CCINP Mathématiques 2 TSI 2001Sujet et corrigé

Durée : 3 heures

Il est rappelé aux candidats qu'il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction des copies.

On appelle base canonique de R^n la base ( e_1, …, e_n ) où e_1 = (1, 0, …, 0), …, e_n = (0, …, 0, 1).
Si un élément x = (x_1, …, x_n) de R^n vérifie x_i ≥ 0 (respectivement x_i > 0 ) pour tout i ∈ {1, …, n}, on note x ≥ 0 (respectivement x > 0 ). Si y est un élément de R^n, x ≥ y signifie x − y ≥ 0, et de même x > y signifie x − y > 0.

On désigne par ℳ_h(R) le R-espace vectoriel des matrices carrées n × n à coefficients réels, et par L_n(R) le R-espace vectoriel des applications linéaires de R^n dans R^n.

Si A est un élément de ℳ_h(R), on note A = (a_(i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n) si a_(i, j) est le coefficient de la i-ème ligne et de la j-ème colonne de A.

On note I_n la matrice unité de R^n et Id_n l'application identité de R^n.

Si A = (a_(i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n) est un élément de ℳ_n(R) et u l'élément de ℒ_n(R) admettant A comme matrice dans la base canonique de R^n, pour tout élément x = (x_1, …, x_n) de R^n, on note parfois Ax au lieu de u(x) l'image de x par u : Ax = ((Ax)_1, …, (Ax)_n), avec (Ax)_i = ∑_(j = 1)^n a_(i, j)x_j, pour tout i ∈ {1, …, n}.

On dit que A = (a_(i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n), un élément de 𝒲_h(R), est à termes positifs (respectivement strictement positifs) si a_(i, j) ≥ 0 (respectivement a_(i, j) > 0 ) pour tout (i, j) ∈ {1, …, n}^2. On note alors A ≥ 0 (respectivement A > 0 ).

I 1 Dans R^2 ou R^3, donner un exemple de matrice A telle que ni A ni − A ne soient à termes positifs, et pour laquelle il existe un vecteur x ≥ 0 tel que ni Ax ni − Ax ne soient positifs.

On se place maintenant en dimension n quelconque.
Soit A = (a_(i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n) un élément de ℳ_h(R).
I 2 Montrer que A est à termes positifs si et seulement si, pour tout élément x de R^n tel que x ≥ 0, on a Ax ≥ 0.

I 3 Montrer que A est à termes strictement positifs si et seulement si, pour tout élément x de R^n tel que x ≥ 0 et x ≠ 0, on a Ax > 0.

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I 4.1 Montrer que tout vecteur x ≥ 0 est limite d'une suite de vecteurs strictement positifs de R^n.
I 4.2 Montrer réciproquement que si x est limite d'une suite de vecteurs strictement positifs de R^n, on a x ≥ 0.

I 4.3 Montrer que si, pour tout élément x de R^n tel que x > 0, on a Ax > 0, alors A cst à termes positifs. La matrice A est-elle nécessairement à termes strictement positifs ?

I 5 Soient a, b, c trois nombres réels > 0, et A la matrice (en dimension 3 de nouveau)

I5.1 Montrer que λ_1 = a + b + c est valeur propre de A, et trouver un vecteur propre associé.
I 5.2 Montrer que le sous-espace propre associé à λ_1 est une droite vectorielle.
15.3 Montrer que si λ est une valeur propre de A autre que λ_1, alors λ ∈ R et |λ| < λ_1.

Soit A une matrice inversible, à termes strictement positifs et symétrique, de valeurs propres réelles distinctes ou non λ_1, λ_2, …, λ_n rangées par ordre décroissant des valeurs absolues:

On admettra que :
i) λ_1 est positive et simple : on note λ_1 = r et s = |λ_2|, s < r;
ii) les vecteurs propres associés à λ_1 = r sont tous colinéaires à un vecteur z > 0 : quitte à multiplier z par un scalaire positif, on suppose en outre que ‖z‖ = 1, où ‖. ‖désignelanormeeuclidienneusuelledeR^n.

On note <, > le produit scalaire associé à la norme.

II 1 Soit P la matrice de la projection orthogonale sur la droite engendrée par z dans la base canonique de R^n, et Q = I_n − P. Montrer que, pour tout x élément de R^n, on a les relations suivantes :

II 1.1

II 2 On pose t_0 = 1/(√n)(1, …, 1), élément de R^n, et on définit la suite (t_k)_(k ∈ N) de vecteurs de R^n par la relation de récurrence

(Il résulte de l'inversibilité de A que At_k ≠ 0 si t_k ≠ 0, de sorte que cette définition a bien un sens.)
II 2.1 Vérifier que, si t_0 = z, alors t_k = z pour tout k ∈ N.
On suppose t_0 ≠ z dans la suite de la question II.2.
II 2.2 Montrer que t_k > 0 et t_k ≠ z pour tout k ∈ N.

II 2.3 Prouver que ⟨t_k, z⟩ ∈ ]0, 1[ pour tout k ∈ N et que

En déduire que la suite (⟨t_k, z⟩)_(k ∈ N) est croissante et convergente, puis que

II 2.4 Vérifier que, pour tout k ≥ 0,

En déduire que lim_(k → + ∞)t_k = z.

II 2.5 Prouver les identités

pour tout k ∈ N.

II 3 A partir des résultats précédents, proposer un algorithme itératif de calcul approché de r et de z.
En supposant disponibles les routines de calcul effectuant un produit matrice × vecteur et calculant la norme d'un vecteur, on décrira l'initialisation de l'algorithme proposé, le contenu d'une boucle d'itération et la procédure d'arrêt des itérations. On demande de justifier les choix effectués, notamment dans la procédure d'arrêt. En revanche, la description des programmes (organigramme, déclaration des variables, etc) est hors-sujet.