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CCINP Mathématiques 2 TSI 2003Sujet et corrigé

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE FILIÈRE TSI - SESSION 2003

MATHÉMATIQUES 2Durée : 3 heures

Les calculatrices sont autorisées.
NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
M_3(C) (resp. M_3(R) ) est l'anneau des matrices carrées 3 × 3 à coefficients dans C (resp. dans R ). On note I la matrice identité, et F = (0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 0, 0) la matrice dite de Frobenius.
L'objet de ce problème est d'étudier le sous-anneau de M_3(C) engendré par F, et d'en donner quelques applications. Les parties II et III sont, dans une large mesure, indépendantes.
Partie I: Dans toute cette partie, on travaille dans M_3(C).
  1. Soit χ_F(t) = det(F − tl) le polynôme caractéristique de F. Donner χ_F(t) et en déduire que F est diagonalisable sur C. On posera j = exp((i2π)/3).
  2. On note :
A = {xI + yF + zF^2, (x, y, z) ∈ C^3} = {(x, y, z; z, x, y; y, z, x), (x, y, z) ∈ C^3}}}{{
a/ Montrer que A est un sous-espace vectoriel de M_3(C), dont on donnera une base et la dimension.
b/ Montrer que le produit de deux éléments de A est commutatif et reste dans A.
3. Montrer que tous les éléments de A sont diagonalisables dans une même base.
4. Déterminer alors une expression factorisée du déterminant des matrices A = xI + yF + zF^2 en fonction de x, y, z, puis donner une condition d'inversibilité de ces matrices.
5. Soit A ∈ A, A inversible. On établit dans cette question que A^(− 1) ∈ A. Pour cela, on considère l'application Φ : A → A
M ↦ AM
a/ Vérifier que Φ est bien un endomorphisme de A .
b/ Montrer que c'est un isomorphisme puis que A^(− 1) ∈ A.
c/ Proposer une méthode pour vérifier cette conclusion ( A^(− 1) ∈ A ) en utilisant l'outil calcul formel.
Partie II: Soit ε_3 un espace affine euclidien réel de dimension 3, d'espace vectoriel associé E_3. On rapporte ε_3 (resp. E_3 ) à un repère orthonormé direct ( O, i⃗, j⃗, k⃗ ), (resp. la base orthonormée
directe ( i⃗, j⃗, k⃗ )). On note classiquement u⃗ ⋅ v⃗ (resp. u⃗ ∧ v⃗ ) le produit scalaire (resp. vectoriel) de deux vecteurs u⃗ et v⃗, et ‖u⃗‖ = √(u⃗ ⋅ u⃗) la norme euclidienne d'un vecteur u⃗.
On considère l'ensemble S des points M de ε_3 défini par :
S = {M(x, y, z) ∈ ε_3, det(xI + yF + zF^2) = 1 où x, y, z sont réels }
On étudie quelques propriétés de S dans cette partie.
  1. Ecrire une équation cartésienne de S dans le repère ( O, i⃗, j⃗, k⃗ ). On vérifiera que cette équation peut se factoriser en :
    (x + y + z)q(x, y, z) = 1, où q(x, y, z) est une quantité à expliciter. En déduire que :
M(x, y, z) ∈ S ⇔ 1/2(OM^(→−) ⋅ a⃗)‖OM^(→−) ∧ a⃗‖^2 = 1
avec a⃗ = i⃗ + j⃗ + k⃗.
On obtient ainsi une caractérisation géométrique de S.
2. En déduire que S est une surface de révolution autour de l'axe Δ passant par O et dirigé par a⃗. On pourra introduire le projeté orthogonal H de M sur Δ.
3.
a/ Donner une équation cartésienne de S dans un repère orthonormé attaché à l'axe de révolution et d'origine O. On posera K⃗ = (a⃗)/(‖a⃗‖) et on choisira par conséquent deux vecteurs I⃗ et J⃗ (qu'il n'est pas utile d'expliciter). On pourra utiliser la caractérisation géométrique de S donnée en 1.
b/ En déduire la nature des méridiennes de S, c'est-à-dire des courbes intersection de S avec un plan contenant l'axe. En dessiner une, puis représenter S dans l'espace.
4. Pour M(x, y, z) ∈ S et M^′(x^′, y^′, z^′) ∈ S, on définit le point M^(′′)(x^(′′), y^(′′), z^(′′)) = M^∗ M^′ par :
x^(′′) = xx^′ + yz^′ + zy^′ y^(′′) = xy^′ + yx^′ + zz^′ z^(′′) = xz^′ + yy^′ + zx^′
a/ En calculant (xI + yF + zF^2)(x^′ I + y^′ F + z^′ F^2), montrer que M^(′′) ∈ S. On a ainsi muni S d'une loi interne *.
b/ Soit M(x, y, z) ∈ S. On pose A = (xI + yF + zF^2). Justifier que A^(− 1) existe et peut se décomposer en : A^(− 1) = x^′ I + y^′ F + z^′ F^2 avec (x^′, y^′, z^′) ∈ R^3, et que M^′(x^′, y^′, z^′) ∈ S. Déterminer M∗M^′. c/ Montrer alors que ( S, ∗ ) est un groupe commutatif.
5. Soient P le plan d'équation cartésienne x + y + z = 1 et C = P ∩ S.
a/ Reconnaître C et en donner les éléments caractéristiques.
b/ Montrer que C est stable par la loi *, puis que c'est un sous-groupe de ( S, ∗ ).
Partie III : Dans cette partie, on se place toujours dans l'espace affine euclidien réel ε_3 rapporté à un repère orthonormé direct ( O, i⃗, j⃗, k⃗ ).
Soient les points A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) et C(0, 0, 1). Pour tout point M(x, y, z) de ε_3, on note indifféremment φ(M) ou φ(x, y, z) la quantité :
φ(x, y, z) = ‖OM^(→−)‖ + ‖AM^(→−)‖ + ‖BM^(→−)‖ + ‖CM^(→−)‖
On souhaite minimiser cette quantité.
  1. Calculer φ(O). Vérifier que pour tout M ∈ ε_3 tel que ‖OM^(→−)‖ > 3, φ(x, y, z) > 3. En déduire que la fonction φ admet un minimum.
  2. Montrer que φ n'atteint son minimum en aucun des points O, A, B, C. Pour l'étude en O, on pourra examiner le comportement de φ au voisinage de O , le long de l'axe Δ passant par O et dirigé par a⃗ = i⃗ + j⃗ + k⃗; et donc définir pour l'occasion la quantité Φ(x) = φ(x, x, x).
    Les questions suivantes précisent en quel(s) point(s) φ est minimale.
  3. Soit r l'application affine de ε_3 fixant O et transformant A en C, B en A et C en B. On note r⃗ son application linéaire associée. Justifier que r est bien définie, que la matrice de r⃗ relativement à la base B = (i⃗, j⃗, k⃗) est F, et montrer que r⃗ est une isométrie vectorielle. Quelle est la nature de r ? On précisera ses éléments caractéristiques.
  4. Pour tout M ∈ ε_3, on pose M^′ = r(M). Montrer que φ(M) = φ(M^′).
  5. Soit P un point en lequel φ est minimale. On montre dans cette question que P est sur la droite Δ. Pour cela, on procède par l'absurde, en supposant que P n'est pas sur cette droite.
    a/ Soit P^′ = r(P). Pourquoi les vecteurs OP^(→−) et OP^′^(→−) ne peuvent-ils pas être colinéaires ?
    b/ Soit P^(′′) = r(P^′) = r^2(P) et soit Q l'isobarycentre de P, P^′ et P^(′′).
    Montrer que φ(Q) ≤ 1/3(φ(P) + φ(P^′) + φ(P^(′′))).
    c/ Déduire du 4 que φ(Q) ≤ φ(P), et du 5.a. que cette inégalité est en fait stricte. Conclure.
  6. On sait désormais qu'on doit rechercher le minimum sur l'axe Δ. Il s'agit donc de minimiser Φ(x) = φ(x, x, x).
    a/ Montrer que Φ(x) > Φ(0) pour tout x < 0.
    b/ Etudier le sens de variation de la fonction Φ sur R_+.
    c/ Conclure que φ atteint une seule fois son minimum, au point P(1/6, 1/6, 1/6), et que ce minimum vaut 5/(√3).

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