Centrale Mathématiques 1 TSI 2004Sujet et corrigé
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Intégrales de Wallis, formule de Stirling, constante d'Euler-Mascheroni et comparaison asymptotique de séries entières au voisinage de 1Afficher ou masquer la section
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Intégrales de Wallis, formule de Stirling, constante d'Euler-Mascheroni et comparaison asymptotique de séries entières au voisinage de 1
La partie I étudie les intégrales de Wallis, en établit un équivalent et en déduit la formule de Stirling. La partie II étudie deux séries entières liées au logarithme, montre l'existence d'une limite à gauche en 1 faisant apparaître la constante d'Euler-Mascheroni, puis en donne une expression intégrale. Les parties III et IV établissent des théorèmes de comparaison asymptotique de séries entières au voisinage de 1, à partir de leurs coefficients ou sommes partielles, et les appliquent notamment à la série de terme général x^(n²).
- 1Partie I : intégrales de Wallis et formule de StirlingOn établit une relation de récurrence entre les intégrales de Wallis, on en déduit leur équivalent, puis on démontre l'existence d'une constante permettant d'obtenir la formule de Stirling pour la factorielle.
- 2Partie II : séries entières liées au logarithme et constante d'Euler-MascheroniOn étudie deux séries entières définies à partir des termes 1/n et ln(1+1/n), on montre l'existence d'une limite à gauche en 1 faisant apparaître la constante d'Euler-Mascheroni, puis on en établit une expression intégrale.
- 3Partie III : comparaison asymptotique via les coefficientsOn démontre un théorème de comparaison entre deux séries entières au voisinage de 1 à partir du comportement relatif de leurs coefficients, et on l'applique à des séries entières classiques.
- 4Partie IV : comparaison asymptotique via les sommes partiellesOn démontre un théorème de comparaison entre deux séries entières au voisinage de 1 à partir du comportement asymptotique de leurs sommes partielles, et on l'applique notamment à la série entière de terme général x^(n²), reliée aux intégrales de Wallis.
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MATHÉMATIQUES I
Partie I -
On considère l'intégrale :
où
n désigne un entier naturel.
I.A -
I.A.1) Déterminer une relation de récurrence entre
I_(n + 2) et
I_n .
I.A.2) En déduire une expression deI_(2n) et
I_(2n + 1) à l'aide de factorielles.
I.A.2) En déduire une expression de
I.B -
I.B.1) Montrer l'équivalence :
I_n ∼ I_(n + 1) .
I.B.2) Montrer que la suite(J_n)_(n ∈ ℕ) avec
J_n = (n + 1)I_n I_(n + 1) est constante et en déduire l'équivalence :
I_n ∼ √(π/(2n)) .
I.B.2) Montrer que la suite
I.B.3) Application 1
Montrer, lorsque
t , réel, tend vers
+ ∞ , l'équivalence :
I.B.4) Application 2
 l'aide de la série de terme général
u_n = ∫_(nπ)^((n + 1)π)|sinx|^x dx , montrer que l'intégrale impropre
∫_1^(+ ∞)|sinx|^x dx est divergente.
I.C - On pose, pourn ≥ 1, u_n = (n + 1/2)lnn − n − lnn! et
v_n = u_(n + 1) − u_n .
I.C.1) Montrer l'équivalence :
I.C - On pose, pour
I.C.1) Montrer l'équivalence :
I.C.2) En déduire que la suite
(u_n)_(n ∈ ℕ) est convergente. On notera
S sa limite.
Filière TSI
I.D - Établir l'existence d'une constante
C > 0 telle que :
I.E - En utilisant la question I.B.2, en déduire l'équivalent de Stirling :
Partie II -
On considère les séries entières :
II.A - Montrer que la première série entière définit une fonction continue sur
[ − 1, 1[ et calculer sa somme
f .
II.B - On considère la seconde série entière.
II.B.1) Déterminer son rayon de convergence. On noteg sa somme, là où elle converge.
II.B.2) Montrer que cette série entière converge pourx = − 1 et calculer
g(− 1) .
II.C - Déterminer la limite à gauche deg en 1 .
II.B - On considère la seconde série entière.
II.B.1) Déterminer son rayon de convergence. On note
II.B.2) Montrer que cette série entière converge pour
II.C - Déterminer la limite à gauche de
II.D -
II.D.1) Montrer l'existence d'une limite
l à gauche en 1 de
g(x) + ln(1 − x) .
II.D.2) On pose, pourn entier strictement positif,
II.D.2) On pose, pour
Montrer que la suite
(w_n)_(n ∈ ℕ) est décroissante.
II.D.3) Montrer que(w_n)_(n ∈ ℕ) converge vers un réel
γ strictement positif.
II.E - Établir quel = − γ .
II.D.3) Montrer que
II.E - Établir que
II.F - Une expression intégrale de
γ .
On pose
I = ∫_0^1(1/t + 1/(ln(1 − t)))dt .
II.F.1) Montrer l'existence deI .
II.F.2) Montrer queI = ∫_0^(+ ∞)(1/(1 − e^(− x)) − 1/x)e^(− x)dx et que l'application
Φ : x ↦ 1/(1 − e^(− x)) − 1/x est bornée sur
]0, + ∞[ .
II.F.3) Montrer que pour toutn ≥ 1 , on a
II.F.1) Montrer l'existence de
II.F.2) Montrer que
II.F.3) Montrer que pour tout
II.F.4) Montrer que pour
n ≥ 1 et
ε > 0 , on a
II.F.5) Calculer l'intégrale
II.F.6) En déduire
I = γ .
Partie III -
On considère deux séries entières
∑_(n ≥ 0)a_n x^n et
∑_(n ≥ 0)b_n x^n . On fait les hypothèses
suivantes :
suivantes :
- La suite
(a_n)_(n ∈ ℕ) est à termes positifs. - La série
∑_(n ≥ 0)a_n diverge. -
∑_(n ≥ 0)a_n x^n a un rayon de convergence égal à 1 . -
b_n = o(a_n)
On note
u et
v les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur intervalle ouvert de convergence.
III.A -
III.A.1) Montrer que
∑_(n ≥ 0)b_n x^n a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1.
III.A.2) On fixe un réelε strictement positif.
III.A.2) On fixe un réel
Montrer qu'il existe un entier naturel
N tel que pour tout
x tel que
0 ≤ x < 1 ,
III.A.3) En déduire qu'au voisinage de 1
III.B - Montrer que si l'on remplace l'hypothèse
b_n = o(a_n) par
a_n ∼ b_n , alors au voisinage de 1 on a l'équivalence :
u(x) ∼ v(x) .
III.C - Application 1:
III.C.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière
III.C.2) Déterminer un équivalent simple en 1 de sa somme.
III.D - Application 2 :
On considère les séries entières
III.D.1) Vérifier que leur rayon de convergence est 1 et montrer que
III.D.2) En déduire un équivalent au voisinage de 1 de
On pourra utiliser II.D.3.
III.E - Application 3 :
On pose pour
x ∈ ] − 1, 1[ ,
III.E.1) Développer en série entière, au voisinage de 0 , la fonction
x ↦ 1/(√(1 − a^2 x^2)) . avec
a > 0 et préciser son rayon de convergence.
III.E.2) Montrer pour toutx ∈ ] − 1, 1[ la relation
III.E.2) Montrer pour tout
avec
I_(2n) les intégrales étudiées en partie I et
(a_n)_(n ∈ ℕ) une suite que l'on explicitera.
III.E.3) Montrer qu'il existe une constanteK réelle tel qu'au voisinage de 1 on ait l'équivalence :
J(x) ∼ Kln(1 − x) et préciser la valeur de
K .
III.E.3) Montrer qu'il existe une constante
Partie IV -
On considère deux séries entières
∑_(n ≥ 0)a_n x^n et
∑_(n ≥ 0)b_n x^n . On fait les hypothèses
suivantes : suivantes :
suivantes : suivantes :
- La suite
(a_n)_(n ∈ ℕ) est à termes positifs non tous nuls. -
A_n ∼ B_n , où l'on a posé
- Le rayon de convergence de la série
∑_(n ≥ 0)a_n x^n est égal à 1 et la série∑_(n ≥ 0)a_n diverge.
On note
u et
v les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur intervalle ouvert de convergence.
IV.A - Vérifier l'égalité, pour toutx réel
IV.A - Vérifier l'égalité, pour tout
et en déduire que le rayon de convergence de
IV.B - Établir les relations, pour tout
x ∈ ] − 1, 1[
puis en déduire qu'au voisinage de 1 , on a :
u(x) ∼ v(x) .
IV.C - Application 1:
On considère la série entière
∑_(n ≥ 0)x^(a^n) , où
a est un entier supérieur ou égal à 2 . Vérifier que son rayon de convergence est 1 et montrer qu'au voisinage de 1 , on a l'équivalence
∑_(n = 0)^∞x^(a^n) ∼ Lln(1 − x) , où
L est une constante réelle que l'on précisera.
IV.D - Application 2 :
IV.D.1) Montrer que les séries entières
∑_(n = 0)^∞x^(n^2) et
∑_(n = 0)^∞(√(n + 1) − √n)x^n sont de rayons de convergence 1 et que l'on a, au voisinage de 1 ,l'équivalence :
IV.D.2) En déduire que l'on a, au voisinage de 1 , l'équivalence :
où
(I_n)_(n ∈ ℕ) est la suite étudiée dans la première partie.
IV.D.3) Montrer que pourx ∈ ] − 1, 1[ , on a l'égalité :
IV.D.3) Montrer que pour
IV.D.4) Calculer l'intégrale ci-dessus et en déduire qu'au voisinage de 1 , on a l'équivalence :
où
D est une constante réelle strictement positive que l'on précisera.
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de maths 1 TSI Centrale 2004 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de maths 1 TSI Centrale 2004 ?
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 1 TSI Centrale 2004 ?
Il porte sur les suites et séries numériques (intégrales de Wallis, formule de Stirling, constante d'Euler-Mascheroni) et sur les séries entières, notamment leur comportement asymptotique au voisinage du bord du disque de convergence.
Le sujet comporte-t-il des parties indépendantes ?
Les parties I et II peuvent être traitées de façon largement autonome, tandis que les parties III et IV, qui établissent des théorèmes généraux de comparaison, réutilisent les résultats des parties précédentes dans leurs applications.
Qu'est-ce que la formule de Stirling démontrée dans la partie I ?
C'est un équivalent de la factorielle n! lorsque n tend vers l'infini, obtenu ici en combinant l'étude d'une suite auxiliaire convergente avec l'équivalent des intégrales de Wallis.
Comment apparaît la constante d'Euler-Mascheroni dans ce sujet ?
Elle apparaît comme la limite à gauche en 1 d'une série entière liée au logarithme, puis comme somme d'une série harmonique tronquée du logarithme, et enfin sous la forme d'une intégrale généralisée qui en donne une expression équivalente.
Pas de description pour le moment