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Centrale Mathématiques 1 TSI 2011Sujet et corrigé

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Équation fonctionnelle f(x+1)+f(x)=φ(x) : existence, unicité et deux exemples
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Le sujet étudie les fonctions vérifiant l'équation f(x+1)+f(x)=φ(x) avec une condition de limite nulle en +∞. Il démontre d'abord l'existence et l'unicité de la solution, puis l'illustre par deux exemples : une famille de polynômes construite via un endomorphisme de l'espace des polynômes, et une fonction définie par une intégrale à paramètre reliée à des séries alternées et aux séries de Fourier.

  1. 1Partie I : existence et unicité de la solution du système (1)Démonstration de l'unicité par récurrence et passage à la limite, puis construction de la solution comme somme d'une série alternée.
  2. 2Partie II : premier exempleÉtude d'un endomorphisme de l'espace des polynômes conservant le degré, permettant de construire les polynômes solutions associés à φ(x)=Q(x)exp(-x).
  3. 3Partie III : deuxième exempleÉtude de la fonction f(x)=intégrale de 0 à 1 de t^x/(1+t)dt : écriture en série, calcul de valeurs et d'équivalents, régularité C-infini, lien avec une série de Fourier, et rayon de convergence de la série entière associée à f en 0.

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Mathématique 1

Dans ce problème, on s'intéresse aux fonctions vérifiant le système de conditions suivant :
{∀x ∈ I, f(x + 1) + f(x) = φ(x); lim_(x → + ∞)f(x) = 0
où φ est une fonction décroissante sur I, intervalle de ℝ contenant ℝ_+, vérifiant la condition lim_(x → + ∞)φ(x) = 0. Dans la première partie, on montre l'existence et l'unicité de f vérifiant le système (1). Dans les deux parties suivantes, on étudie des exemples.

I Existence et unicité de la solution du système (1)

I.A - Unicité

Soient f et g deux solutions du système (1).
I.A.1) Soit x ∈ I.
a) Montrer que :
∀n ∈ ℕ, x + n ∈ I
b) Montrer que :
∀n ∈ ℕ, f(x) = g(x) + (− 1)^n(f(x + n) − g(x + n))
I.A.2) En déduire, par un passage à la limite, que f = g sur I.

I.B - Existence

I.B.1) Soit x ∈ I.
Montrer que la série ∑_(k ∈ ℕ)(− 1)^k φ(x + k) converge.
I.B.2) On pose, pour x dans I, f(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(− 1)^k φ(x + k).
a) Vérifier que :
∀x ∈ I, f(x + 1) + f(x) = φ(x)
b) Montrer que :
∀x ∈ I, φ(x) − φ(x + 1) ⩽ f(x) ⩽ φ(x)
c) En déduire que lim_(x → + ∞)f(x) = 0 et conclure.

II Premier exemple

On note ℝ[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, pour n dans ℕ, ℝ_n[X] le sous-espace vectoriel de ℝ[X] des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
Un polynôme sera noté indifféremment P ou P(X).

II.A - Étude d'une application linéaire

Soit θ l'application définie sur ℝ[X] par
∀P ∈ ℝ[X], θ(P)(X) = 1/eP(X + 1) + P(X)
où e désigne exp(1).
II.A.1) Montrer que θ réalise un endomorphisme de ℝ[X].
II.A.2) Vérifier que θ conserve le degré, c'est-à-dire vérifie, pour tout Pdansℝ[X], deg(θ(P)) = deg(P).
II.A.3) En déduire que θ est injective.
II.A.4) Montrer que la restriction de θ à ℝ_n[X] induit un endomorphisme de ℝ_n[X] noté θ_n.
II.A.5) Montrer que θ_n est bijectif.
II.A.6) En déduire que, pour tout Q dans ℝ_n[X], il existe un unique polynôme P dans ℝ_n[X] tel que :
1/eP(X + 1) + P(X) = Q(X)
II.A.7) Montrer que, si la fonction φ est de la forme x ↦ Q(x)exp(− x) où Q est dans ℝ[X], la solution du système (1) est de la forme x ↦ P(x)exp(− x) où P vérifie θ(P) = Q.

II.B - Exemple

Jusqu'à la fin de cette partie, on s'intéresse à l'unique polynôme P_n tel que :
1/eP_n(X + 1) + P_n(X) = X^n
c'est-à-dire tel que θ(P_n) = X^n (où n ∈ ℕ ).
II.B.1) Soit n dans ℕ^∗
a) Montrer que :
P_n^′ = nP_(n − 1)
b) Exprimer P_n^((k)) en fonction de P_(n − k) pour 0 ⩽ k ⩽ n.
II.B.2) En déduire, en utilisant la formule de Taylor, que :
P_n(X + 1) = ∑_(k = 0)^n(n/k)P_(n − k)(X)
II.B.3) Montrer que :
P_n(X) = e/(e + 1)X^n − 1/(e + 1)∑_(k = 1)^n(n/k)P_(n − k)(X)
II.B.4) Écrire un algorithme en français permettant de calculer P_n(x), n et x étant donnés par l'opérateur. Pour cet algorithme, on suppose l'existence d'une fonction binomial telle que binomial (n, k) renvoie la valeur (n/k).

III Deuxième exemple

Jusqu'à la fin de ce problème on prendra I = ] − 1, + ∞[ et φ(x) = 1/(x + 1).

III.A - Écriture intégrale de la solution

Soit f la fonction définie par
f(x) = ∫_0^1(t^x)/(1 + t)dt
avec la convention t^0 = 1.
III.A.1) Montrer que f est bien définie sur I.
III.A.2) Montrer que :
∀x ∈ I, f(x + 1) + f(x) = 1/(x + 1)
III.A.3) Montrer que :
∀x ∈ I, 0 ⩽ f(x) ⩽ 1/(x + 1)
III.A.4) En déduire que la solution du système (1) est la fonction f définie par :
∀x ∈ I, f(x) = ∫_0^1(t^x)/(1 + t)dt

III.B - Calcul de quelques valeurs et équivalents

III.B.1) Montrer que :
∀x ∈ I, f(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)((− 1)^k)/(x + k + 1)
III.B.2) Montrer que :
∑_(k = 1)^(+ ∞)((− 1)^(k + 1))/k = ln2
III.B.3) Montrer que :
∀n ∈ ℕ, f(n) = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)((− 1)^(k − n − 1))/k
III.B.4) Soit x dans I et soit N dans ℕ.
a) Montrer que :
|f(x) − ∑_(k = 0)^N((− 1)^k)/(x + k + 1)| ⩽ 1/(x + N + 2)
b) En déduire un algorithme de calcul de f(x) à ε près, x et ε étant donnés par l'opérateur.
c) Donner f(1, 5) à 10^(− 1) près.
III.B.5) Montrer, sans dérivation, que la fonction f est décroissante sur I.
III.B.6) En déduire que :
∀x ∈ ]0, + ∞[, 1/(2(x + 1)) ⩽ f(x) ⩽ 1/(2x)
III.B.7) Donner, en le justifiant, un équivalent simple de f(x) au voisinage de + ∞.
En déduire un équivalent de
∑_(k = n + 1)^(+ ∞)((− 1)^k)/k
III.B.8) La série de terme général ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)((− 1)^k)/k est-elle convergente ?

III.C - Étude de la fonction f

III.C.1) En utilisant l'expression intégrale de f, montrer que f est continue sur I.
III.C.2) En déduire, à l'aide des conditions (1), la limite de f(x) quand x tend vers -1 à droite ainsi qu'un équivalent de f(x) au voisinage de -1 à droite.

III.C.3)

a) Montrer que, pour tout x dans I et pour tout k dans ℕ, la fonction t ↦ t^x(lnt)^k est intégrable sur ]0, 1].
b) Soit x dans I, on pose I_k(x) = ∫_0^1 t^x(lnt)^k dt.
Déterminer une relation de récurrence vérifiée par la suite (I_k(x))_(k ⩾ 0) et calculer I_k(x) pour k dans ℕ.
III.C.4) On pose, pour k dans ℕ et x dans I,
φ_k(t, x) = ((lnt)^k)/(1 + t)t^x
a) Montrer que, pour tout x dans I, t ↦ φ_k(t, x) est intégrable sur ]0, 1].
b) Montrer que f est de classe C^∞ sur I et que
∀k ∈ ℕ, ∀x ∈ I, f^((k))(x) = ∫_0^1((lnt)^k)/(1 + t)t^x dt

III.C.5)

a) Montrer que lim_(x → + ∞)f^((k))(x) = 0.
b) En déduire que :
∀k ∈ ℕ, ∀x ∈ I, f^((k))(x) = (− 1)^k k!∑_(j = 0)^(+ ∞)((− 1)^j)/((x + j + 1)^(k + 1))

III.C.6)

a) Soit h la fonction définie sur ℝ, 2π-périodique et paire vérifiant :
∀t ∈ [0, π], h(t) = t
Montrer que h est développable en série de Fourier sur ℝ et déterminer les coefficients de Fourier réels de h.
b) En déduire que :
∑_(k = 0)^(+ ∞)1/((2k + 1)^2) = (π^2)/8
c) Calculer f^′(0) et donner l'équation de la tangente à l'origine pour la courbe représentant f.
III.C.7) Donner l'allure de la courbe représentant f dans un repère orthonormé.

III.C.8)

a) Montrer que :
∀n ∈ ℕ, (n!)/2 ⩽ |f^((n))(0)| ⩽ n!
b) En déduire que la série entière ∑_(n ⩾ 0)(f^((n))(0))/(n!)x^n admet un rayon de convergence strictement positif et le déterminer.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale TSI 2011 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale TSI 2011 ?

Il porte sur les séries numériques, les endomorphismes de l'espace des polynômes, les intégrales à paramètre, les séries de Fourier et les séries entières, autour d'une équation fonctionnelle reliant f(x+1) et f(x).

Les parties du sujet Centrale maths 1 TSI 2011 sont-elles indépendantes ?

La partie I établit un résultat général d'existence et unicité qui est ensuite appliqué dans les parties II et III, présentées comme deux exemples illustrant ce résultat sur des cas concrets différents.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser la convergence des séries numériques, les endomorphismes et le degré des polynômes, les théorèmes de continuité et de dérivation sous le signe intégrale, ainsi que les séries de Fourier et les séries entières.

Ce sujet fait-il intervenir les séries de Fourier ?

Oui, la partie III utilise le développement en série de Fourier d'une fonction triangulaire pour calculer la somme d'une série numérique et en déduire la dérivée en 0 de la fonction f étudiée.

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