Centrale Mathématiques 2 TSI 2004Sujet et corrigé

Dans tout le problème, Π_→ est un plan euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct ( O; i⃗, j⃗ ). On rappelle que les déplacements de Π sont les rotations et les translations de ce plan. On notera Id_π l'identité de Π.
Les matrices utilisées dans le problème sont réelles. On note M_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées à n lignes.
On désigne par ^t A la transposée de la matrice A.
Si A est une matrice carrée, on désigne par det(A) son déterminant et si A ∈ M_3(ℝ), on convient d'appeler écriture de A par blocs l'écriture

où P ∈ M_2(ℝ), Q est de la forme [q_1; q_2], R est de la forme [r_1, r_2], et S est de la forme [s], avec q_1, q_2, r_1, r_2, s réels.

La matrice identité de M_2(ℝ) est notée I.

I.A - Les matrices A, A^′ et leur produit AA^′ appartiennent à M_3(ℝ); on les écrit par blocs :

I.A.1) En prélevant dans les matrices A et A^′ les termes utiles, calculer les deux termes de la matrice Y et montrer que Y = PQ^′ + QS^′.
Des calculs analogues prouveraient que

I.A.2) Donner sans justification l'écriture par blocs de la transposée de A.

I.B.1) On suppose que le couple ( X_1, X_2 ) forme une base orthonormée de ℝ^2 et que X_1 et X_2 sont des vecteurs propres pour une certaine matrice B appartenant à M_2(ℝ). Montrer que le couple ( − X_1, X_2 ) a les mêmes propriétés.
I.B.2) Soit S ∈ M_2(ℝ), qu'on suppose symétrique. Justifier l'existence dans M_2(ℝ) de trois matrices, N, L, D, avecN et L orthogonales et D diagonale, telles que S = ND^t N = LD^t L, où L est obtenue en remplaçant dans N la première colonne par son opposée.
I.B.3) En comparant det (N) et det (L), montrer que l'une des deux matrices N ou L est de la forme

I.C - Soit R une matrice de la forme R(θ) précédente, différente de I. Montrer que R − I est inversible.

À tout triplet ( θ, p, q ) de nombres réels, on associe la matrice

et son écriture par blocs, notée

où les deux termes de la sous-matrice uniligne 0 sont nuls.
On appelle 𝒢 l'ensemble des matrices de la forme M(θ, p, q).

II.A.1) Calculer le déterminant de M(θ, p, q).
II.A.2) La matrice M(θ, p, q) est-elle orthogonale?

II.B.1) Calculer le produit M(θ, p, q) ⋅ M(θ^′, p^′, q^′) de deux matrices de 𝒢. Montrer que ce produit appartient à 𝒢.
II.B.2) Le triplet ( θ, p, q ) étant donné, comment choisir ( θ^′, p^′, q^′ ) pour que le produit précédent soit la matrice identité I_3 ?
II.B.3) Montrer que, lorsqu'on le munit de la multiplication, l'ensemble 𝒢 est un groupe.

II.C.1) Montrer que le polynôme caractéristique de M(θ, p, q) est le produit de deux polynômes à coefficients réels, que l'on précisera.
II.C.2) On suppose que R ≠ I.
a) Déterminer, selon les valeurs de θ, les valeurs propres réelles de M(θ, p, q).
b) Quelle est la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 1 ?

Trouver un vecteur propre de la forme [x_0; y_0; 1] associé à la valeur propre 1. On donnera de [x_0; y_0] une expression matricielle utilisant T et (I − R)^(− 1).
II.D - Chaque point P de Π est repéré par ses coordonnées (x, y) dans le repère (O; i⃗, j⃗).
II.D.1) Quelles sont les coordonnées ( x^′, y^′ ) de l'image P^′ de P par la translation de vecteur T⃗ = pi⃗ + qj⃗ ?
II.D.2) Le point P_0 de Π et le réel θ sont fixés. On désigne par r la rotation de centre P_0 et d'angle θ. Soit P^′ l'image de P par r.
Exprimer les coordonnées ( x^′, y^′ ) de P^′ en fonction de x, y, θ, et des coordonnées ( x_0, y_0 ) de P_0.
II.D.3) Montrer que, dans II.D.2) comme dans II.D.1), on peut trouver dans 𝒢 une matrice M, que l'on précisera dans chacun des deux cas, telle que

II.D.4)
a) Réciproquement, les réels θ, p, q, x, y étant donnés, calculer le produit matri cielM(θ, p, q)[x; y; 1].
b) Ce produit est de la forme [x^′; y^′; 1].

Montrer que le point P^′ de Π, de coordonnées ( x^′, y^′ ), est l'image du point P, de coordonnées (x, y), par un déplacement.
c) Lorsque ce déplacement est une rotation de centre P_0(x_0, y_0) différente de l'identité de Π, on pose

Dans cette partie, on introduit l'ensemble 𝒮 des matrices symétriques de M_3(ℝ), donc de la forme générale

Une telle matrice sera notée Q(a, b, c, d, e, f), ou Q de façon abrégée.
Soit Q une matrice appartenant à 𝒮. On appelle transformée de Q toute matrice de la forme ^t MQM, où M est une matrice appartenant à l'ensemble 𝒢 défini dans la partie II.
III.A - Soit Q une matrice appartenant à 𝒮.
III.A.1) Montrer que toutes les transformées de Q appartiennent à 𝒮.
III.A.2) Montrer que Q est une transformée de Q.
III.A.3) Montrer que si Q^′ est une transformée de Q, alors Q est une transformée de Q^′.
III.A.4) Montrer que si Q^′ est une transformée de Q et Q^(′′) une transformée de Q^′, alors Q^(′′) est une transformée de Q.

Pour les questions qui suivent, on pourra utiliser les résultats de la partie I.A.
III.B - À toute matrice Q(a, b, c, d, e, f), on associe les réels :

et la matrice :

III.B.1) Pour M ∈ 𝒢, associée à θ, p, q, écrire S(^t MQM) comme un produit de trois matrices.
III.B.2) En déduire que, pour toute transformée Q^′ de Q, on a p_1(Q) = p_1(Q^′) et p_2(Q) = p_2(Q^′).
III.B.3) Montrer que, pour toute transformée Q^′ de Q, on a p_3(Q) = p_3(Q^′).

Les nombres réels p_1(Q), p_2(Q), p_3(Q) sont appelés les invariants de Q.
Dans la suite de cette section, on se propose, en considérant divers cas pour les invariants de Q, de trouver, dans chaque cas, une transformée simple de Q.

III.C.1) Montrer que, parmi les transformées de Q(a, b, c, d, e, f), il y a une matrice de la forme Q(λ, 0, μ, d^′, e^′, f^′), qu'on notera Q^′ dans la suite, (on pourra utiliser I.B.3) et III.B.1)).
III.C.2) Calculer p_1(Q) et p_2(Q) en fonction de λ et μ.
III.C.3) Montrer que, si p_2(Q) est nul, on peut, en précisant le choix de Q^′, faire en sorte que μ soit nul.
III.D - Pour M ∈ 𝒢, de la forme M(0, p, q), calculer les termes non diagonaux de ^t MQ^′ M.
III.E - Étude des différents cas
III.E.1) Premier cas : p_2(Q) est non nul.

Montrer que, parmi les transformées de Q^′, il y a une matrice Q^(′′) diagonale dont le troisième terme diagonal est nécessairement p_3(Q)/p_2(Q).
III.E.2) Deuxième cas : p_2(Q) est nul.
a) Premier sous-cas : p_1(Q) et p_3(Q) sont non nuls.

Montrer que, parmi les transformées de Q^′, il y a la matrice Q(λ, 0, 0, 0, e^′, 0).
b) Deuxième sous-cas : p_1(Q) est non nul et p_3(Q) est nul.

Montrer que, parmi les transformées de Q^′, il y a une matrice de la forme Q(λ, 0, 0, 0, 0, f^(′′)).
c) Troisième sous-cas : p_1(Q) est nul.

Montrer que a, b et c sont nuls.

Les coefficients réels ( a, b, c, d, e, f ) étant fixés, on considère la courbe du plan Π, qui admet, dans le repère ( O; i⃗, j⃗ ) l'équation cartésienne :

Cette courbe est notée 𝒞(a, b, c, d, e, f), ou 𝒞, de façon abrégée.
L'ensemble des courbes 𝒞 est noté ℱ.
IV.A - Étude d'un exemple

On pose ℋ_1 = 𝒞(0, 1/2, 0, 0, − 1/2, − 1) et ℋ_2 = 𝒞(1, 0, − 1, 0, 0, − 2).
Représenter sur un même dessin les courbes ℋ_1 et ℋ_2 ainsi que leurs asymptotes.
Dans la suite, on associe au point P de coordonnées (x, y) la matrice

et à la matrice Q(a, b, c, d, e, f) définie dans la partie III la courbe 𝒞(a, b, c, d, e, f).
IV.B - Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur le produit matriciel ^t P_1 QP_1, pour que le point P soit sur la courbe 𝒞 associée à la matrice Q.
IV.C - Soit d un déplacement du plan, d(P) l'image par d du point P et M la matrice, appartenant à 𝒢, définie dans II.D.3), qui est associée à d.
IV.C.1) Trouver une condition nécessaire et suffisante, liant les matrices P_1, M et Q et leurs transposées, pour que le point d(P) soit sur la courbe 𝒞 associée à la matrice Q.
IV.C.2) En déduire que la courbe 𝒞 de ℱ, associée à Q de 𝒮, est l'image par d d'une courbe 𝒞^′ de ℱ, associée à une matrice Q^′ de 𝒮, que l'on précisera.
IV.C.3) Montrer que Q^′ est, suivant la définition donnée dans la partie II, une transformée de Q.
IV.D - En utilisant III.E, montrer que toute courbe 𝒞 de ℱ est l'image, par un certain déplacement, d'une courbe 𝒞_1 de ℱ d'équation simple.
IV.E - Montrer que si 𝒞 est associée à la matrice Q, elle est aussi associée à αQ, pour tout α non nul.
Exemple : montrer, en utilisant III.E.1), que ℋ_1 est l'image de ℋ_2 par un déplacement que l'on ne cherchera pas à expliciter.