CCINP Mathématiques 1 TSI 2010Sujet et corrigé

Les calculatrices sont autorisées
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

EXERCICE

On munit un plan euclidien orienté d'un repère orthonormé direct (

O; ı⃗, ȷ⃗

).
Soit

H

la courbe d'équation

3x^2 + 13y^2 - 10\sqrt3xy = 2

C

la courbe d'équation

x^2 + y^2 = 1

Montrer qu'il existe un repère orthonormé direct $(O; I⃗, J⃗)$ que l'on ne cherchera pas à déterminer, dans lequel la courbe $H$ a pour équation $18X^2 - 2Y^2 = 2$ .
On pourra utiliser la calculatrice.
Justifier que $H$ est une hyperbole et préciser son excentricité.
Reconnaître la courbe $C$ . En déduire une équation de $C$ dans le repère $(O; I⃗, J⃗)$ .
Montrer que $C$ et $H$ se coupent en quatre points $A, B, C$ et $D$ dont on donnera les coordonnées dans le repère $(O; I⃗, J⃗)$ .
Prouver que les quatre points $A, B, C$ et $D$ forment un rectangle et donner son aire.
Donner les coordonnées des sommets, des équations des asymptotes et des équations des tangentes aux sommets de l'hyperbole dans le repère ( $O; I⃗, J⃗$ ).
Représenter graphiquement dans le repère ( $O; I⃗, J⃗$ ), la courbe $C$ et l'hyperbole $H$ avec ses asymptotes, ses sommets et ses tangentes en ses sommets.
N.B. : On ne demande pas de faire apparaître le repère ( $O; ı⃗, ȷ⃗$ ) .

PROBLÈME

Ce problème comporte trois parties. Les parties

A

B

peuvent se traiter de façon indépendante. On peut utiliser certains résultats de la partie

B

pour traiter la partie

C

Notations

Pour

n \in ℕ^*

, on note

M_n(ℝ)

l'espace vectoriel des matrices carrées à

n

colonnes à coefficients réels. On note

^t M

la transposée de la matrice

M

.
On appelle vecteur colonne de

ℝ^n

toute matrice à

n

lignes et 1 colonne à coefficients dans

ℝ

Définitions

On dit qu'un vecteur colonne est stochastique lorsque ses coefficients sont tous positifs et que la somme de ces coefficients vaut 1 . Par exemple le vecteur colonne

(0, 3; 0, 6; 0, 1)

est stochastique car

0, 3 ⩾ 0

0, 6 ⩾ 0

0, 1 ⩾ 0

0, 3 + 0, 6 + 0, 1 = 1

.
On dit qu'une matrice carrée est stochastique lorsque chacune de ses colonnes l'est.

Partie A

Un exemple en dimension 3

Dans cette partie, on étudie les trois suites

(x_n), (y_n)

(z_n)

à valeurs dans

ℝ

définies par:

x_0 = y_0 = 1/2; z_0 = 0 et pour tout n ∈ ℕ :; (R){x_(n + 1) = 7/(10)x_n + 2/5y_n, + 1/2z_n; y_(n + 1) = 3/(10)x_n, + 1/(10)z_n; z_(n + 1) =, 3/5y_n + 2/5z_n

Pour tout

n \in ℕ

, on pose

X_n = (x_n; y_n; z_n)

Montrer que le système ( $R$ ) s'écrit sous forme matricielle $X_(n + 1) = AX_n$ avec $A$ une matrice de $M_3(ℝ)$ que l'on déterminera.
Justifier que la matrice carrée $A$ est stochastique.
Écrire un programme dans le langage de Maple ou Mathematica qui calcule le vecteur colonne $X_(2010)$ .
Calculer la trace de $A$ notée $Tr(A)$ et le déterminant de $A$ noté $det(A)$ . On pourra utiliser la calculatrice. La matrice $A$ est-elle inversible?
Prouver que le vecteur colonne $(1; 1; 1)$ est un vecteur propre de la matrice $^t A$ . Quelle est la valeur propre associée?
On pourra admettre les résultats demandés ici pour traiter la question suivante. Soit $M$ une matrice de $M_3(ℝ)$ .
(a) Montrer que les matrices $M$ et $^t M$ ont le même polynôme caractéristique.
(b) Établir que $M$ admet trois valeurs propres complexes (éventuellement non distinctes) que l'on note $λ_1, λ_2$ et $λ_3$ et que $: Tr(M) = λ_1 + λ_2 + λ_3$ .
Déduire des questions précédentes que les valeurs propres de $A$ sont $0, 1/(10)$ et 1 .
Justifier qu'il existe une matrice de $M_3(ℝ)$ inversible $P$ telle que $A = PDP^(- 1)$ avec $D = (1, 0, 0; 0, 1/(10), 0; 0, 0, 0)$ et $P = (3, 1, 1; 1, a, 2; 1, - 2, b)$ où $a$ et $b$ sont des réels que l'on déterminera.
Calculer $P^(- 1)$ . On pourra utiliser la calculatrice.
Démontrer par récurrence que pour tout $n \in ℕ$ , on a : $X_n = PD^n P^(- 1)X_0$ .
Soit $n \in ℕ^*$ .
(a) Exprimer $X_n$ en fonction de $n$ .
(b) Montrer que le vecteur colonne $X_n$ est stochastique.
Prouver que la suite $(x_n)$ (respectivement $(y_n)$ et $(z_n)$ ) est convergente vers une limite, notée $l_x$ (respectivement $l_y$ et $l_z$ ).
Prouver que le vecteur colonne $L = (l_x; l_y; l_z)$ est stochastique et est vecteur propre de $A$ .

Partie B

Cas de la dimension 2

Soit

A

une matrice carrée stochastique de

M_2(ℝ)

.
On considère une suite (

X_n

) de vecteurs colonnes de

ℝ^2

telle que

X_0

est stochastique et telle que pour tout

n \in ℕ, X_(n + 1) = AX_n

Montrer qu'il existe $a$ et $b$ deux réels de $[0, 1]$ tels que $A = (a, b; 1 - a, 1 - b)$ .

On définit deux suites réelles

(x_n)

(y_n)

telles que pour tout

n \in ℕ, X_n = ((x_n)/(y_n))

.
2. Démontrer par récurrence que pour tout

n \in ℕ

, le vecteur colonne

X_n

est stochastique. Il s'agit d'établir que

x_n ⩾ 0, y_n ⩾ 0

x_n + y_n = 1

.
3. Montrer que

0 ⩽ Tr(A) ⩽ 2

.
4. (a) On suppose que

Tr(A) = 0

Montrer que

A = (0, 1; 1, 0)

. Que vaut

A^2

? Que se passe t-il pour la suite

(X_n)

?
(b) On suppose que

Tr(A) = 2

Que vaut

A

? Que se passe t-il pour la suite

(X_n)

?
On suppose désormais que

0 < Tr(A) < 2

.
5. Montrer que

- 1 < a - b < 1

Soit

V = (1/(- 1))

un vecteur colonne de

ℝ^2

.
6. (a) Montrer que

V

est un vecteur propre de

A

. Exprimer la valeur propre associée que l'on note

q

, en fonction de

a

b

.
(b) Prouver que

|q| < 1

.
7. Établir que 1 est une valeur propre de

A

.
8. Prouver que la matrice

A

est diagonalisable.
9. On pourra admettre le résultat demandé ici pour traiter la suite. Établir qu'il existe un vecteur colonne de

ℝ^2, L = ((l_x)/(l_y))

et un réel

λ

vérifiant :

AL = L et X_0 = L + λV.

On ne cherchera pas à calculer

l_x, l_y

λ

.
10. Montrer par récurrence que pour tout

n \in ℕ

, on a :

X_n = L + q^n λV

.
11. Prouver que la suite

(x_n)

(respectivement

(y_n)

) est convergente vers

l_x

(respectivement

l_y

).
12. En déduire que le vecteur colonne

L

est stochastique. On pourra utiliser B.2.
13. Soit

T

un vecteur colonne stochastique de

ℝ^2

tel que

AT = T

. Montrer que

T = L

Partie C
Un cas particulier

On reprend les notations de la partie B.
Dans cette partie, on suppose de plus que la matrice

A

n'est pas inversible.

Montrer que la matrice $A$ est de rang 1.
Montrer qu'il existe $α \in [0, 1]$ tel que $A = (α, α; 1 - α, 1 - α)$ .
Établir alors que $A^2 = A$ .
Prouver que pour tout $n \in ℕ^*, X_n = AX_0$ .

Soit

E

un plan euclidien muni d'une base orthonormée

B = (ı⃗, ȷ⃗)

f

l'endomorphisme de

E

associé à la matrice

A

dans la base

B

.
5. Montrer que l'application linéaire

f

est un projecteur.
6. Donner dans la base

B

, une équation de

Kerf

et une équation

deImf

.
7. En déduire que l'endomorphisme

f

est une projection orthogonale si et seulement

siα = 1/2

.
8. Soit

θ \in ℝ

. On note

u⃗(θ)

le vecteur de coordonnées (

cos(θ), sin(θ)

). Établir que

‖f(u⃗(θ))‖^2 = ((2α - 1)^2 + 1)sin^2(θ + π/4)

.
9. En déduire les valeurs de

(‖f(ı⃗)‖)/(‖ı⃗‖)

(‖f(ı⃗ + ȷ⃗)‖)/(‖ı⃗ + ȷ⃗‖)

en fonction de

α

.
10. Démontrer que

f

est une projection orthogonale si, et seulement si, pour tout

x⃗ \in E

, on a :

‖f(x⃗)‖ ⩽ ‖x⃗‖

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Partie A

Un exemple en dimension 3

Partie B

Cas de la dimension 2

Partie C Un cas particulier

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Partie C
Un cas particulier