Centrale Mathématiques 1 TSI 2002Sujet et corrigé

Notation : C(I, ℝ) désigne l'ensemble des applications continues sur l'intervalle I, à valeurs réelles. On écrira indifféremment un polynôme P ou P(X) et on identifiera un polynôme et la fonction polynomiale associée.
Les trois parties sont indépendantes. Seules les questions III.B.1) et III.C.5) dépendent des parties précédentes.

Pour n ∈ ℕ^∗, on note f_n l'application définie pour x ∈ [ − 1, 1] par :

I.A.1) Montrer que f_n est une application polynomiale de degré n et à coefficients réels.
On pourra, par exemple, poser θ = Arccosx et exprimer cosnθ en fonction de puissances entières de cosθ, en raisonnant par récurrence.
Dans toute la suite de la Partie I, pour n ∈ ℕ^∗, on note T_n le polynôme associé à la fonction polynomiale f_n ce qui signifie, par exemple, que si

Par ailleurs, pour n ∈ ℕ^∗, on pose P_n = 2^(n − 1)T_n.
I.A.2) Déterminer le terme de degré n du polynôme T_n.
I.A.3) Calculer T_1, T_2, T_3, T_4.
I.A.4) Montrer que, pour tout entier n ≥ 2 : P_(n + 1) + P_(n − 1) = 2XP_n.
I.A.5) Montrer que les racines de P_n sont :

et qu'elles sont simples.
I.A.6) Montrer qu'il y a n + 1 points x^′_k du segment [ − 1, 1] où la fonction f_n atteint un extrémum absolu. Déterminer cet extrémum.

I.A.7) Écrire, dans un langage de programmation au choix du candidat, un algorithme permettant de calculer P_n pour tout n ≥ 1.

I.B.1) Tracer les courbes représentatives des fonctions f_1, f_2, f_3, f_4.
I.B.2) Montrer qu'il n'existe pas de polynôme P unitaire de degré n tel que

(on pourra considérer le polynôme T_n − P et utiliser les résultats précédents).
I.B.3) Établir que, pour tout polynôme unitaire P de degré n :

I.B.4) Soit f ∈ C([ − 1, 1], ℝ). Montrer l'existence de l'intégrale ∫_(− 1)^1(f(x))/(√(1 − x^2))dx.
a) Montrer que l'application (f, g) ↦ ∫_(− 1)^1(f(x)g(x))/(√(1 − x^2))dx définit un produit scalaire sur
C([ − 1, 1], IR). b) Montrer que la famille de fonctions (h_n)_(n ∈ ℕ^∗) avec h_n(x) = √(2/π)P_n(x) est une famille orthonormale pour le produit scalaire
(on peut utiliser un changement de variable du type θ = Arccosx pour calculer certaines intégrales avec les justifications nécessaires).

Dans cette partie, le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé direct (O; i⃗, j⃗) et E est une partie fermée et bornée de ce plan, contenant une infinité de points. Pour A, B, C dans E, on note :

II.A.1) Montrer que l'application :

est continue sur E × E et en déduire que d_2 et d_3 sont bien définis dans ℝ.
II.A.2) Montrer que d_3 ≤ d_2.
II.A.3) Justifier que d_3 = sup_((A, B) ∈ E^2)(sup_(C ∈ E)d(A, B, C)).
II.B - Montrer que si E est un segment de longueur a > 0, alors d_3 = a/(3√4).
II.C - On suppose à présent que E est le cercle C(O, R) de centre l'origine et de rayon R > 0. L'angle polaire d'un point M ∈ E est par définition l'angle ( i⃗, OM^(→−) ).
II.C.1) Montrer que si A, B sont deux points de E, dont les angles polaires ont pour mesures respectives α et β avec 0 ≤ α < β ≤ 2π, on a : AB = 2Rsin(β − α)/2.
II.C.2) Soient α, γ ∈ [0, 2π] fixés, avec α ≤ γ.

Vérifier que la fonction, définie sur [α, γ], qui à β associe sin(β − α)/2sin(γ − β)/2 atteint son maximum en β = (α + γ)/2.
II.C.3) Étudier les variations sur [0, 1] de la fonction φ qui à t ∈ [0, 1] associe φ(t) = t^3 ⋅ √(1 − t^2).
II.C.4) Déduire de ce qui précède que d_3 = √3 ⋅ R.

Dans toute la partie III, E est le segment [ − 1, 1] de l'axe réel. Pour tout entier n ≥ 2, on note:

III.A.1) Montrer que pour tout n ≥ 2, il existe λ_1, …, λ_(n + 1) ∈ E tels que D_(n + 1) = D(λ_1, …, λ_(n + 1)).
III.A.2) Vérifier que D_(n + 1) ≤ |λ_2 − λ_1| ⋅ |λ_3 − λ_1| ⋅ … ⋅ |λ_(n + 1) − λ_1| ⋅ D_n.
III.A.3) Vérifier que D_(n + 1)^(n + 1) ≤ D_n^(n + 1)D_(n + 1)^2 et en déduire que D_(n + 1)^(n − 1) ≤ D_n^(n + 1).
III.A.4) Montrer que la suite (d_n)_(n ∈ ℕ^∗) est convergente. On notera désormais d = lim_(n → + ∞)d_n.
Pour n ≥ 1, on note 𝒫_n l'ensemble des polynômes unitaires de degré n.
On note pour P ∈ 𝒫_n,

III.B.1) À l'aide de la question I.B.3, calculer m_n pour n ≥ 1.
III.B.2) Montrer que la suite (m_n)_(n ∈ ℕ^∗) est convergente ; on pose m = lim_(n → ∞)m_n. Déterminer m.
III.B.3) Établir que si une suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge vers ℓ, la suite

(on pourra traiter le cas particulier ℓ = 0 puis ramener le cas général à ce cas).
À tout élément (x_1, …, x_(n + 1)) ∈ E^(n + 1), on associe le déterminant V(x_1, …, x_(n + 1)) dont on admet la valeur :

III.C.1) Démontrer que pour tout polynôme unitaire P de degré n, on a :

III.C.2) En développant le dernier déterminant par rapport à la dernière ligne, établir que :

III.C.3) En considérant le polynôme particulier P, défini par :
P(x) = (x − x_1)…(x − x_n), montrer que :

III.C.4) Déduire de ce qui précède que m_n ≤ d_(n + 1).
III.C.5) En utilisant les questions III.C.2, III.B. 1 et III.B.3, montrer que d ≤ m et conclure que d = m = 1/2.