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Centrale Mathématiques 1 TSI 2003Sujet et corrigé

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MATHÉMATIQUES I

L'épreuve est constituée par deux problèmes indépendants.

Partie I -

α étant un réel donné, on désigne par f_α la fonction définie sur ℝ^+par :
f_α(x) = x/(1 + x^α sin^2 x),
et, dans le cas où l'intégrale est convergente, on pose :
I(α) = ∫_0^(+ ∞)f_α(x)dx

I.A -

I.A.1) On suppose α < 0.
Déterminer la limite de la fonction f_α quand x tend vers + ∞.
Lintégrale de la fonction f_α est-elle convergente sur ℝ^+?
I.A.2) Reprendre la question précédente dans le cas où α = 0.
I.A.3) Montrer que:
f_α(x) ≥ x/(1 + x^α)
L'intégrale de la fonction f_α est-elle convergente sur ℝ^+quand α vérifie 0 < α ≤ 2 ?

Filière TSI

I.B - On suppose α > 0. On pose :
v_n = (n − 1/2)π∫_((n − 1/2)π)^((n + 1/2)π)(dx)/(1 + ((n + 1/2)π)^α sin^2 x); u_n = ∫_((n − 1/2)π)^((n + 1/2)π)f_α(x)dx
et w_n = (n + 1/2)π∫_((n − 1/2)π)^((n + 1/2)π)(dx)/(1 + ((n − 1/2)π)^α sin^2 x).
I.B.1) Montrer que l'intégrale de la fonction f_α est convergente sur ℝ^+si et seulement si la série
∑_(n = 1)^(+ ∞)u_n est convergente.
I.B.2) Montrer que:
∀n ∈ N^∗, v_n ≤ u_n ≤ w_n
I.B.3) Montrer que
w_n = (2n + 1)π∫_0^(π/2)(du)/(1 + ((n − 1/2)π)^α sin^2 u) et v_n = (2n − 1)π∫_0^(π/2)(du)/(1 + ((n + 1/2)π)^α sin^2 u)
I.B.4) h étant un réel strictement positif, calculer
∫_0^(π/2)1/(1 + h^2 sin^2 x)dx
et en déduire v_n et w_n.
I.B.5) Montrer qu'il existe une constante K strictement positive telle que
v_n ≥ (Kπ^(2 − α/2))/((n + 1)^(α/2 − 1))
pour tout entier naturel n non nul et une constante K^′ strictement positive telle que
w_n ≤ (K^′ π^(2 − α/2))/((n − 1)^(α/2 − 1))
pour tout entier naturel n strictement supérieur à 1 .
I.B.6) En déduire que l'intégrale de la fonction f_α est convergente sur ℝ^+si et seulement si α > 4.
I.C - On pose
φ(α) = ∫_(π/2)^(+ ∞)f_α(x)dx
pour tout α réel strictement supérieur à 4 .
I.C.1) Montrer que φ est décroissante sur ]4, + ∞[.
I.C.2) En utilisant la minoration de v_n établie à la question I.B.5, montrer que φ(α) tend vers l'infini quand α tend vers 4.
I.C.3) En utilisant la majoration de w_n établie à la question I.B.5, montrer que φ(α) tend vers 0 quand α tend vers + ∞.

Partie II -

On considère la série de fonctions
∑_(n = 1)^(+ ∞)u_n(x) avec u_n(x) = (n^x)/(n!).
On pose
S_n(x) = ∑_(k = 1)^n u_k(x)
II.A - Pour quelles valeurs de x la série est-elle convergente ?
On pose alors
S(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)u_n(x)
II.B - Montrer que S est à valeurs strictement positives et que la fonction S est strictement croissante.
II.C - Calculer S(0), S(1), S(2), S(3).
II.D - Montrer que, pour tout réel x strictement négatif et tout entier naturel n strictement supérieur à 1 :
0 < S(x) ≤ S_(n − 1)(x) + (n^x)/(n!)(1 + 1/n)
On remarquera que, lorsque k est strictement supérieur à n, on a:
(k/n)^x < 1 et (n!)/(k!) ≤ (1/(n + 1))^(k − n)
II.E - En déduire une valeur approchée de S(− 1) à 10^(− 2) près.
II.F - Étudier les limites de S quand x tend vers + ∞, quand x tend vers − ∞.
II.G - Donner l'allure de la représentation graphique de S, en précisant la nature des branches infinies.
II.H - Démontrer que :
∀x ∈ [0, 1], ∀p ∈ N^∗, ∑_(k = 0)^p(x^k)/(k!) ≤ e^x ≤ ∑_(k = 0)^(p − 1)(x^k)/(k!) + e(x^p)/(p!)
II.I - Démontrer que l'intégrale
∫_0^1(e^t − 1)/t dt
est convergente.
II.J - Démontrer que
∫_0^1(e^t − 1)/tdt = S(− 1)

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