Centrale Mathématiques 2 TSI 2002Sujet et corrigé

Dans tout le problème, M_2 désigne le ℝ-espace vectoriel des matrices carrées 2 × 2 à coefficients réels dont l'élément nul est noté 0 , et S_2 le sous-espace vectoriel de M_2 formé des matrices symétriques.
Si A et B sont deux éléments de M_2, le produit de A par B est noté AB, la matrice transposée de A est notée ^t A.
D'autre part, on note Ψ l'application de ℝ^4 dans M_2 qui à (a, b, c, d) ∈ ℝ^4 fait correspondre la matrice

On rappelle aussi que Ψ est linéaire et bijective.

Pour tout élément A de M_2, s'écrivant A = (a, b; c, d), on définit la trace de A par :
tr(A) = a + d

I.A - Dans cette question, on définit une structure euclidienne sur M_2.

À toute matrice M de M_2, on associe sa trace tr(M) : on définit ainsi l'application trace notée tr de M_2 dans ℝ.
I.A.1) Montrer que l'application trace est linéaire de M_2 dans ℝ.

Comparer pour (A, B) ∈ M_2 × M_2, les réels tr(AB) et tr(BA), puis tr(A) et tr(^t A).
I.A.2) On pose

Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur M_2.
Pour toute la suite du problème, on pose :

On note également I = E_1 + E_2 l'élément unité de M_2.

I.B - Montrer que la famille B_0 = (E_1, E_2, E_3, E_4) est une base orthonormée de M_2 pour ce produit scalaire.
En déduire une base orthonormée de S_2.
I.C - Étude de la forme «déterminant» sur M_2

À toute matrice M de M_2, on associe son déterminant det(M) : on définit ainsi une application notée det de M_2 dans ℝ.
I.C.1) On pose

Exprimer det(M) en fonction de (x_1, x_2, x_3, x_4).
I.C.2) Montrer que det ∘ Ψ est une forme quadratique sur ℝ^4, dont on précisera la matrice dans la base b = (e_1, e_2, e_3, e_4), avec :

On se propose dans cette partie de déterminer les applications q de M_2 dans ℝ telles que q o Ψ soit une forme quadratique non nulle sur ℝ^4 et qui vérifient

pour tout couple de matrices (M, N) ∈ M_2 × M_2.
II.A - Donner un exemple d'application q solution du problème exposé au début de la partie II.
Dans les questions suivantes de la partie II, q est une application de M_2 dans ℝ telle que q ∘ Ψ est une forme quadratique non nulle sur ℝ^4 et qui vérifie (1).
II.B - Calculer q(0), q(I).
II.C - Montrer que si le rang de M est égal à 2, q(M) est non nul.
II.D - On suppose dans cette seule question que M ∈ M_2 est une matrice de rang égal à 1 . Soit f l'endomorphisme de ℝ^2 dont la matrice dans la base canonique B_1 = (ε_1, ε_2) de ℝ^2 est égale à M.
II.D.1) Montrer qu'il existe B_2 = (u, v) une base de ℝ^2 telle que le noyau de f (noté kerf ) soit engendré par v (c'est-à-dire kerf = Vect(v) ), puis qu'il existe un vecteur w ∈ ℝ^2 tel que B_3 = (w, f(u)) soit une base de ℝ^2.
En déduire que l'on peut trouver deux matrices P et Q inversibles telles que

II.D.2) En déduire que q(M) = 0.
II.E - Expliquer pourquoi on peut ainsi conclure que M est une matrice inversible si et seulement si q(M) ≠ 0
II.F - Soit M une matrice fixée de M_2 que l'on supposera trigonalisable, dont les valeurs propres sont notées λ_1 et λ_2 (éventuellement confondues). On pose

On notera d'autre part φ l'application de M_2 × M_2 dans ℝ définie par

Par extension des notions vues en cours, si l'application q est dite «forme quadratique » sur M_2 alors φ est dite «forme polaire» associée à q.
II.F.1) Montrer que f est une fonction polynomiale dont on précisera le degré et les racines.
II.F.2) Exprimer g(λ) en fonction de q(M), φ(M, I) et λ. Quelles sont les racines de l'équation g(λ) = 0 ? En déduire que q(M) = det(M).
II.G - Soit

une matrice quelconque de M_2.
II.G.1) Donner un exemple de matrice M pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode de la question II.F.
II.G.2) Calculer q(M) en fonction de a, b, c, d lorsque a ≠ 0. On pourra utiliser la méthode du pivot de Gauss et son interprétation en terme de produits matriciels pour trigonaliser M.
II.G.3) On suppose a = 0 et c ≠ 0. Calculer le produit

II.G.4) En déduire une formule de q(M) en fonction de a, b, c, d valable pour toute matrice M.

Dans ce qui suit, S_2 est rapporté au repère orthonormé direct R = (0, E_1, E_2, E_3) les matrices E_1, E_2, E_3 ayant été définies à la partie I. Les matrices sont donc ici considérées comme des point de l'espace affine euclidien S_2. Pour tout réel k, on note Γ_k l'ensemble des matrices M = xE_1 + yE_2 + zE_3 de S_2 dont le déterminant est égal à k.

III.A - Montrer que Γ_k est une quadrique et préciser son équation cartésienne dans R.
III.B - Dans cette question, k = 0.
III.B.1) Montrer que par tout point M de Γ_0, M ≠ 0, passe une droite Δ_M contenue dans Γ_0.
III.B.2) Soit M_0(x_0, y_0 z_0) ∈ Γ_0, M_0 ≠ 0. Déterminer l'équation cartésienne du plan tangent à Γ_0 en M_0, et vérifier qu'il contient Δ_(M_0).
III.C - Dans cette question k = − 1.
III.C.1) Déterminer et tracer la projection orthogonale de Γ_(− 1) sur le plan xOy.
III.C.2) Déterminer et tracer la projection orthogonale de Γ_(− 1) sur le plan xOz.
III.C.3) Montrer que Γ_(− 1) contient au moins deux droites strictement parallèles (on pourra exploiter III.C.2).
III.D - Équation réduite de Γ_k
III.D.1) Déterminer une équation réduite de Γ_k sous la forme

On précisera U et V à l'aide de E_1, E_2 et on notera X, Y, Z Les coordonnées de M dans ce nouveau repère.
III.D.2) Reconnaître la surface Γ_k selon les valeurs de k.

On s'intéresse dans cette partie aux applications Φ de M_2 dans M_2 qui vérifient le groupe des propriétés suivantes, appelé P :

IV.A - Dans cette question, on s'intéresse au cas général, et Φ est une application vérifiant la propriété P .
IV.A.1) Montrer que :
a) Φ(I) = I;
b) Φ(S_2) = S_2;
c) Φ(E_4) = ± E_4.
IV.A.2) Montrer que pour toute matrice M ∈ M_2, Φ(M) est inversible si et seulement si M est inversible. En déduire Φ(Γ_0).
IV.B - Dans cette question, on étudie un exemple d'application Φ. Soit A une matrice de S_2 (c'est-à-dire telle que A = ^t A ) s'écrivant : A = (a, b; b, c).
On définit l'application Φ_A de M_2 dans M_2 par: Φ_A(M) = AMA.
IV.B.1) Montrer que Φ_A vérifie la propriété P si et seulement si A^2 = I.

On suppose dans les questions IV.B. 2 à IV.B. 5 que Φ_A vérifie la propriété P et que A est distinct de I et de − I.
IV.B.2) Montrer que A est une matrice orthogonale symétrique et en déduire qu'il est possible d'exprimer les valeurs de a, b, c en fonction d'un seul paramètre θ ∈ [0, 2π[. En déduire Φ_A(E_4).
IV.B.3) Montrer que A décrit un cercle de S_2 dont on précisera le plan à l'aide de deux vecteurs directeurs, ainsi que le centre et le rayon.
IV.B.4) Soit M ∈ M_2. Calculer la norme euclidienne de Φ_A(M) en fonction de la norme de M (norme associée au produit scalaire défini à la partie I). En déduire que Φ_A est une symétrie orthogonale.
IV.B.5) Étude de la restriction de Φ_A à S_2 (que l'on notera encore Φ_A ).
a) Montrer que Φ_A est la réflexion par rapport à un plan que l'on précisera en fonction de I et de A.
b) Déterminer la matrice de la restriction de Φ_A à S_2 dans la base orthonormée (U, V, E_3) de S_2, avec U = 1/(√2)(E_1 + E_2) et V = 1/(√2)(E_1 − E_2).
IV.C - On revient à nouveau au cas général étudié au IV.A. L'application Φ vérifie donc la propriété P .
IV.C.1) Montrer que l'application M ↦ det(Φ(M)) de M_2 dans ℝ, est une «forme quadratique» non nulle sur M_2 c'est-à-dire que det ∘ Φ ∘ Ψ est une forme quadratique non nulle sur ℝ^4.
IV.C.2) En déduire que ∀M ∈ M_2, det(Φ(M)) = det(M), puis que l'application Φ laisse globalement invariantes toutes les surfaces Γ_k pour k ∈ ℝ.
IV.C.3) En écrivant la matrice la plus générale de Φ dans la base orthonormée B = (U, V, E_3, E_4) où U et V ont été définis à la question IV.B.5.b), on remarquera que Φ(U) = U, Φ(S_2) = S_2, Φ(E_4) = εE_4 avec ε = ± 1, et en écrivant que pour tout M de M_2,
det(Φ(M)) = det(M), démontrer qu'il existe (ε, ε^′) ∈ { − 1, 1}^2 et θ ∈ [0, 2π[ tels que la matrice de Φ dans B soit de la forme :

IV.C.4) On suppose ε^′ = 1. On considère l'application Φ_A avec

a) Montrer que l'application Φ ∘ Φ_A vérifie la propriété P et déterminer sa matrice dans B .
b) Quelle est la matrice dans B de l'application qui à M associe ^t M ? En déduire la valeur de ε et montrer que Φ = Φ_A.
IV.C.5) On suppose ε^′ = − 1 et on considère toujours la matrice

En considérant l'application Φ ∘ Φ_A, montrer qu'il existe une matrice B, que l'on déterminera, telle que Φ = Φ_B ∘ Φ_A.