Centrale Physique 1 TSI 2002Sujet

PHYSIQUE I

Partie I - Glissement et frottement solide

• On suppose que l'un au moins des deux solides possède un plan Π tangent en I; la force R⃗ exercée par S_0 sur S_1 peut s'exprimer sous la forme R⃗ = R_n n⃗ + R_(t^t)t⃗ où les vecteurs unitaires n⃗ et t⃗ sont respectivement
  

  

  
  normal et tangent à Π.
• En l'absence de glissement, c'est-à-dire si v⃗_g(I) = 0→, les composantes normale et tangentielle de la force de contact sont telles que |R_t| ≤ f_s|R_n|, où f_s est un coefficient positif appelé coefficient de frottement de glissement statique.
• En cas de glissement, les composantes normale et tangentielle de la force de contact sont telles que

1. On ne tiendra pas compte de l'existence éventuelle d'un moment en I des efforts exercés par S_0 sur S_1.

Filière TSI

I.A - Quelques considérations générales sur l'énoncé des lois de Coulomb

I.B - Mouvements sur un plan incliné

Partie II - Étude d'un fil sur un arbre cylindrique

II.A - Équilibre d'un fil sur un arbre cylindrique fixe

Un fil de masse négligeable, sans raideur, est enroulé d'un angle α sur un arbre cylindrique de rayon a. Le contact arbre-fil est caractérisé par un coefficient de frottement f valant f_d s'il y a glissement ou f_s s'il n'y a pas glissement. On exerce une force F⃗_A de norme F_A sur l'extrémité A du fil, et on cherche la valeur minimale de la norme F_B de la force F⃗_B à appliquer sur l'autre extrémité B du fil pour qu'il soit en équilibre.
II.A.1) On repère un point courant M du tronçon de fil en contact avec l'arbre par l'angle θ ∈ [0, α].t⃗(θ) désigne le vecteur unitaire tangent au fil dans le sens des θ croissants ; n⃗(θ) désigne le vecteur unitaire normal au fil orienté de l'arbre vers l'extérieur. Exprimer le vecteur t⃗(θ + dθ) sur la base (t⃗(θ), n⃗(θ)), en se limitant au premier ordre de dθ.
II.A.2) On modélise les efforts qu'exerce le tronçon de fil [θ_→, α] sur le tronçon de fil [0, θ] par une force T⃗(θ) = T(θ)t⃗(θ), appelée ten-

sion du fil en M. On raisonne sur un tronçon de fil MM^′ compris entre θ et θ + dθ. Ce tronçon est soumis aux forces exercées par les tronçons AM et M^′ B, ainsi qu'à la force de contact dR⃗ que lui exerce l'arbre. Écrire une condition nécessaire d'équilibre de MM^′ reliant T⃗(θ), T⃗(θ + dθ) et dR⃗.
II.A.3) Pour dθ suffisamment petit, on peut utiliser le modèle du contact ponctuel entre deux solides tel qu'il est donné par les lois de Coulomb et écrire dR⃗ = dR_t t⃗(θ) + dR_n n⃗(θ) où dR_t est la composante tangentielle (force de frottement de glissement) et dR_n est la composante normale de la force exercée par l'arbre sur MM^′. En exprimant également T⃗(θ) et T⃗(θ + dθ) sur la base t⃗(θ), n⃗(θ) établir deux équations scalaires reliant T(θ), dT(θ), dR_t et dR_n.
II.A.4) À la limite du glissement, on a une relation de la forme dR_t = (±)f_s dR_n. Dans la situation envisagée, quels sont les signes de dR_t et de dR_n ? En déduire le signe correct dans la relation précédente.
II.A.5) En déduire que la tension T(θ) est régie par l'équation différentielle

• Calculer F_B/F_A pour α = π.
• Un matelot peut exercer confortablement une force de 100 N ; peut-il choisir α lui permettant de résister à une force de 10^4 N exercée par le bateau sur le premier brin de la corde?
• Dans la disposition précédente, quelle force devrait-il exercer pour tenter de faire glisser la corde afin de tirer le bateau vers lui?

II.B - Équilibre d'un fil sur un arbre cylindrique en rotation

• si Ω > 0;
• si Ω < 0.
  II.B.2) Que devient, pour Ω > 0, l'équation différentielle régissant la tension T(θ) ?
  II.B.3) Application numérique : pour une corde sur un arbre métallique, on a f_d = 0, 5.
• Calculer F_B/F_A pour α = π
• Pour quelle valeur minimale α_0 de α un matelot exerçant une force de 100 N peut-il résister à une force de 10^4 N exercée par le bateau sur le premier brin de la corde?
• Pour α = α_0, quelle force devrait-il exercer pour que la corde se déplace dans le sens de t⃗ ?
• Conclure.

Partie III - Moteur électrique à courant continu

III.A - Modélisation d'un moteur à courant continu

Le modèle électrique du moteur est une association en série d'un résistor de résistance R et d'une source idéale de tension de force électromotrice e = − ΦΩ, où Φ est une constante positive, et Ω la vitesse angulaire du rotor (élément tournant du moteur). Lorsqu'il est parcouru par un courant électrique d'intensité i, le rotor se met en mouvement sous

l'effet d'efforts d'origine électromagnétique de moment ℳ = Φi. Ce rotor est soumis à des frottements dont le moment peut être modélisé par une loi de la forme ℳ^′ = − εM_0 − γΩ, où γ et M_0 sont des constantes positives, et ε représente le signe de la vitesse angulaire Ω lorsque celle-ci est non nulle. Lorsque la
vitesse angulaire Ω est nulle, ε est indéfini et compris entre -1 et +1 . Le moment d'inertie du rotor est noté J.
III.A.1)
a) Justifier par une étude dimensionnelle la cohérence des expressions du moment ℳ et de la force électromotrice e.
b) Justifier par une étude énergétique la présence du signe - dans l'expression de la force électromotrice.
III.A.2)
a) Le moteur étant initialement au repos, il est alimenté à l'instant t = 0 par une source idéale de tension de force électromotrice E constante. Déterminer la condition sur E pour que le moteur se mette en rotation avec une vitesse angulaire positive.
b) Cette condition étant satisfaite, déterminer l'évolution au cours du temps de la vitesse angulaire de rotation du moteur à vide.
c) Exprimer la puissance fournie par la source de tension en régime établi. Sous quelles formes cette puissance est-elle convertie?

III.B - Principe physique d'un moteur à courant continu

Figure 4 a
Vue de profil

Figure 4 b
Vue de dessus

c) Justifier le schéma électrique de la figure 5 proposé pour le moteur alimenté par une source idéale de tension de force électromotrice E

Partie IV - Frottement d'un fil sur un arbre entraîné par un moteur

IV.A - Mesure du couple d'un moteur à courant continu

Pour mesurer son couple moteur, on utilise le dispositif représenté figure 6. Une roue de rayon a est entraînée par le rotor à la vitesse angulaire Ω constante. Un fil glisse sur cette poulie; on détermine la tension des brins droit et gauche du fil par la mesure des allongements y_1 et y_2 des deux ressorts, dont l'extrémité inférieure est reliée à un bâti dont on peut faire varier la distance par rapport à l'axe de la roue. a = 2 cm; k_1 = 6, 8 N ⋅ m^(− 1); k_2 = 4, 5 N ⋅ m^(− 1) IV.A.1) Exprimer en fonction de y_1, y_2, a et des raideurs k_1 et k_2 des deux ressorts,

le moment ℳ " par rapport à l'axe Oz des efforts de frottement exercés par le fil sur la poulie. On obtient expérimentalement les résultats suivants :

IV.B - Détermination d'un point de fonctionnement

La roue de rayon a est entraînée par le rotor à la vitesse angulaire Ω constante. Le fil glisse sur cette poulie ; on impose la tension du brin droit en y suspendant une masse m. Le brin gauche est relié à un bâti fixe. Le fil et la masse m sont immobiles dans ℛ.
IV.B.1) Exprimer en fonction de f_d, m, g et a le moment ℳ " par rapport à l'axe Oz des efforts qu'exerce le fil sur la roue lorsque la vitesse angulaire Ω est positive.
IV.B.2)
a) Pour m = 20 g, a = 2 cm, g = 9, 81 m ⋅ s^(− 2), les caractéristiques f_d, M_0, Φ et γ étant celles qui ont été

déterminées à la question précédente, déterminer la valeur numérique de ℳ " lorsque l'intensité est ajustée à la valeur de i = 0, 8 A.
b) En déduire la vitesse angulaire de rotation du moteur en régime permanent dans ces conditions.
c) La tension aux bornes du moteur est alors E = 5, 0 V. Déterminer la résistance R du moteur.
d) Définir et calculer numériquement le rendement du moteur dans ces conditions.
IV.B.3) On laisse le fil et la masselotte m dans la même configuration. On inverse les bornes de la source de tension, ce qui donne E = − 5, 0 V en conservant les mêmes conventions algébriques. Quel est l'état du moteur (intensité et vitesse angulaire) en régime établi ?