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Centrale Mathématiques 2 TSI 2013Sujet et corrigé

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Notations

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel ⩾ 2.
On note M_n(ℝ) (respectivement M_n(ℂ) ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels (respectivement complexes), I_n la matrice unité et O_n la matrice nulle de M_n(ℝ) (respectivement de M_n(ℂ) ).
Si A = (a_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) ∈ M_n(ℝ) (ou M_n(ℂ) ), on note Det(A) le déterminant de A et tr(A) la trace de A, égale à la somme de ses éléments diagonaux : tr(A) = ∑_(i = 1)^n a_(ii).
Si A ∈ M_n(ℝ) (ou M_n(ℂ) ), le polynôme caractéristique de A est χ_A(λ) = det(A − λI_n).

I Réduction des matrices réelles d'ordre 2

Soit A une matrice carrée réelle de taille 2 : A ∈ M_2(ℝ)

I.A - Généralités

I.A.1) Montrer que χ_A(λ) = λ^2 − tr(A)λ + Det(A).
I.A.2) Montrer que A est diagonalisable dans M_2(ℂ) si et seulement si
tr(A)^2 − 4Det(A) ≠ 0 ou ∃λ_0 ∈ ℂ tel que 𝔸 = _0 𝕀_2
I.A.3) Montrer que A est diagonalisable dans M_2(ℝ) si et seulement si
tr(A)^2 − 4Det(A) > 0 ou ∃λ_0 ∈ ℝ tel que 𝔸 = _0 𝕀_2

I.B - Applications

Soit (u_k)_(k ∈ ℕ) et (v_k)_(k ∈ ℕ) deux suites à termes réels définies par
{u_0 = 1; v_0 = 2 et ∀k ∈ ℕ, {u_(k + 1) = 4u_k − 2v_k; v_(k + 1) = u_k + v_k
On pose, pour k ∈ ℕ, X_k = ((u_k)/(v_k)).
I.B.1) Trouver une matrice A dans M_2(ℝ) telle que, pour tout entier naturel k : X_(k + 1) = AX_k.
I.B.2) Soit k dans ℕ. Exprimer X_k en fonction de A, X_0 et k.
I.B.3) Prouver que A est diagonalisable puis déterminer une matrice P de M_2(ℝ), inversible telle que :
P^(− 1)AP = (2, 0; 0, 3) = D
I.B.4) Soit k dans ℕ. Exprimer les coefficients de A^k en fonction de k.
I.B.5) En déduire l'expression de u_k et v_k en fonction de k.

II Réduction de matrices d'ordre 3 ou 4

II.A - Le cas n = 3

On définit la matrice J par
J = (0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 0, 0)

II.A.1) Calculer J^2 et J^3.

Soit k dans ℕ. Préciser J^k en fonction de k.
II.A.2) On note j le nombre complexe égal à e^(2iπ/3).
Rappeler sans justification la valeur de 1 + j + j^2.
II.A.3) Déterminer le polynôme caractéristique de J ainsi que ses valeurs propres.
II.A.4) Déterminer une matrice inversible P de M_3(ℂ) telle que :
J = P(1, 0, 0; 0, j, 0; 0, 0, ȷ¯)P^(− 1)
II.A.5) Soient trois nombres complexes a, b et c. On pose
A(a, b, c) = (a, b, c; c, a, b; b, c, a)
a) Exprimer A(a, b, c) en fonction de a, b, c et des matrices I_3, J et J^2.
b) En déduire que A(a, b, c) est diagonalisable dans M_3(ℂ) dans une base indépendante du choix des valeurs des complexes a, b et c.
c) Préciser les valeurs propres de la matrice A(a, b, c).
d) Exprimer le déterminant de A(a, b, c) en fonction de a, b, c et du nombre complexe j sous la forme d'un produit.
II.A.6) On pose E = {A(a, b, c); (a, b, c) ∈ ℂ^3}.
a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M_3(ℂ).
b) Donner la dimension de E en justifiant avec soin.

II.B - Le cas n ⩾ 3 quelconque

Dans cette question, n désigne un entier supérieur ou égal à 3 : n ⩾ 3.
On note e = (e_1, …, e_n) la base canonique de ℂ^n.
On note u l'endomorphisme de ℂ^n défini par : u(e_2) = e_1, u(e_3) = e_2, …, u(e_n) = e_(n − 1) et u(e_1) = e_n, c'est-à-dire
∀k ∈ {2, …, n}, on a u(e_k) = e_(k − 1) tandis que u(e_1) = e_n
II.B.1) On note U la matrice de u dans la base canonique e de ℂ^n. Expliciter la matrice U.
II.B.2) On note ω une racine n^(ième) de l'unité et x_ω le vecteur de ℂ^n défini par :
x_ω = ∑_(k = 1)^n ω^(k − 1)e_k
Calculer u(x_ω) en fonction de ω et de x_ω.
II.B.3) Montrer que u est diagonalisable. On précisera une base de vecteurs propres pour u.
II.B.4) Que peut-on dire de u^n ?

II.C - Le cas n = 4 quelconque

Dans toute cette partie, on choisit n = 4.
II.C.1) Expliciter U, U^2, U^3, U^4 où U est la matrice définie dans la question précédente.
II.C.2) On note ( a, b, c, d ) une famille de 4 complexes et on pose:
V = (a, b, c, d; d, a, b, c; c, d, a, b; b, c, d, a)
Montrer que V est diagonalisable dans M_4(ℂ).
Donner une base de vecteurs propres et préciser les valeurs propres de la matrice V en fonction des nombres complexes a, b, c, d et i.

III Le théorème de Cayley-Hamilton

Soit A une matrice de M_n(ℂ).
On note : χ_A(λ) = (− 1)^n(λ^n − a_(n − 1)λ^(n − 1) − a_(n − 2)λ^(n − 2) − … − a_0) le polynôme caractéristique de A.
Le but de cette partie est de montrer que A annule son polynôme caractéristique, c'est-à-dire que :
A^n − a_(n − 1)A^(n − 1) − a_(n − 2)A^(n − 2) − … − a_0 I_n = O_n
III. A - Justifier l'existence d'une matrice T triangulaire supérieure de M_n(ℂ) et d'une matrice P de M_n(ℂ) inversible telles que A = PTP^(− 1).
On note λ_1, …, λ_n les éléments diagonaux de T.
On note E_1, …, E_n les matrices colonnes des vecteurs de la base canonique de ℂ^n.
Ainsi E_1 = (1; 0; ⋮; 0) et E_n = (0; ⋮; 0; 1)
Le polynôme caractéristique de T est : χ_T(λ) = (− 1)^n(λ − λ_1)(λ − λ_2)…(λ − λ_n).
III.B - Montrer que T et A ont le même polynôme caractéristique.
III. C - Vérifier que, pour tout couple (i, j) d'entiers compris entre 1 et n, on a :
(T − λ_i I_n)(T − λ_j I_n) = (T − λ_j I_n)(T − λ_i I_n)
III. D - Montrer que, pour tout entier k compris entre 1 et n − 1, on a :
(T − λ_(k + 1)I_n)E_(k + 1) ∈ Vect{E_1, …, E_k}
III. E - On pose, pour tout entier k compris entre 1 et n : M_k = (T − λ_1 I_n)(T − λ_2 I_n)…(T − λ_k I_n), que l'on peut noter M_k = ∏_(j = 1)^k(T − λ_j I_n) puisque les matrices du produit commutent deux à deux.
Montrer que, pour tout entier k compris entre 1 et n, on a : M_k E_k = 0.
On pourra utiliser un raisonnement par récurrence sur k.
III. F - En déduire que ∏_(j = 1)^n(T − λ_j I_n) = O_n puis que ∏_(j = 1)^n(A − λ_j I_n) = O_n.
On observe que le résultat attendu en découle puisque χ_T = χ_A.

IV Méthodes numériques de calcul du polynôme caractéristique et des valeurs propres d'une matrice réelle

Soit A une matrice de M_n(ℝ).
On note : χ_A(λ) = (− 1)^n(λ^n − a_(n − 1)λ^(n − 1) − a_(n − 2)λ^(n − 2) − … − a_0).

IV.A - Le calcul du polynôme caractéristique

Soit X_0 ∈ M_(n, 1)(ℝ) une matrice colonne.
On pose X = (a_0; a_1; ⋮; a_(n − 1)).
IV.A.1) Montrer que A^n X_0 = a_(n − 1)A^(n − 1)X_0 + a_(n − 2)A^(n − 2)X_0 + … + a_0 X_0.
IV.A.2) En déduire que X est solution d'un système linéaire de la forme : A~X = B où A~ est une matrice de M_n(ℝ) dont on donnera les colonnes et B est une matrice colonne que l'on précisera.
IV.A.3) Que peut-on dire de ce système linéaire si la famille ( A^(n − 1)X_0, A^(n − 2)X_0, …, X_0 ) est libre ?

IV.B - Le calcul approché des valeurs propres

Dans cette partie, on suppose que A admet n valeurs propres réelles distinctes telles que:
|λ_1| > |λ_2| > … > |λ_n|
On considère l'ensemble F des suites réelles (y_k)_(k ∈ ℕ) définies par :
{y_0, y_1, …, y_(n − 1), arbitraires; y_(k + n) = a_(n − 1)y_(k + n − 1) + a_(n − 2)y_(k + n − 2) + … + a_0 y_k, pour tout entier k ⩾ 0
IV.B.1) Montrer que F est un ℝ-espace vectoriel.
IV.B.2) Montrer que, pour tout entier j compris entre 1 et n, la suite (λ_j^k)_(k ∈ ℕ) appartient à F.
Dans la suite, on admet que F est de dimension finie avec dimF = n.
On admet aussi que la famille ((λ_1^k)_(k ∈ ℕ), …, (λ_n^k)_(k ∈ ℕ)) est une famille libre de l'espace vectoriel des suites de réels.
Soit une suite (y_k)_(k ∈ ℕ) de F.
IV.B.3) Justifier l'existence d'une famille de n réels ( α_1, …, α_n ) telle que, pour tout entier k :
y_k = ∑_(j = 1)^n α_j λ_j^k
IV.B.4) On choisit y_0, y_1, …, y_(n − 1) pour que α_1 soit non nul.
a) Donner un équivalent simple de la suite (y_k)_(k ∈ ℕ) quand k tend vers + ∞.
b) En déduire que y_k est non nul à partir d'un certain rang.
c) Montrer que lim_(k → + ∞)(y_(k + 1))/(y_k) = λ_1.
IV.B.5) Une fois obtenue λ_1, comment peut-on construire une suite qui converge vers λ_2 ? On ne demande pas de justification.

IV.C - Illustration sur un exemple

Dans cette partie, on choisit :
A = (− 1, 3; − 2, 4)
IV.C.1) Calculer le polynôme caractéristique de A et déterminer les deux valeurs propres λ_1, λ_2 avec |λ_1| > |λ_2|.
IV.C.2) Préciser la relation de récurrence vérifiée par les suites de l'espace F associé à la matrice A.
IV.C.3) En prenant y_0 = 0, y_1 = 1, écrire des instructions en Maple ou Mathematica permettant de calculer les 10 premiers termes de la suite (y_k)_(k ∈ ℕ).
IV.C.4) Calculer ces 10 premiers termes et déterminer le plus petit entier naturel k tel que (y_(k + 1))/(y_k) soit une valeur approchée de λ_1 à 10^(− 1) près.

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