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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 3 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

La fonction Dilogarithme

Dans tout le problème, ln désigne le logarithme népérien.
On considère la fonction f définie sur ] − ∞, 1[ par :
f(t) = {− (ln(1 − t))/t, t ∈ ] − ∞, 0[ ∪ ]0, 1[; 1, t = 0
Dans ce problème, on s'intéresse à la fonction Dilogarithme définie pour tout x de [ − 1, 1[ par :
L(x) = − ∫_0^x(ln(1 − t))/t dt = ∫_0^x f(t)dt
Dans la partie I, on calcule ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/(k^2). La partie II est consacrée à une étude de la régularité de f. Dans la partie III, on détermine le développement en série entière de L et on déduit ensuite le prolongé de L en 1. Dans la partie IV, on résout une équation différentielle.
Les différentes parties de ce problème ont un lien entre elles, mais peuvent être traitées séparément.

I. Calcul de ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/(k^2)

Soit g : ℝ ⟶ ℝ, périodique de période 2π, telle que :
∀x ∈ ] − π, π], g(x) = x
Soit S : x ⟼ 1/2a_0 + ∑_(k = 1)^(+ ∞)(a_k cos(kx) + b_k sin(kx)) la somme de la série de Fourier de g. On admet provisoirement l'existence de cette somme, existence qui sera démontrée à la question 4 .
  1. Représenter graphiquement la restriction de la fonction g à l'intervalle ] − 3π, 3π].
  2. Calculer pour tout n de ℕ, la valeur de a_n.
  3. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗, b_n = (− 1)^(n − 1)2/n.
  4. Pour quelles valeurs de x, a-t-on l'égalité S(x) = g(x) ? On précisera le théorème utilisé, et notamment ses hypothèses.
  5. En appliquant avec soin l'égalité de Parseval, en déduire que ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/(k^2) = (π^2)/6.

II. Régularité de la fonction f

  1. Donner le développement limité de x ⟼ ln(1 − x) au voisinage de 0 à l'ordre 2 .
  2. En déduire que f est continue en 0 .
  3. f est-elle dérivable en 0 ? Si oui, préciser le nombre dérivé f^′(0).
  4. Calculer pour tout x de ] − ∞, 0[ ∪ ]0, 1[, f^′(x).
  5. Prouver que la fonction f est de classe C^1 sur ] − ∞, 1[. (On pourra à nouveau utiliser la question 1. de cette partie)

III. Développement en série entière de L

On rappelle la fonction Dilogarithme définie pour tout x de [ − 1, 1[ par :
L(x) = ∫_0^x f(t)dt
où la fonction f est de classe C^1 sur [ − 1, 1[ (d'après la partie II).
  1. Dérivée de L.
    1.a. Vérifier que la fonction L est bien définie et de classe C^2 sur [ − 1, 1[.
    1.b. Déterminer pour tout x de [ − 1, 1[, L^′(x).
  2. Développement en série entière de f.
    2.a. Déterminer le développement en série entière en 0 de la fonction x ⟼ − ln(1 − x).
    2.b. En déduire le développement en série entière de la fonction f sur ] − 1, 1[.
  3. Prolongement par continuité de L en 1 .
    3.a. Montrer que L(x) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)(x^k)/(k^2) pour tout x ∈ ] − 1, 1[. Rappeler le théorème utilisé.
On rappelle le théorème radial d'Abel :
Soit une série entière de coefficients ( a_n ), de rayon non nul R et de somme S.
On suppose que la série converge en un point x_0 tel que |x_0| = R. Alors :
  • si x_0 = − R, alors lim_(x → (− R)^+)S(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n(− R)^n,
  • si x_0 = R, alors lim_(x → R^−)S(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n R^n.
    3.b. Vérifier que le développement de la question précédente est encore valable en x = − 1.
    3.c. Montrer que L admet un prolongement par continuité en 1.
On note désormais ce prolongement L(1) = lim_(x → 1; x < 1)L(x).
3.d. En déduire que l'intégrale impropre ∫_0^1(ln(1 − t))/t dt converge et que :
− ∫_0^1(ln(1 − t))/t dt = L(1) = (π^2)/6
  1. Application 1.
On considère l'intégrale impropre J = ∫_0^(+ ∞)x/(e^x − 1) dx.
4.a. Montrer que J converge.
4.b. Calculer en fonction de π la valeur de J.
(On peut utiliser le changement de variable t = 1 − e^(− x) ).
5. Application 2.
5.a. Montrer que pour tout x ∈ [ − 1, 1], L(x) + L(− x) = 1/2L(x^2).
(On peut par exemple dériver les deux membres de l'égalité).
5.b. En déduire en fonction de π la valeur de L(− 1).

IV. Etude d'une équation différentielle

On se propose de résoudre dans [ − 1, 1[ l'équation différentielle E :
xy^(′′) + y^′ = 1/(1 − x)
où y est une fonction réelle de la variable x.
On considère sur [ − 1, 0[ ∪ ]0, 1[ l'équation différentielle E^′ :
xz^′ + z = 1/(1 − x)
où z est une fonction réelle de la variable x.
K désigne un des deux intervalles [ − 1, 0[ ou ]0, 1[.
1.
1.a. Donner la solution générale de l'équation homogène associée à E^′ sur K.
1.b. Démontrer que les solutions de E^′ sur l'intervalle K sont les fonctions z de la forme : x ⟼ z(x) = f(x) + A/x où A est une constante réelle.
2. En déduire que les solutions de E sur l'intervalle K sont les fonctions y de la forme : x ⟼ y(x) = L(x) + Aln|x| + B où A et B sont des constantes réelles.
3. Soit y une solution éventuelle de l'équation E sur [ − 1, 1[.
3.a. Déterminer l'expression explicite de y sur [ − 1, 0[ et sur ]0, 1[.
3.b. En exprimant la continuité et la dérivabilité de y en 0 , déterminer les solutions éventuelles de E sur [ − 1, 1[.
3.c. Vérifier que les fonctions ainsi déterminées conviennent.
Fin de l'énoncé

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