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Polynômes de Bernoulli, formule d'Euler-Mac Laurin et formule de Stirling
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Le sujet construit les polynômes de Bernoulli à partir d'un isomorphisme entre polynômes de moyenne nulle et polynômes quelconques, puis étudie leur développement en série de Fourier. Il en déduit la formule d'Euler-Mac Laurin, qui relie une intégrale à une somme de valeurs aux bornes, et l'applique enfin à l'obtention de la formule de Stirling pour la fonction Gamma.

  1. 1I. Polynômes et nombres de BernoulliConstruit l'isomorphisme entre polynômes de moyenne nulle et polynômes quelconques, puis en déduit par récurrence les polynômes de Bernoulli.
  2. 2II. Développement de FourierÉtudie la régularité de la périodisée d'un polynôme de Bernoulli et son développement en série de Fourier, avec application au calcul de la somme des inverses des carrés.
  3. 3III. La formule d'Euler - Mac LaurinÉtablit une relation reliant une intégrale à une somme faisant intervenir les nombres de Bernoulli et les dérivées de la fonction aux bornes.
  4. 4IV. La formule de Stirling pour la fonction GammaApplique la formule d'Euler-Mac Laurin à la fonction Gamma pour obtenir son équivalent asymptotique en plus l'infini.

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I Polynômes et nombres de Bernoulli

Dans l'espace ℝ[X] des polynômes à coefficients réels, on considère le ℝ-espace vectoriel H défini par
H = {P ∈ ℝ[X]; ∫_0^1 P(x)dx = 0}
Dans tout le problème, on confond les polynômes et les fonctions polynômes.
On note D l'application linéaire de H dans ℝ[X] qui à tout polynôme P ∈ H associe son polynôme dérivé P^′
∀P ∈ H, D(P) = P^′
On identifiera polynôme constant et nombre réel.

I.A -

I.A.1) Soit P ∈ ℝ[X].
À l'aide de l'égalité P = (P − ∫_0^1 P(x)dx) + ∫_0^1 P(x)dx, montrer qu'il existe un unique couple (Q, λ) ∈ H × ℝ tel que P = Q + λ.
I.A.2) En déduire que D est surjectif.
I.A.3) Montrer que D est un isomorphisme.
On note φ = D^(− 1), l'isomorphisme réciproque. Ainsi, si A ∈ ℝ[X], le polynôme B tel que B = φ(A) est l'unique polynôme dans H tel que B^′ = A.
I.A.4) Soit P ∈ ℝ[X]. On note Q la fonction définie par
∀x ∈ ℝ, Q(x) = ∫_0^x P(t)dt + ∫_0^1(t − 1)P(t)dt
On pourra considérer une primitive de P.
a) Montrer que Q ∈ H.
b) Vérifier que Q = φ(P).
I. B - On considère la suite de polynômes (B_n)_(n ∈ ℕ) définie par B_0 = 1 et par la relation de récurrence
∀n ∈ ℕ, B_(n + 1) = φ(B_n)
Le polynôme nB_n est le n-ième polynôme de Bernoulli.
I.B.1) Calculer B_1 et B_2.
I.B.2) Démontrer que pour tout entier n ⩾ 2, B_n(0) = B_n(1).
I.C − Soit n ∈ ℕ, on définit le polynôme C_n par
∀x ∈ ℝ, C_n(x) = (− 1)^n B_n(1 − x)
I.C.1) Pour tout n ∈ ℕ, exprimer C_(n + 1)^′ à l'aide de C_n.
I.C.2) Montrer que pour tout n ∈ ℕ, C_(n + 1) = φ(C_n).
I.C.3) En déduire que pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ, B_n(1 − x) = (− 1)^n B_n(x).
I.C.4) Pour tout n ∈ ℕ^∗, montrer que les nombres B_(2n + 1)(0) et B_(2n + 1)(1) sont nuls.
I. D - Écrire une procédure Bern qui prend en argument un nombre entier n et un nombre réel x et qui affiche la valeur de l'expression B_n(x). On utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel usuellement utilisé.

II Développement de Fourier

On pose pour tout n ∈ ℕ, b_n = B_n(0). Le nombre nb_n est le n-ième nombre de Bernoulli.
Pour tout polynôme P, on désigne par P¯ la fonction périodique de période 1 définie par
∀x ∈ ]0, 1[, P¯(x) = P(x) et P¯(0) = (P(0) + P(1))/2

II.A -

II.A.1) Tracer le graphe de B_2^– sur l'intervalle [ − 1, 2].
II.A.2) La fonction B_2^– est-elle continue sur ℝ ? Est-elle de classe C^1 sur ℝ ? De classe C^1 par morceaux sur ℝ ?
II.A.3) La fonction B_1^– est-elle continue?
II.B - Soit P ∈ ℝ[X].
II.B.1) Prouver que la fonction P¯ est C^1 par morceaux sur ℝ. À quelle condition est-elle continue sur ℝ ?
II.B.2) Montrer que, pour tout x ∈ ℝ, on a
P¯(x) = α_0 + ∑_(k = 1)^(+ ∞)(α_k cos(2kπx) + β_k sin(2kπx))
où les nombres α_0, α_1, … et β_1, β_2, … sont les coefficients de Fourier de x ↦ P¯(x), dont on donnera les expressions sous forme d'intégrales.
II. C - À l'aide de la partie I, montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗, la fonction x ↦ B_(2n)^–(x) est paire et continue sur ℝ.
II.D - Pour tout k ∈ ℕ et tout n ∈ ℕ^∗, on pose
I_k(n) = ∫_0^1 B_(2n)(x)cos(2kπx)dx
II.D.1) Pour tout n ∈ ℕ^∗, calculer I_0(n).
II.D.2) Pour tout k ∈ ℕ^∗ et tout n ∈ ℕ^∗, trouver une relation de récurrence entre I_k(n + 1) et I_k(n).
II.D.3) Pour tout k ∈ ℕ^∗, calculer I_k(1).
II.D.4) Soit n ∈ ℕ^∗. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], on a
B_(2n)(x) = 2(− 1)^(n − 1)∑_(k = 1)^(+ ∞)1/((2kπ)^(2n))cos(2kπx)
II.D.5) Pour n ∈ ℕ^∗, on pose S_(2n) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/(k^(2n)). Justifier l'existence de ce nombre et montrer que
S_(2n) = ((− 1)^(n − 1))/2(2π)^(2n)b_(2n)
II.D.6) Déterminer la valeur de S_2 = ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/(k^2).

III La formule d'Euler - Mac Laurin

Le nombre n est un entier naturel non nul et f une fonction de classe C^(2n) sur [0, 1] et à valeurs dans ℂ. Pour tout entier k compris entre 1 et 2n, on note f^((k)) la dérivée d'ordre k de la fonction f.
III. A - On pose J_n = ∫_0^1 B_(2n)(x)f^((2n))(x)dx.
Pour n ⩾ 2, démontrer la relation
J_n = b_(2n)(f^((2n − 1))(1) − f^((2n − 1))(0)) + J_(n − 1)
III.B - Montrer que
∫_0^1 f(x)dx = (f(0) + f(1))/2 − b_2(f^′(1) − f^′(0)) + J_1
III. C - En déduire que
∫_0^1 f(x)dx = (f(1) + f(0))/2 − ∑_(k = 1)^n b_(2k)(f^((2k − 1))(1) − f^((2k − 1))(0)) + J_n
III.D - Soit g une fonction de classe C^(2n) sur un intervalle [a, b] avec a < b.
En considérant la fonction x ↦ g((1 − x)a + bx) définie sur [0, 1], montrer que l'on obtient la formule d'Euler Mac Laurin :
∫_a^b g(x)dx = (b − a)/2(g(b) + g(a)) − ∑_(k = 1)^n(b − a)^(2k)b_(2k)(g^((2k − 1))(b) − g^((2k − 1))(a)) + R_n
où R_n = ∫_0^1(b − a)^(2n + 1)B_(2n)(x)g^((2n))((1 − x)a + bx)dx.

IV La formule de Stirling pour la fonction Γ

Soit Γ la fonction de la variable réelle x définie par Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t) dt.
IV.A - Justifier que l'ensemble de définition de la fonction Γ est ℝ_+^∗.
IV.B -
IV.B.1) Montrer que pour tout x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x).
IV.B.2) En déduire Γ(n + 1) pour tout n ∈ ℕ.
IV.C - Montrer que la fonction Γ est de classe C^1 sur ℝ_+^∗.
On admet qu'elle est de classe C^∞ sur ℝ_+^∗.
IV.D - Soit g la fonction définie par:
∀x ∈ ℝ_+^∗, g(x) = ln(Γ(x))
IV.D.1) Justifier que pour tout n ∈ ℕ, la fonction g est de classe ℂ^(2n) sur ℝ_+^∗.
IV.D.2) Pour tout réel x > 0, calculer g(x + 1) − g(x).
IV.D.3) Démontrer qu'il existe une constante K tel que
∀x > 0, ∫_x^(x + 1)g(t)dt = xln(x) − x + K
IV.D.4) Soit p un entier strictement positif.
Montrer que, pour tout x > 0, on a
(ln(Γ(x + 1)) + ln(Γ(x)))/2 = xln(x) − x + K + ∑_(k = 1)^p((2k − 2)!)/(x^(2k − 1))b_(2k) − R_p(x)
où R_p(x) = ∫_0^1 B_(2p)(t)g^((2p))(t + x)dt.
La relation précédente permet d'établir la formule de Stirling pour la fonction Γ
Γ(x + 1) ∼ _(x → + ∞)x^x e^(− x)√(2πx)
après avoir prouvé que
lim_(x → + ∞)R_p(x) = 0

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques 1 TSI Centrale 2014 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques 1 TSI Centrale 2014 ?

Il porte sur les polynômes de Bernoulli, construits par un isomorphisme algébrique, sur les séries de Fourier, puis sur la formule d'Euler-Mac Laurin et son application à la formule de Stirling pour la fonction Gamma.

Les parties du sujet s'enchaînent-elles ?

Oui, chaque partie s'appuie sur la précédente : les polynômes de Bernoulli de la partie I servent au développement de Fourier de la partie II, lui-même utilisé pour établir la formule d'Euler-Mac Laurin de la partie III, appliquée en partie IV à la fonction Gamma.

Faut-il connaître la fonction Gamma avant de traiter ce sujet ?

Non, elle est définie et étudiée dès la partie IV, avec ses premières propriétés (relation de récurrence, classe C1).

Le sujet contient-il une question de programmation ?

Oui, la sous-partie I.D demande d'écrire une procédure calculant la valeur d'un polynôme de Bernoulli dans le langage du logiciel de calcul formel utilisé en classe.

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