CCINP Mathématiques 2 TSI 2002Sujet et corrigé

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 3 heures

Les calculatrices sont autorisées.

PARTIE I

1. Vérifier que la condition imposée est équivalente à : ∀θ ∈ J, V = 2θ + π/2 modulo π.
2. En déduire que cette condition est vérifiée si et seulement si f est une solution non nulle de l'équation différentielle E : f^′(θ)cos2θ + f(θ)sin2θ = 0.
3. De quel type est l'équation différentielle E ? Citer précisément le théorème de résolution correspondant à ce type d'équation (structure et expression de l'ensemble des solutions). Résoudre l'équation différentielle E sur l'intervalle ] − π/4, + π/4[.
4. On note f_λ la solution de E sur ] − π/4, + π/4[ qui vérifie la condition initiale f_λ(0) = λ ( λ réel non nul), et on note C_λ la courbe d'équation polaire ρ = f_λ(θ). Par quelle transformation géométrique la courbe C_μ est-elle l'image de la courbe C_λ(λ et μ réels distincts non nuls)?
5. L'équation différentielle 𝔈 a-t-elle des solutions non nulles définies sur tout l'ensemble ℝ ?
6. On admet que toute solution de E sur ] − π/4, + π/4[ est développable en série entière.
   6.1. Déterminer, par identification dans l'équation différentielle E, les termes de degré inféricur ou égal à trois de la solution f_1 (telle que f_1(0) = 1 ).
   6.2. Donner les développements limités en 0 à tout ordre de x ↦ cos2x et de u ↦ (1 + u)^(1/2), et retrouver les résultats de la question précédente par une autre méthode.
   6.3. Calculer les valeurs en 0 des trois premières dérivées de f_1.

PARTIE II

1. Soit C_1 la courbe d'équation polaire ρ = √(cos(2θ)) pour θ ∈ ] − π/4, + π/4[, dans le repère orthonormé direct ( O, i⃗, j⃗ ).
   1.1. Étudier et représenter graphiquement la courbe C_1 (unité = 10 cm ). Préciser les prolongements par continuité en θ = ± π/4 et l'existence d'une demi-tangente en ces points.
   1.2. Déterminer et dessiner les points à tangente horizontale ou verticale.
   1.3. Déterminer et dessiner le repère de Frénet, ainsi que le centre et le cercle de courbure au point d'angle polaire θ = 0.
2. Justifier la convergence de l'intégrale I = ∫_(− π/4)^(+ π/4)(dθ)/(√(cos(2θ))).
3. On définit la longueur L de C_1 comme la limite, si elle existe, quand α tend vers π/4, de la longueur de la restriction de C_1 à l'intervalle [ − α, + α] ⊂ ] − π/4, + π/4[. Démontrer que L existe et que L = I.
4. Montrer que L peut s'écrire sous l'une des deux formes suivantes :
   4.1. L = ∫_0^(π/2)(dφ)/(√(cosφ)).
   4.2. L = 2∫_0^1(du)/(√(1 − u^4)) (on pourra poser u = √(cos(φ)) ).
5. Calculer l'aire A du domaine Δ intérieur à C_1 en utilisant la formule A = ∬_Δ dxdy et un passage en coordonnées polaires.

PARTIE III

1. Pour quelles valeurs des réels α et β l'intégrale B(α, β) = ∫_0^1 t^((α − 1)(1 − t)^(β − 1)dt est-elle convergente?
2. Vérifier que B(β, α) = B(α, β).
3. Fn posant t = sin^2(θ), prouver que

4. Montrer que L = 1/2B(1/2, 1/4).

PARTIE IV : algorithmique

1. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , et tout entier k compris entre 0 et n, on note M_k^n le point de C_1 d'angle polaire (kπ)/(4n), et L_n la somme des longueurs des segments M_(k − 1)^n M_k^n pour k variant de 1 à n, c'est-à-dire L_n = ∑_(k = 1)^n‖M_(k − 1)^n M_k^n^(→−)‖, pour la norme euclidienne usuelle de ℝ^2.
   1.1. Pour n = 1, calculer les coordonnées cartésiennes des deux points M_0^l et M_1^l, et dessiner le segment M_0^l M_1^l. Calculer 2L_1.
   1.2. Pour n = 2, calculer les coordonnées cartésiennes des trois points M_k^2, et dessiner les deux segments M_0^2 M_1^2 et M_1^2 M_2^2. Donner une valeur numérique approchée de 2L_2.
   1.3. Pour n = 4, dessiner les segments M_(k − 1)^4 M_k^4 pour k ∈ {1, 2, 3, 4}.
2. Écrire un algorithme (ou une procédure ou un programmc) qui calcule et affiche les valeurs numériques approchées des premiers termes de la suite (2L_(2p))_(p ∈ ℕ), jusqu'au plus petit entier p > 1 vérifiant |2L_(2p − 1) − 2L_(2p)| ≤ 10^(− 3).