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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Abstract

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Cette épreuve comporte trois exercices totalement indépendants entre eux et qui peuvent être traités dans un ordre quelconque.

Exercice 1

La question 4. de cet exercice est indépendante des trois questions qui précèdent.
La notation th employée à la question 4.c. désigne la fonction tangente hyperbolique.
Soit f l'unique fonction impaire admettant 2π pour période et telle que : ∀t ∈ ]0, π[, f(t) = 1.
  1. Montrer que : f(0) = f(π) = 0, puis calculer f((13π)/4) en justifiant la réponse fournie.
  2. Représenter graphiquement la restriction de la fonction f à l'intervalle [ − 3π, 3π].
a. Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction f.
b. En déduire : ∀t ∈ ℝ, f(t) = 4/π∑_(n = 0)^(+ ∞)(sin((2n + 1)t))/(2n + 1).
On énoncera très précisément le théorème utilisé.
c. En utilisant l'égalité établie à la question précédente 3.b., déterminer la somme de la série ∑_(n ≥ 0)((− 1)^n)/(2n + 1).
d. Appliquer la formule de Parseval à la fonction f et en déduire la somme de la série ∑_(n ≥ 0)1/((2n + 1)^2).
4. Soit x un réel strictement positif fixé.
a. Montrer que la fonction t → e^(− xt)f(t) est intégrable sur [0, + ∞[.
b. Soit k un entier naturel quelconque.
Montrer que : ∫_(kπ)^((k + 1)π)e^(− xt)f(t)dt = ((1 − e^(− πx)))/x(− e^(− πx))^k.
c. En déduire : ∫_0^(+ ∞)e^(− xt)f(t)dt = 1/xth((πx)/2).

Exercice 2

On se propose d'étudier quelques propriétés de la fonction numérique f définie sur ℝ^(+ ∗) par la relation : ∀x ∈ ℝ^(+ ∗), f(x) = ∫_0^1(e^t)/(x + t) dt.
On ne cherchera pas à calculer l'intégrale définissant f(x).
  1. Rappeler la définition d'une fonction numérique décroissante sur un intervalle I de ℝ. En déduire que f est décroissante sur ℝ^(+ ∗).
  2. Soit x_0 un réel strictement positif quelconque.
    a. Montrer que : ∀x ∈ [(x_0)/2, + ∞[, |f(x) − f(x_0)| ≤ (2e|x − x_0|)/(x_0^2).
    b. En déduire que f est continue au point x_0.
  3. Montrer que pour tout réel x strictement positif : (e − 1)/(x + 1) ≤ f(x) ≤ (e − 1)/x.
En déduire : f(x) ∼ _(+ ∞)(e − 1)/x.
4.
a. En utilisant l'inégalité des accroissements finis, déterminer un réel positif M tel que : ∀t ∈ [0, 1], |e^t − 1| ≤ Mt.
b. Soit g la fonction numérique définie sur ℝ^(+ ∗) par la relation :
∀x ∈ ℝ^(+ ∗), g(x) = ∫_0^1(e^t − 1)/(x + t) dt.
Montrer que g est bornée sur ℝ^(+ ∗).
c. Montrer finalement : f(x) ∼ _(0_+) − ln(x).
Indication : remarquer que pour x strictement positif, f(x) = ∫_0^1 1/(x + t) dt + g(x).
5. Dans cette question, on se propose de déterminer une valeur approchée à 10^(− 2) près de f(1).
On introduit la fonction h définie sur [0, 1] par la relation : ∀t ∈ [0, 1], h(t) = (e^t)/(1 + t).
On définit également deux suites (u_n)_(n ≥ 1) et (v_n)_(n ≥ 1) en posant:
∀n ∈ ℕ^∗, u_n = 1/n∑_(k = 0)^(n − 1)h(k/n) et v_n = 1/n∑_(k = 0)^(n − 1)h((k + 1)/n).
a. Vérifier que la fonction h est croissante sur le segment [0, 1].
b. Donner une interprétation géométrique des réels u_n et v_n.
c. Montrer que : ∀k ∈ {0, 1, 2, …, n − 1}, 1/nh(k/n) ≤ ∫_(k/n)^((k + 1)/n)h(t)dt ≤ 1/nh((k + 1)/n).
d. Déduire de ce qui précède que: ∀n ∈ ℕ^∗, |f(1) − (u_n + v_n)/2| ≤ (h(1) − h(0))/(2n).
e. Déterminer une valeur explicite de n, notée n_0, telle que (u_(n_0) + v_(n_0))/2 soit une valeur approchée de f(1) à (10^(− 2))/2 près.
En déduire une valeur décimale approchée de f(1) à 10^(− 2) près de la forme p/(100), où p désigne un entier naturel. On expliquera la démarche utilisée.

Exercice 3

Dans cet exercice, la notation lim_(x → 1_−)g(x) employée à la question 3.b. signifie «limite de la fonction g lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures ≫.
  1. Montrer que les trois séries entières ∑_(n ≥ 1)x^n, ∑_(n ≥ 1)√nx^n et ∑_(n ≥ 1)nx^n ont chacune un rayon de convergence égal à 1 .
    On pose alors : ∀x ∈ ] − 1, 1[, f(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)x^n, g(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)√nx^n, h(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)nx^n.
    On sera attentif au fait que les trois sommes ci-dessus sont indexées à partir de n = 1.
  2. Dans cette question, x désigne un élément quelconque de l'intervalle ] − 1, 1[.
Rappeler sans démonstration une expression simple de f(x) et en déduire une expression simple de h(x) en citant précisément le théorème de cours utilisé.
3.
a. Montrer que la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle [0, 1[.
b. Soit x un élément quelconque de l'intervalle [0, 1[.
Minorer g(x) et en déduire: lim_(x → 1_−)g(x) = + ∞.
c. Donner l'allure de la courbe représentative de la restriction de la fonction g à l'intervalle [ 0,1 [.
On précisera en particulier la tangente à l'origine et la position de la courbe par rapport à cette tangente.
4.
a. Montrer qu'il existe un unique réel α possédant les deux propriétés suivantes :
α est élément de l'intervalle [ 0,1 [ et g(α) = 2.
b. Calculer h(0, 5) et en déduire : α ≥ 0, 5.
c. A l'aide de votre calculatrice, déterminer explicitement le plus petit entier naturel non nul n_0 tel que : ∑_(n = 1)^(n_0)√n(0, 6)^n ≥ 2.
Que peut-on en déduire pour α ?
5.
a. Montrer que : ∀x ∈ ] − 1, 1[, (1 − x)g(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(√n − √(n − 1))x^n.
b. En utilisant le critère spécial relatif aux séries alternées, montrer que la série ∑_(n ≥ 1)(√n − √(n − 1))(− 1)^n est convergente.
c. Montrer que la série ∑_(n ≥ 1)(√n − √(n − 1))(− 1)^n n'est pas absolument convergente et déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑_(n ≥ 1)(√n − √(n − 1))x^n.
d. Montrer enfin que la fonction g possède une limite finie lorsque x tend vers -1 par valeurs supérieures. On citera très précisément le théorème utilisé.

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