Centrale Mathématiques 2 TSI 2014Sujet et corrigé

Le but du problème (qui date du XVI ^e siècle) apparaît dans la partie IV.
On note ( e⃗_1, .., e⃗_6 ) la base canonique de ℝ^6. Pour k de 1 à 6 , on note E_k le sous-espace vectoriel de ℝ^6 engendré par les cinq vecteurs de la base autres que e⃗_k.
L'espace vectoriel ℝ^6 est muni de sa structure euclidienne canonique.
Quand on parlera des coordonnées d'un vecteur, il s'agira toujours des coordonnées sur la base canonique.
On définit ainsi trois vecteurs par leurs coordonnées

Soit f l'unique application linéaire de ℝ^6 dans lui-même vérifiant

I.A.1) Représenter la matrice M de f dans la base canonique de ℝ^6.
I.A.2) Donner la valeur du déterminant de M.
I.A.3) Montrer que le rang de M est inférieur ou égal à 5 .
I.A.4) Montrer que l'image de f contient tous les vecteurs de E_5.
I.A.5) Pour k quelconque entre 1 et 6 , quelle est la dimension de E_k ?
I.A.6) Montrer que l'image de f est E_5 et que le noyau de f est de dimension 1 .
I. B - Trouver un vecteur u⃗ dirigeant le noyau de f, ayant des coordonnées simples.

I.C.1) Former le polynôme caractéristique de M.
I.C.2) Quelles sont les valeurs propres de M ? Quels sont leurs ordres de multiplicité ?
I.C.3) Justifier que les sous-espaces propres de f sont ker(f) et E_5.
I.C.4) Montrer que f est diagonalisable et donner une base de ℝ^6 sur laquelle la matrice de f est diagonale.

I.D.1) Montrer que l'application linéaire f est le projecteur sur le sous-espace vectoriel E_5 parallèlement à la droite dirigée par u⃗.
I.D.2) Ce projecteur est-il un projecteur orthogonal?
I.D.3) Exprimer M^2 en fonction de M.
I. E - On considère l'équation f(x⃗) = b⃗, où le vecteur x⃗ est l'inconnue.
I.E.1) Montrer que b⃗ lui-même est une solution particulière de l'équation.
I.E.2) Montrer que la solution générale est le vecteur x⃗ = b⃗ + λu⃗, où le réel λ est arbitraire.
I.E.3) Montrer que le vecteur c⃗ est la seule solution de l'équation différente de b⃗ et dont une coordonnée est nulle, les autres coordonnées étant positives ou nulles.

Que R soit une matrice carrée ou un vecteur colonne, on note ^t R sa matrice transposée.
On rappelle que les deux vecteurs colonnes V et W sont orthogonaux dans l'espace euclidien ℝ^6 si et seulement si le produit matriciel ^t V ⋅ W est nul.
On donne une matrice carrée A et un vecteur colonne Y_0 de ℝ^6, et on considère l'équation matricielle A ⋅ X = Y_0 où l'inconnue est le vecteur colonne X de ℝ^6. On suppose que cette équation n'a pas de solution et on lui associe l'équation ^t A ⋅ A ⋅ X = ^t A ⋅ Y_0.
II.A - On va d'abord montrer que cette dernière équation a des solutions.
II.A.1) Montrer que ^t A ⋅ A ⋅ X = ^t A ⋅ Y_0 si et seulement si le vecteur A ⋅ X − Y_0 est orthogonal à tout vecteur de la forme A ⋅ Z, où Z est un vecteur colonne Z de ℝ^6.
II.A.2) En déduire que ^t A ⋅ A ⋅ X = ^t A ⋅ Y_0 si et seulement si A ⋅ X est la projection orthogonale de Y_0 sur l'image de A.
II.A.3) Montrer qu'un tel vecteur X existe.
II.B - Résolution de l'équation ^t A ⋅ A ⋅ X = ^t A ⋅ Y_0

On pose B = ^t A ⋅ A. On suppose que B est de rang 5 .
II.B.1) Montrer que B est une matrice symétrique.
II.B.2) Soit λ une valeur propre de B et X un vecteur propre associé. En calculant de deux façons le produit matriciel ^t X ⋅ B ⋅ X, montrer que λ est un réel positif.
II.B.3) Montrer qu'il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que B = ^t P ⋅ D ⋅ P, les cinq premiers termes diagonaux de D étant strictement positifs et le dernier étant nul.
II.B.4) Connaissant P et D, montrer que la résolution de ^t A ⋅ A ⋅ X = ^t A ⋅ Y_0 se ramène à un système de cinq équations à cinq inconnues dont la résolution est immédiate.
II. C - Soit X_0 une solution de l'équation ^t A ⋅ A ⋅ X = ^t A ⋅ Y_0.

Rappelons que Y_0 = A ⋅ X n'a pas de solution, donc que Y_0 n'est pas dans l'image de A.
Soit P l'ensemble des vecteurs X de ℝ^6 tels que la distance de A ⋅ X à Y_0 soit minimale au sens des moindres carrés.
Montrer que X_0 appartient à P.
X_0 peut donc être vu comme une solution approchée de l'équation Y_0 = A ⋅ X

Un voyageur dispose de trois cruches C_1, C_2, C_3 contenant chacune de l'eau et de l'air (car le remplissage des cruches est partiel).
À chaque répartition de l'eau dans les trois cruches on associe un vecteur de ℝ^6, x⃗ = (x_1, .., x_6), où x_1, x_3, x_5 désignent les volumes d'eau respectivement dans C_1, C_2, C_3 et où x_2, x_4, x_6 sont les volumes d'air correspondants.
Face à une telle répartition, le voyageur s'autorise l'une des deux manipulations suivantes :
Choisir deux cruches C_i et C_j, verser l'eau de C_i dans C_j (sans déborder) et s'arrêter

On note alors V_(i, j) l'unique endomorphisme de ℝ^6 tel que ∀x⃗ ∈ ℝ^6, y⃗ = V_(i, j)(x⃗). En particulier, V_(3, 1) est l'application notée f dans la partie I.
III.B.2) Donner de même, sans justification, les composantes de y⃗ en fonction de celles de x⃗ lorsque la manipulation utilisée est p(i, j). (On remarquera que déplacer de l'eau de C_i vers C_j équivaut à déplacer de l'air de C_j vers C_i ). On constatera que y_(2j) = 0. On note alors P_(i, j) l'endomorphisme de ℝ^6 qui transforme x⃗ en y⃗.
III. C - Soit k un entier entre 1 et 6.
III.C.1) Justifier que E_k est un hyperplan de ℝ^6.
III.C.2) Donner une équation simple de cet hyperplan.
III.D - On fixe le couple ( i, j ).
III.D.1) Montrer que tous les vecteurs de E_(2i − 1) sont invariants par V_(i, j).
III.D.2) Montrer que tous les vecteurs de E_(2j) sont invariants par P_(i, j).
III.D.3) On note M_(i, j) la matrice de l'application V_(i, j) sur la base canonique de ℝ^6.

Montrer que la matrice M_(i, j) comporte une ligne de zéros, dont on donnera la position.
III.D.4) En s'inspirant de la partie I, montrer que toutes les applications V_(i, j) et P_(i, j) sont de rang 5 et sont diagonalisables.

On considère trois cruches, C_1, C_2 et C_3 de capacités respectives, 8,5 et 3 litres. Initialement C_1 est pleine d'eau et C_2 et C_3 sont vides (pleines d'air). Le voyageur voudrait, par une succession des manipulations permises, faire en sorte que l'eau soit répartie en parts égales dans C_1 et C_2.
Les notations de la partie III pour caractériser la répartition de l'eau dans les cruches à l'aide d'un vecteur de ℝ^6 sont reprises dans cette partie.

IV.A.1) Montrer que les deux vecteurs de ℝ^6 associés respectivement à l'état initial des cruches et à l'état final souhaité sont les vecteurs a⃗ et b⃗ définis dans le préambule.
IV.A.2) Montrer, en utilisant par exemple la dernière question de la partie I, qu'on peut passer par une seule manipulation de l'état associé au vecteur c⃗ du préambule à l'état final souhaité.
IV.A.3) Montrer, en utilisant par exemple III.B. que, si le problème a une solution, les vecteurs de ℝ^6 associés aux états intermédiaires (entre l'état initial et l'état final) ont tous une coordonnée nulle (au moins). On appelle dans la suite «vecteur privilégié » tout vecteur de ℝ^6 ayant une coordonnée nulle, les autres étant strictement positives.
IV.B - On peut résoudre les questions suivantes en raisonnant sur l'état des cruches, sans revenir aux applications linéaires.
IV.B.1) On pose d⃗ = (1, 7, 5, 0, 2, 1).

Montrer que d⃗ est, en dehors de b⃗, le seul vecteur privilégié qu'on puisse obtenir à partir de c⃗ par une seule manipulation.
IV.B.2) Montrer qu'on peut repasser de l'état associé à d⃗ à l'état associé à c⃗ par une seule manipulation.
IV.C - On constate qu'on peut passer de l'état associé à d⃗ à l'état associé à e⃗ = (6, 2, 0, 5, 2, 1) (ou inversement), puis de même, de e⃗ à f⃗ = (6, 2, 2, 3, 0, 3), de f⃗ à g⃗ = (3, 5, 2, 3, 3, 0) et de g⃗ à h⃗ = (3, 5, 5, 0, 0, 3), qui n'est pas privilégié.
Montrer qu'il est possible de passer de l'état initial (associé à a⃗ ) à l'état associé à h⃗ en utilisant une seule manipulation.
IV.D - Décrire, pour résumer, les manipulations successives qui permettent au voyageur d'atteindre son but.
IV.E - Partant de la même répartition initiale d'eau dans les cruches (8 litres, 0 litre, 0 litre),
IV.E.1) Est-il possible d'arriver à une répartition de l'eau en parts égales entre les trois cruches ?
IV.E.2) Est-il possible d'arriver à la répartition (4 litres, 2 litres, 2 litres) ?
IV.F - Rappelons que les capacités des cruches sont 8,5 et 3 litres.
IV.F.1) Donner les composantes y_1, …, y_6 du vecteur colonne Y_0 associé à la répartition des 8 litres d'eau en trois quantités égales dans les trois cruches (répartition qu'on ne peut obtenir si l'on s'en tient aux manipulations permises).
IV.F.2) Parmi les sous-espaces E_k, quel est celui pour lequel la distance euclidienne de Y_0 à E_k est la plus petite et quelle est cette distance ?
Nous laissons au voyageur le soin de poursuivre les calculs.

On cherche une solution au problème des trois cruches, tel qu'il est posé dans la partie IV, plus directe que la précédente, en écrivant, dans le langage de programmation vu en classe, un programme envisageant, à partir de l'état initial ( 8, 0, 0 ) de l'eau dans les cruches, toutes les manipulations possibles et les états qu'elles donnent, jusqu'à obtenir l'état (4, 4, 0).
Pour un certain état des cruches, les trois volumes d'eau contenus dans C_1, C_2 et C_3 sont les trois éléments d'une colonne m d'un tableau (extensible) T à trois lignes et n colonnes ( n peut varier).
Initialement T n'a qu'une colonne contenant (8, 0, 0) et n = 1.
V.A - Écrire une procédure nommée figure. Cette procédure, destinée à éviter les répétitions, attend trois nombres à l'entrée et l'appel de figure ( a, b, c ) renvoie la valeur true si l'état ( a, b, c ) figure déjà dans une colonne du tableau T. Elle renvoie false dans le cas contraire.
V.B - Pour i, j et m fixés, écrire la suite d'instructions permettant, en examinant l'état des cruches défini par la colonne m du tableau T, de trouver, si C_i n'est pas vide, celle des deux manipulations v(i, j) ou p(i, j) qui est alors possible et, si cette manipulation donne un état non encore répertorié, le ranger dans le tableau T en accolant une nouvelle colonne à celui-ci.
Programmer aussi l'affichage de la valeur de m et du tableau (complété). Cela permettra de suivre l'avancement du travail pendant que le programme s'exécutera.
V.C - Incorporer les instructions précédentes dans des boucles imbriquées permettant de traiter tous les couples ( i, j ) possibles et faire varier m jusqu'à l'apparition, dans le tableau, de l'état espéré ( 4, 4, 0 ).
V.D - Par suite d'une panne, l'écran reste figé sur l'affichage intermédiaire suivant de m et du tableau T

Finir manuellement le travail du programme, sans donner trop de détails.
V.E - On pourrait alors reconstituer la suite des manipulations que le voyageur doit faire. On s'en tiendra à décrire la dernière manipulation et à la comparer avec celle trouvée dans la partie IV.