Centrale Physique 1 TSI 2004Sujet

Les quatre parties de ce problème sont partiellement indépendantes. Les parties III et IV ne requièrent aucune connaissance de physique atomique ou de physique nucléaire. Dans ces parties, le poids des particules élémentaires est évidemment négligé.
Données :

On pose ℏ = h/2π
( e_x^(→−), e_y→, e_z→ ) désignent les vecteurs unitaires d'un repère orthonormé direct ( Oxyz ) lié à un référentiel galiléen.

On considère une spire MNPQ de forme rectangulaire ( MN//QP//Ox, MN = QP = a, MQ//NP//Oy, MQ = NP = b), parcourue par un courant continu I (figure 1). Cette spire est placée dans un champ magnétique constant et uniforme B⃗ = Be_x^(→−)(B > 0).

I.A - Déterminer soigneusement les forces F_i^(→−) (où i = 1, 2, 3, 4 ) exercées par le champ B⃗ sur chaque côté de la spire (voir figure 1). En déduire la force magnétique résultante sur la boucle.
I.B - Vérifier que le système des forces exercées par le champ magnétique est un couple. Déterminer les moments Γ⃗_(Ci) (où i = 1, 2, 3, 4 ) par rapport au centre C du rectangle, des actions exercées par le champ B⃗ sur chaque côté de la spire (on pourra calculer les composantes de ces vecteurs sur e_x^(→−), e_y→, e_z→ ) et en

déduire que le moment résultant Γ⃗ peut se mettre sous la forme Γ⃗ = μ⃗ ∧ B⃗. Exprimer le moment magnétique μ⃗ de la boucle en fonction de la surface A de celle-ci, de l'intensité I et du vecteur unitaire n⃗ perpendiculaire au plan de la boucle.
I.C - Application numérique : on donne a = b = 0, 1 m, I = 10 A, B = 0, 1 T. Calculer μ⃗ et Γ⃗.
I.D - On suppose que la spire peut tourner librement autour de l'axe Oy, la position de la spire étant caractérisée par l'angle θ entre le champ B⃗ et le moment magnétique μ⃗ : θ = (B⃗, μ⃗). Pour quelle valeur de θ la boucle est-elle en équilibre stable ? en équilibre instable ? Justifier brièvement les réponses.
I.E - On suppose qu'à partir de l'angle θ, la spire subit une rotation infinitésimale dθ. Exprimer le travail δW du couple magnétique durant ce déplacement; déterminer le travail correspondant à une rotation finie entre θ_1 et θ_2. En déduire l'existence d'une énergie potentielle U = − μ^(→−) ⋅ B⃗.
I.F - Application numérique : la spire effectue une rotation depuis la position θ_1 = π/2 jusqu'à la position θ_2 = 0. Quelle est la variation de son énergie potentielle?

Une petite bobine plate, de centre O, formée de N spires de section A, fermée sur elle même, d'inductance propre L et de résistance r tourne à la vitesse constante ω autour de l'axe Oz; sa position est repérée par l'angle entre e_x^(→−) et le vecteur unitaire n⃗ normal au plan de la bobine : (e⃗_x, n⃗) = ωt − α_0 ( α_0 désignant une constante positive).

Cette bobine est plongée dans un champ magnétique B⃗, de norme B constante, «tournant» lui aussi autour de l'axe Oz à la vitesse angulaire ω_0 constante: (e_x^(→−), B⃗) = ω_0 t (figure 2).
II.A - Déterminer la valeur, à l'instant t, de

l'angle α = (n⃗, B⃗) en fonction de ω, ω_0, α_0 et t. En déduire le flux Φ du champ B⃗ à travers la bobine. Quelle est la force électromotrice induite e correspondante?
II.B - En régime établi, cette force électromotrice engendre dans le circuit ( r, L ) un courant sinusoïdal i(t) de même pulsation que e que l'on exprimera sous la forme i = Isin(α − φ). Déterminer I et tanφ.
II.C - À quel couple Γ⃗ = Γe⃗_z le circuit est-il soumis? Quelle est la valeur moyenne Γ_m de Γ ? À quelle condition ce couple est-il moteur?
II.D - On se propose d'étudier la variation du couple moyen Γ_m en fonction de la vitesse angulaire ω.
II.D.1) Vérifier qu'il est possible d'écrire Γ_m sous la forme :

II.D.2) Pour quelle valeur de ω la quantité y est-elle minimale ?
II.D.3) Soit ω_M la valeur de la pulsation qui donne le maximum de Γ_m, soit Γ_(Max). Exprimer Γ_(Max) et vérifier que ce couple moyen maximal est indépendant de la résistance r.
II.D.4) Donner l'allure de la courbe Γ_m(ω) pour tout le domaine de variation de ω (y compris les valeurs négatives). On désignera les extrema par les points M et M^′.
II.D.5) Interpréter les branches ω < 0, puis 0 < ω < ω_0 et ω > ω_0. Justifier le terme de «moteur asynchrone» de ce dispositif.
II.E - On suppose que le moteur ait à vaincre un couple résistant de norme constante Γ_r, produit par les machines qu'il doit entraîner et par les frottements.
II.E.1) Le cadre, primitivement au repos ( ω = 0 ), est soumis au couple moyen Γ_0 = Γ_m(0).
a) Exprimer Γ_0.
b) Que se passe-t-il si Γ_0 > Γ_r ?
c) À partir de la comparaison des graphe Γ = Γ_m(ω) et Γ = Γ_r (on appelle P le point d'intersection entre les deux graphes), préciser qualitativement l'évolution du mouvement du cadre. Caractériser le régime atteint par le moteur.
II.E.2) On «charge» davantage le moteur, en maintenant la condition Γ_0 > Γ_r. Comment évolue le point figuratif P ?
II.E.3) Quelle est sur le graphique la zone de fonctionnement stable ? Justifier la réponse.
II.E.4) Pour la charge maximale acceptable, soit Γ_(Max), calculer la différence relative (ω_0 − ω_M)/ω_0.
II.E.5) Quel est l'intérêt de la résistance r au démarrage ? Quel est son intérêt au maximum de charge Γ_(Max) ?

III.A - Dans un atome, on assimile un électron à une particule ponctuelle (de masse m et de charge − e ) décrivant une trajectoire fermée autour du noyau. Cet électron en mouvement est équivalent à un petit dipôle magnétique de moment magnétique μ⃗ que l'on se propose de calculer. L'électron est soumis de la part du noyau à une force centrale.
III.A.1) Montrer que la trajectoire de l'électron est plane. On désigne par L⃗ = Ln⃗ le moment cinétique de l'électron ( n⃗ vecteur unitaire de même sens que L⃗).
III.A.2) Exprimer l'aire dA balayée par l'électron en fonction de la masse m, de L et de l'intervalle de temps dt correspondant.
III.A.3) En déduire l'aire totale A balayée par l'électron sur un tour en fonction de m, L et de la période T de révolution, puis en fonction de m, L et la fréquence f correspondante.
III.A.4) Quelle est l'intensité électrique i équivalente à ce mouvement «orbital» de l'électron ? Exprimer i en fonction de e et T.
III.A.5) En déduire le moment magnétique μ⃗ = μn⃗ de ce dipôle. Exprimer alors le rapport gyromagnétique de l'électron γ défini par μ⃗ = γL⃗ en fonction de e et m.
III.A.6) Application numérique : on suppose réalisée la condition L = ℏ pour un électron dont la trajectoire est circulaire de rayon r_0 = 0, 529 ⋅ 10^(− 10)m.

Déterminer le courant i et le moment dipolaire magnétique μ correspondant.
III.B - En plus de son moment cinétique L⃗ (encore appelé moment cinétique orbital), l'électron possède un moment cinétique interne S⃗ dit de «rotation propre» appelé spin et à ce spin correspond un moment magnétique

on admettra que, dans un champ magnétique B = Be_z→ orienté suivant l'axe Oz(B > 0), la mesure algébrique S_z suivant Oz de S⃗ ne peut prendre que deux valeurs, S_z = ± ℏ/2.
III.B.1) On désigne par B_0 l'intensité du champ magnétique subi par l'électron atomique de l'atome d'hydrogène. En 1951, les radioastronomes d'Harvard ont observé une radiation de longueur d'onde λ = 21 cm due à l'émission d'un photon par un atome d'hydrogène galactique dont l'électron voit son spin passer de l'état S_z = ℏ/2 à l'état S_z = − ℏ/2 sous l'action du champ B_0 créé par le moment magnétique du proton. Exprimer en fonction des constantes fondamentales e, m, ℏ et de B_0 les énergies potentielles correspondant respectivement à S_z = ± ℏ/2.
III.B.2) À quelle variation d'énergie correspond un «renversement» de spin?
III.B.3) Application numérique : déterminer le champ B_0 «perçu» par l'électron de l'atome d'hydrogène. On rappelle que l'énergie E d'un photon de fréquence f est égale à E = hf et que la vitesse c de la lumière dans le vide vaut c = 3.10^8 m.s^(− 1).
III.C - La figure 3 représente une expérience historique, la première qui ait mis en évidence le spin de l'électron atomique (expérience de Stern et Gerlach). Un faisceau atomique d'argent, rendu monochromatique, se propage dans le vide, dans la direction de l'axe Ox à la vitesse v = 4, 8 ⋅ 10^2 m ⋅ s^(− 1). Ce jet initial a

une largeur de 0, 02 mm. Il traverse sur une longueur D_1 = 10 cm un aimant dont les pièces polaires ont été taillées de manière à produire un champ magnétique B⃗ = B(z)e_z→ dont le gradient dB/dz est constant et élevé : on prendra dB/dz = 10^3 T ⋅ m^(− 1).
Dans le cas de l'atome d'argent de masse M_(Ag), seul l'électron «célibataire» externe (dit de valence) est concerné par l'action du gradient de champ. Dans le
champ B⃗, la mesure algébrique μ_z suivant Oz de son moment magnétique μ⃗ ne peut prendre que les deux valeurs μ_z = ± μ_0 avec μ_0 = 9, 274 ⋅ 10^(− 24) A.m ^2 ( μ_0 reste constant durant la traversée de l'aimant).
III.C.1) Comparer la valeur numérique du moment magnétique μ_0 de l'atome d'argent et celle de l'application numérique de la question III.A.6. Faire un bref commentaire.
III.C.2) Montrer par un raisonnement simple à partir de U = − μ⃗ ⋅ B⃗ que chaque atome du jet subit, pendant la traversée de ce champ inhomogène, une force

III.C.3) Application_→ numérique: calculer la norme a_0 de l'accélération a⃗ = ± a_0 e_z→ des atomes d'argent dans l'entrefer de l'aimant.
III.C.4) À partir de l'équation paramétrique de la trajectoire dans l'entrefer de l'aimant, soit x = f(t) et z = g(t), déterminer l'équation cartésienne de la trajectoire et les déviations ± z_1 subies par les atomes à la sortie de l'entrefer.
III.C.5) L'écran d'observation (cible à condensation) est situé à la distance D_2 = 10 cm de la sortie de l'entrefer.
Déterminer la distance d qui sépare sur l'écran les deux zones d'impact relatives aux deux valeurs ± μ_0 de μ_z.
III.C.6) Application numérique : calculer d. Cet écart peut-il être mis en évidence expérimentalement, compte tenu de la largeur du faisceau?

Un proton (noyau de l'atome d'hydrogène) possède également un moment cinétique de spin S_p^(→−) et un moment magnétique μ_p^(→−) liés par

Le proton est plongé dans un champ magnétique B_T^(→−) = B_T e_z→ uniforme, constant et colinéaire à l'axe Oz(B_T > 0).

IV.A.1) →−^(En assimilant le proton à «un petit solide», écrire la relation entre la) dérivée dS_p^(→−)/dt de son moment cinétique S_p^(→−), son moment magnétique μ_p^(→−) et le champ B⃗_T.
IV.A.2) En déduire l'équation différentielle que vérifie le vecteur μ_p^(→−).
IV.A.3) Montrer que la norme μ_p = ‖μ_p^(→−)‖ du vecteur μ_p^(→−) demeure constante.
IV.A.4) Montrer que la composante μ_(p_z) sur l'axe Oz du vecteur μ_p^(→−) demeure constante.
IV.A.5) En déduire que l'angle θ = (e_z→, μ_p^(→−)) demeure constant.
IV.A.6) Le vecteur μ_p^(→−) tourne ainsi autour du champ B_T^(→−) en décrivant un cône d'angle θ constant : on dit que le proton possède un mouvement de précession autour de B_T^(→−) (figure 4). Déterminer la vitesse de rotation ω_p^(→−) = ω_p e_z→ correspondante en fonction de B_T^(→−) et de γ_p.
En déduire la fréquence de précession f_p = |ω_p|/2π correspondante et la mettre sous la forme f_p = Ke/MB_T. Quelle est la dimension de la constante K ?

IV.A.7) Application numérique : calculer la constante K et la fréquence de précession f_p d'un proton dans un champ magnétique B_T = 1, 4T.
IV.B - Comme dans le cas de l'électron, dans un champ magnétique orienté suivant l'axe Oz, la mesure algébrique S_(p_z) suivant Oz du spin S_p^(→−) du proton ne peut prendre que deux valeurs, S_(p_z) = ± ℏ/2.
IV.B.1) Exprimer l'énergie potentielle U d'un proton plongé dans un champ magnétique B_T^(→−) = B_T e_z→(B_T > 0) en fonction de e, M, ℏ et B_T.
IV.B.2) Application numérique : calculer l'énergie de «renversement» du spin d'un proton plongé dans un champ B_T = 1, 4T, lorsque S_(p_z) passe de la valeur (+ ℏ/2) à la valeur (− ℏ/2). Calculer la fréquence f correspondante (voir question III.B). Dans quelle domaine de fréquences cette valeur se place-t-elle ?
IV.C - Dans une expérience de résonance magnétique nucléaire ( RMN ), les moments cinétiques des protons de l'échantillon de matière étudié ont un →−_⃗^(mouvement de précession à la fréquence f_p autour du champ magnétique total)B_T^(→−) = B_T e_z→ agissant au niveau d'un proton : ce champ est en réalité la somme du champ extérieur B_0^(→−) = B_0 e_z→(B_0 > 0) appliqué sur l'échantillon et du champ associé aux électrons avoisinant le proton (on suppose que ce champ est lui aussi pratiquement colinéaire à Oz ). Un proton «libre» (c'est-à-dire idéalement isolé de son environnement) aurait un mouvement de précession à la fréquence f_(P0) = Ke/MB_0 et cette fréquence est calculable directement pour B_0 donné.
L'objet d'une expérience de RMN est donc la détermination de l'écart de fréquences Δf = f_(P0) − f_P.
IV.C.1) Quel est l'intérêt de cette mesure ?
IV.C.2) Pour permettre la mesure de la fréquence f_p, on applique à l'échantillon de matière, en plus du champ B_0^(→−), un champ magnétique B_F^(→−) = B_F e_x^(→−) (on a ainsi B_F^(→−) ⊥ B_0^(→−) ) de faible amplitude, oscillant à une fréquence f_F que l'on peut faire varier. Recopier la figure 4 et y représenter le couple Γ_F^(→−) exercé par le champ B_F^(→−) sur le moment magnétique μ_p^(→−) du proton.
IV.C.3) Que se passe-t-il lorsque la fréquence f_F passe par la valeur f_F = f_p ?
IV.C.4) Un instrument de mesure RMN comporte les éléments suivants :