Centrale Mathématiques 1 TSI 2000Sujet et corrigé

Le but de ce problème est de définir et d'étudier, de différentes manières, la constante d'Euler. Les quatre parties proposées sont, dans une large mesure, indépendantes les unes des autres.

Pour tout n ≥ 2, on pose:

I.A - Montrer que : ∀x ∈ [0, 1[, x + ln(1 − x) ≤ 0, x − ln(1 + x) ≥ 0.
I.B - Montrer que les suites ( u_n ) et ( v_n ) sont adjacentes. On notera γ leur limite commune.
Montrer, de plus, que: ∀n ≥ 2, v_n ≤ γ ≤ u_n.
I.C - En déduire une valeur approchée de y à 10^(− 1) près.
I.D - Posons : ∀n ≥ 2,

Montrer que la série de terme général w_n est convergente et que l'on a:

I.E - Soit k un entier supérieur ou égal à 2 . Pour tout réel non nul t, on pose :

I.E.1) Soit g la fonction affine définie sur l'intervalle [k − 1, k] par :

Calculer :

I.E.2) Montrer qu'il existe une et une seule fonction h, affine sur chaque intervalle ] − ∞, k − 1/2[, [k − 1/2, + ∞[, telle que :

I.E.3) Que peut-on dire de la continuité de h ?
I.E.4) Calculer :

I.F - Montrer que :

I.G - Etablir l'encadrement suivant :

I.H - En déduire un encadrement de u_n − γ, pour n ≥ 2.
I.I - Donner une valeur approchée de γ à 10^(− 3) près.

II.A - Montrer l'égalité :

II.B - En déduire que :

II.C - Démontrer les inégalités suivantes :
II.C.1) ∀x ∈ ℝ,

II.C.2) ∀x ∈ [0, n],

II.C.3) ∀x ∈ [0, n],

II.C.4) ∀x ∈ [0, n],

N.B. : on pourra commencer par démontrer que :

II.C.5) ∀x ∈ [0, n],

II.D - Montrer que l'intégrale

converge et que l'on a :

On pose: ∀x > 0,

III.A - Montrer que φ est prolongeable par continuité en 0 et bornée sur ℝ +.
III.B - Montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)e^(− x)φ(x)dx est convergente.
III.C - On pose, pour n ≥ 2 :

Montrer que I_n(a) existe, pour tout a > 0, et que l'on a:

III.D - Montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(e^(− x) − e^(− nx))/xdx est convergente et que l'on a :

III.E - Montrer que :

III.F - En déduire que :

Soit ℝ_n[X] le sous-espace de ℝ[X] formé des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Soit φ l'endomorphisme de ℝ[X] défini par:

Soit φ_n la restriction de φ à ℝ_n[X], considérée comme endomorphisme de ℝ_n[X].
IV.A - Déterminer Kerφ, Kerφ_n, Imφ_n, Imφ.
IV.B - Soit p ∈ ℕ. Montrer qu'il existe un et un seul polynôme P_p de ℝ[X] tel que:

IV.C - Soit, pour p ≥ 1, Q_p(X) = P_p^′(X) − P_p^′(0).
IV.C.1) Calculer φ(Q_p).
IV.C.2) En déduire l'égalité :

IV.D - Déterminer les polynômes P_p, pour 0 ≤ p ≤ 5.
IV.E - Montrer que :

IV.F - Pour k, p ∈ ℕ^∗, on pose :

IV.F.1) Déterminer une relation de récurrence entre I_p(k) et I_(p + 1)(k).
IV.F.2) Calculer I_1(k).
IV.F.3) Donner une expression de I_6(k) en fonction de I_1(k).
IV.F.4) Etablir les inégalités suivantes :

IV.F.5) A l'aide de la question I.D, en déduire un encadrement de u_n − γ.
IV.F.6) Donner les dix premières décimales de γ.