CCINP Mathématiques 2 TSI 2000Sujet et corrigé

MATHÉMATIQUES 2

Les calculatrices sont interdites.

1. Préliminaires: soit f une application de ℝ dans ℝ, continue, de période 2π.
   1.1. Exprimer c_n(f) en fonction des coefficients de Fourier a_n(f) et b_n(f) de l'application f, si n ∈ ℕ^∗. Exprimer de même c_(− n)(f) en fonction de a_n(f) et b_n(f), si n ∈ ℕ^∗. Exprimer enfin c_0(f) en fonction de a_0(f).
   1.2. Prouver que la convergence absolue des séries ∑_(n ∈ ℕ)a_n(f) et ∑_(n ∈ ℕ^∗)b_n(f) est équivalente à la convergence absolue des séries ∑_(n ∈ ℕ)c_n(f) et ∑_(n ∈ ℕ^∗)c_(− n)(f).
   1.3. Montrer que la série de Fourier de f peut s'écrire sous la forme:

2. On suppose dans cette question que b est nul et que a est réel.
   2.1. Pour quelles valeurs de a l'équation E_(a, 0) admet-elle des solutions non nulles dont 2π est une période?
   2.2. Pour quelles valeurs de a l'équation E_(a, 0) admet-elle des solutions réelles non nulles?
3. Soit f une application de période 2π, indéfiniment dérivable de ℝ dans ℂ, et f^((k))(k ∈ ℕ) sa dérivée k-ème, avec par convention f^((0)) = f.
   3.1. Exprimer c_n(f^′) en fonction de c_n(f), pour tout entier n de ℤ (on pourra utiliser une intégration par parties).
   3.2. En déduire une relation entre c_n(f) et c_n(f^((k))) pour tout (n, k) ∈ ℤ × ℕ.
   3.3. Dans le cas où f est à valeurs réelles, montrer que pour tout entier k strictement positif, |c_n(f)| et |c_(− n)(f)| sont négligeables devant 1/(n^k), quand l'entier naturel n tend vers l'infini.
   3.4. Dans le cas où f est à valeurs réelles, justifier pour tout x réel et tout k entier naturel la convergence absolue, et donner la somme des séries:

5. On suppose dans cette question et la suivante que a = 0, b ∈ ℂ, b ≠ 0, et que f est une solution indéfiniment dérivable et de période 2π de E_(0, b).
   5.1. Exprimer c_(2p + 1)(f) en fonction de c_(2p − 1)(f) pour p ∈ ℤ. Si c_1(f) est nul, calculer c_(2p + 1)(f) pour p ∈ ℤ. Si c_1(f) n'est pas nul, prouver qu'alors la série ∑_(p ∈ ℕ)c_(− 2p + 1)(f) n'est pas absolument convergente.
   5.2. Prouver que: ∀p ∈ ℕ^∗, c_(− 2p)(f) = 0.
   5.3. Prouver que: ∀p ∈ ℕ^∗, c_(2p)(f) = b/(4p^2)c_(2p − 2)(f).
6. On définit une suite complexe (γ_n)_(n ∈ N) par γ_0 = 1 et pour tout entier n strictement positif, γ_n = b/(4n^2)γ_(n − 1), et on définit une fonction φ, de ℝ dans ℂ, par φ(x) = ∑_(n = 0)^∞γ_n e^(2inx).
   6.1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑_(n ∈ ℕ)γ_n z^n.
   6.2. Prouver la convergence de la série ∑_(n ∈ ℕ)γ_n, et, pour tout x réel, la convergence absolue de la série ∑_(n ∈ ℕ)γ_n e^(2inx).
   6.3. En admettant que φ est de classe C^2 sur ℝ, et que l'on peut dériver deux fois sa série terme à terme pour trouver φ^(′′), vérifier que φ est une solution non nulle, de période 2π, de l'équation différentielle E_(0, b).
7. ALGORITHMIQUE: Préciser, au début de cette partie, le logiciel de calcul formel que vous avez étudié, et utiliser son langage de programmation pour traiter la question ci-dessous: