k) = B_k.

III-2) Donner l'ensemble SG des solutions de l'équation différentielle (E) : f^′(t) + 2πtf(t) = 0 si f est une fonction de R dans ∁ de classe C^1.

III-3) Vérifier que b_0 est un élément de SG, noter la relation différentielle qui en découle en utilisant les endomorphismes D et T , en déduire une relation différentielle vérifiée par B_0, puis montrer l'existence d'une constante complexe λ telle que, pour tout u réel, B_0(u) = λe^(− πu^2).
Exprimer B_0(0) sous forme d'une intégrale et en déduire la valeur de λ.
III-4) Pour tout k entier naturel non nul, on a la relation b_k = T(b_(k − 1)). Calculer B_1, B_2, B_3, puis montrer par récurrence que B_k = φ(b_k) est un élément de P_k. En déduire que pour tout n entier naturel non nul, si f est un élément de P_n, il en est de même de φ(f). Montrer alors que φ définit un endomorphisme de P.

Soit n un entier naturel.
On note S_n l'endomorphisme de P_n tel que S_n(f) = S(f) et φ_n l'endomorphisme de P_n tel que φ_n(f) = φ(f).

IV-1) Ecrire les matrices de φ_3 et S_3 dans la base ( b_0, b_1, b_2, b_3 ) de P_3.
IV-2) Expliciter φ_3 o φ_3 en fonction de S_3. En déduire que φ_3 est inversible et déterminer son inverse.

Pour tout endomorphisme A, on note A^2 = A ∘ A, et pour tout m entier naturel non nul A^m = A ∘ A^(m − 1) = A^(m − 1) ∘ A avec la convention A^0 = I qui représente l'application identité sur P.

Pour tout j entier naturel, on note b_0^((j)) la j ième dérivée de b_0, on a donc b_0^((j)) = D^j(b_0) (on posera b_0^((0)) = b_0 ).

V-1) Pour tout j entier naturel non nul, exprimer φ(b_0^((j))) en fonction de b_0 et de T , puis en fonction de b_j.

V-2) Pour tout k entier naturel non nul, on a la relation b_k = T(b_(k − 1)) = T^k(b_0); exprimer φ(b_k) en fonction de b_0 et de D , puis en fonction de b_0^((k)).

V-3) Exprimer alors φ^2(b_k). En déduire que φ est bijectif, justifier les deux formules suivantes :

Cette dernière relation nous permettra par la suite de permuter S et φ.
V-4) Montrer que φ^(− 1) = φ^3.

VI-1) Déterminer les valeurs propres de l'endomorphisme φ_3; cet endomorphisme est-il diagonalisable?

VI-2) Déterminer une base de P_3 formée de vecteurs propres de φ_3.
VI-3) Soit la fonction f de ℝ dans ℝ définie pour tout t réel par: f(t) = P(t)e^(− πt^2), avec P(t) = 1 + t^2 + t^3.
Décomposer f dans la base trouvée à la question précédente.