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MATHÉMATIQUES II

Le conditionnement d'une matrice est un réel qui mesure les erreurs d'approximation commises lors de la résolution d'un système linéaire dont les données ne sont pas connues avec précision. Plus ce réel est grand, moins le résultat est fiable. L'objectif de ce problème est de montrer que certaines matrices (appelées matrices de Hankel) ont un conditionnement qui croît exponentiellement avec leur taille.

Notations :

$n$ désigne un entier supérieur ou égal à 2 . $M_n$ (IR) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients réels, $GL_n(ℝ)$ l'ensemble des matrices inversibles d'ordre $n$ et $I_n$ l'élément unité de $GL_n(ℝ)$ .
IR $^n$ est muni de son produit scalaire canonique que I'on notera <.,.> . L'ensemble $M_(n, 1)$ (IR) des matrices réelles à $n$ lignes et une colonne sera identifié à $IR^n$ .
La norme associée sera notée $‖$ . $‖, desortequepourx \in IR^n, ‖x‖ = \sqrt(⟨x, x⟩)$ .
La base canonique de $IR^n$ est notée $(e_1, \dots, e_n)$ .
Si $A \in M_n(IR)$ , on notera $a_(i, j)$ ses coefficients.
Si $c_1, \dots, c_n$ sont des vecteurs de $IR^n$ , on notera $[c_1, \dots, c_n]$ la matrice de $M_n(IR)$ dont la i -ème colonne est le vecteur $c_i$ , pour $i \in {1, \dots, n}$ .
Si A est une matrice, on notera A* sa transposée.

Question préliminaire: Soit

A \in M_n(ℝ)

symétrique.

On dit que $A$ est positive si et seulement si $\forallX \in M_(n, 1)(IR), X*AX \geq 0$ .
On dit que $A$ est définie positive si et seulement si $∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ)∖{0}$ , $X*AX > 0$ .
Montrer qu'une matrice symétrique positive(resp. définie positive) a ses valeurs propres positives (resp. strictement positives).

Filière TSI

Partiel - Norme N sur $M_n(IR)$

I.A - Soit

A

une matrice de

M_n(IR)

. Montrer que l'on peut définir le réel

N(A)parN(A) = sup_(‖x‖ = 1)(‖Ax‖)/(‖x‖)

et que l'on a alors

N(A) = sup_(x \neq 0)(‖Ax‖)/(‖x‖)

.
I.B - Montrer que

N

est une norme sur

M_n(

)

et que l'on a

\forall(A, B) \in M_n(IR)^2, N(AB) \leq N(A)N(B)

I.C - Soit

c_1, \dots, c_n

des vecteurs de IR

^n

. Montrer que

N([c_1, \dots, c_n]) \geq max_(i = 1\dotsn)‖c_i‖

I.D - Soit v un vecteur de

IR^n

. Montrer que

N([0, \dots, 0, v]) = ‖v‖

I.E - Soit

A \in M_n(IR)

. Montrer que

A*A

est symétrique positive et en déduire que

N(A) = \sqrt(ρ(A*A))

où

ρ(A^* A)

désigne la plus grande valeur propre de

A*A

.
I.F - En déduire que:

\forallA \in M_n(ℝ), N(A*A) = N(A)^2

Partie II - Conditionnement

A \in GL_n(ℝ)

, on appelleconditionnement de

A

leréel

cond(A) = N(A)N(A^(- 1))

.
II.A - Soit

A \in M_n(ℝ)

telle que

N(A) < 1

. On pose

S_m = \sum_(k = 0)^m A^k

. Montrer quela suite (

S_m

) converge et en déduire que

I_n - A

est inversible.
II.B - Soit

A \in GL_n(IR)

B \in M_n(IR)∖GL_n(IR)

. En remarquant que

B = A(I_n - A^(- 1)(A - B))

montrer que cond

(A) \geq (N(A))/(N(A - B))

.
II.C - Soit

A = [c_1, \dots, c_n] \in GL_n(IR)

v = c_n - p(c_n)

où

p \in L(ℝ^n)

est le projecteur orthogonal sur

Vect(c_1, \dots, c_(n - 1))

. On pose

M = [0, \dots, 0, v]

. Montrer que

A - M

n'est pas inversible et en déduire que

cond(A) \geq (‖C_1‖)/(‖v‖)

Partie III - Matrices de type VDM

On appelle matrice de type VDM une matrice de la forme

ù A = (q_1, q_1 x_1, \dots, \dots, q_1 x_1^(n - 1); q_2, q_2 x_2, \dots, \dots, q_2 x_2^(n - 1); \dots, \dots, \dots, \dots, \dots; q_n, q_n x_n, \dots, \dots, q_n x_n^(n - 1)) où (x_1, \dots, x_n) et (q_1, \dots, q_n) \in ℝ^n.

On a donc

a_(i, j) = q_i x_i^(j - 1)

pour tout

(i, j) ∈ {1, …, n}^2

.
On suppose dans cette partie que A est inversible et que

∀i ∈ {1, …, n}, |x_i| ≤ 1

. On note

q = (q_1; ⋮; q_n)

X = (x_1, 0, \dots, 0; 0, x_2, \dots, ⋮; ⋮, \dots, \dots, 0; 0, \dots, 0, x_n)

, de sorte que

A = [q, Xq, X^2 q, \dots, X^(n - 1)q]

. On note enfin

v = x^(n - 1)q - p(x^(n - 1)q)

où

p

est le projecteur orthogonal sur

H = Vect(q, Xq, \dots, X^(n - 2)q)

III.A - Montrer que

\forallu \in H, ‖v‖ \leq ‖x^(n - 1)q - u‖

et en déduire que pour tout polynôme

P

de degré

n - 1

, unitaire, à coefficients réels

‖v‖ \leq ‖P(X)q‖

III.B - Montrer que pour tout polynôme

P

de degré

n - 1

, unitaire, à coefficients réels

cond(A) \geq 1/(sup_(x \in [ - 1, 1])|P(x)|)

III.C - On définit la suite

(T_n)_(n \in IN)

de polynômes par

{T_0(X) = 1; T_1(X) = X; T_(n + 2)(X) = 2XT_(n + 1)(X) − T_n(X) pour tout n ∈ IN

Montrer que

\foralln \in IN, \forallθ \in 𝕀ℝ, T_n(cosθ) = cos(nθ)

et en déduire que

sup_(x \in [ - 1, 1])|T_n(x)| \leq 1

III.D - Déterminer le degré et le coefficient dominant de

T_n

pour tout

n \in IN

.
III.E - En déduire que

cond(A) \geq 2^(n - 2)

On admet que lorsque les

x_i

sont quel conques, on a

cond(A) \geq (\sqrt3)/82^(n/2)

Partie IV - Matrices de Hankel

IV.A - Soit

B \in GL_n(IR)

. En appliquant le procédé d'orthonormalisation de Schmidt aux colonnes de

B

, montrer qu'il existe une matrice

Q

orthogonale et une matrice

R

triangulaire supérieure telles que

B = QR

.
IV.B - Soit

A \in M_n(IR)

symétrique définie positive. Montrer qu'il existe

B \in GL_n(ℝ)

telle que

A = B*B

et en déduire qu'il existe une matrice

R

triangulaire supérieure inversible telle que

A = R*R

On appelle matrice de Hankel une matrice de la forme

ù é A = (α_1, α_2, α_3, \dots, α_n; α_2, α_3, \dots, \dots, α_(n + 1); α_3, \dots, \dots, \dots, \dots; \dots, \dots, \dots, \dots, \dots; α_n, a_(n + 1), \dots, \dots, α_(2n - 1)) où α_1, \dots, α_(2n - 1) sont des réels.

On a donc

a_(i, j) = α_(i + j − 1) pour tout (i, j) ∈ {1, …, n}^2.

A est symétrique et on suppose qu'elle est définie positive. On considère donc

R \in GL_n(IR)

triangulaire supérieure telle que

A = R*R

.
IV.C - On note

r_(1, 1)^(- 1)R = [c_1, \dots, c_n]

. Exprimer

⟨c_i, c_j⟩

à l'aide des coefficients de

A

et de

r_(1, 1)

et en déduire que

∀(i, j) ∈ {1, …, n − 1}^2, ⟨c_(i + 1), c_j⟩ = ⟨c_i, c_(j + 1)⟩

IV.D - Montrer que

Vect(c_1, \dots, c_(n - 1)) = Vect(e_1, \dots, e_(n - 1))

IV.E - Montrer qu'il existe

T \in M_n(IR)

telle que

{T(c_k) = c_(k + 1) pour tout k ∈ {1, …, n − 1}; T(e_n) = T^∗(e_n)

IV.F - Montrer que

r_(1, 1)^(- 1)R = [e_1, Te_1, T^2 e_1, \dots, T^(n - 1)e_1]

et en déduire que

∀(i, j) ∈ {0, …, n − 2}^2, < T(T^i e_1), T^j e_1>=<T^∗(T^i e_1), T^j e_1 >

IV.G - Montrer que pour tout

x

y

de Vect

(e_1, Te_1, \dots, T^(n - 2)e_1, e_n)

on a

⟨Tx, y⟩ = ⟨T^* x, y⟩

IV.H - En déduire que

T

est symétrique.
IV.I - En diagonalisant

T

, montrer qu'il existe une matrice orthogonale

Q

et une matrice

B

detypeVDM telles que

R = Q^* B

.
IV.J - En déduire que le conditionnement d'une matrice de Hankel A définie positive vérifie cond

(A) \geq 3 \cdot 2^(n - 6)

.
IV.K - Un exemple : en considérant sur

IR_(n - 1)[X]

(ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à

n - 1

) le produit scalaire

(P, Q) = \int_0^1 P(t)Q(t)dt,

montrer que la matrice

H_n = (1, 1/2, 1/3, \dots, 1/n; 1/2, 1/3, \dots, \dots, 1/(n + 1); 1/3, \dots, \dots, \dots, \dots; \dots, \dots, \dots, \dots, \dots; 1/n1/(n + 1), \dots, \dots, 1/(2n - 1))

est une matrice de Hankel définie positive.

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Partie IV - Matrices de Hankel

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Partiel - Norme N sur $M_n(IR)$