Centrale Mathématiques 2 TSI 2012Sujet et corrigé

Ce problème est basé sur une illusion d'optique.
On dit que deux courbes P et R de l'espace font illusion si les trois propriétés suivantes sont vérifiées quels que soient les points P et R de P et R :

Pour situer l'illusion d'optique, plaçons un observateur sur la droite ( PR ), hors du segment [P, R] et regardant vers P et R. Son œil étant aligné avec P et R, ces points (distincts) lui semblent être confondus.
De plus, son œil est, a fortiori, dans le plan passant par P et dirigé par p⃗ et PR^(→−) donc toute droite de ce plan lui semble être la tangente à P; l'illusion est analogue pour la tangente à R. Comme p_1^(→−) et r_1→ sont orthogonaux, ces deux tangentes lui semblent être orthogonales donc les deux courbes semblent se couper à angle droit.
Deux courbes faisant illusion étant données, on peut aussi chercher l'ensemble des points M de l'espace d'où l'observateur jouit de l'illusion d'optique.
Pour mener cette étude, l'espace est muni de sa structure euclidienne canonique et rapporté à un repère orthonormé direct ( O; i⃗, j⃗, k⃗ ), noté également Oxyz. Le produit scalaire est noté ∙, la norme euclidienne est notée ‖‖ et la distance euclidienne d.

I.A - Dans le plan Oxy, on considère la droite Δ d'équation x = − 3, les points F et S de coordonnées ( 1,0 ) et (− 1, 0) et le point variable P de coordonnées (x, y).
I.A.1) Calculer les carrés des distances de P au point F et de P à la droite Δ.
I.A.2) Former une équation cartésienne de la courbe P, ensemble des points P du plan Oxy qui sont équidistants de F et de Δ.
I.A.3) Quelle est la nature de P et que représentent S, F et Δ pour P ? Représenter P.
I.A.4) Montrer que P admet dans l'espace la représentation paramétrique

I.B - On considère de même la courbe R admettant la représentation paramétrique

I.B.1) Montrer que R est une parabole passant par F et la représenter dans le plan Oxz.
I.B.2) Montrer que R se déduit de P par une symétrie orthogonale par rapport à une droite à préciser.
I.B.3) Sur un même dessin, représenter le repère Oxyz, puis les tangentes en S à P et en F à R, et enfin P et R elles-mêmes.
I.C - Soit P le point de paramètre t sur P et R le point de paramètre u sur R.
I.C.1) Donner, par leurs composantes, un vecteur p⃗ dirigeant la tangente en P à P et un vecteur r⃗ dirigeant la tangente en R à R.
I.C.2) Calculer les composantes de p_1^(→−) = p⃗ ∧ PR^(→−) et de r_1→ = r⃗ ∧ PR^(→−).
I.C.3) L'un de ces deux produits vectoriels peut-il être nul?
I.D - Montrer que les deux courbes P et R font illusion.
IE − On reprend les notations du I.C. Soit μ un réel et M le point de la droite (PR) défini par PM^(→−) = μPR^(→−).
I.E.1) Comment faut-il choisir μ pour que le point M ne soit pas sur le segment de droite [PR] (afin que du point M on puisse voir simultanément P et R )?
I.E.2) Exprimer les coordonnées ( x, y, z ) de M en fonction de t, u et μ, puis t et u en fonction de y, z et μ.
I.E.3) On fixe les coordonnées y et z du point M.

Montrer que le point M est un point depuis lequel on a l'illusion d'optique si et seulement si x est dans l'ensemble des valeurs prises par une certaine fonction de μ que l'on précisera.
I.E.4) Quels sont les points de l'axe Ox depuis lesquels on a l'illusion d'optique ?

Soient, dans l'espace, quatre points M_1, M_2, M_3, M_4 de coordonnées (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3), ( x_4, y_4, z_4 ) et soient u, v, w, h quatre nombres réels.
On leur associe les matrices

On considère V comme un vecteur de ℝ^4; on note f l'application linéaire de ℝ^4 dans lui-même ayant L pour matrice dans la base canonique de ℝ^4.
On note V_1, V_2, V_3, V_4 les vecteurs lignes de L.

II.A.1) En examinant le produit LV, montrer qu'il n'y a pas dans Ker(f) de vecteur non nul dont les trois premières composantes soient nulles.
II.A.2) Montrer que Ker(f) n'est pas réduit au vecteur nul si et seulement si le déterminant de L est nul.
II.A.3) Montrer que si V est non nul et appartient à Ker(f), alors

est l'équation d'un plan contenant M_1, M_2, M_3 et M_4.
II.A.4) Montrer que M_1, M_2, M_3 et M_4 sont coplanaires si et seulement si le déterminant de L est nul.

II.B.1) On suppose que le rang de S est inférieur ou égal à 2 .

Montrer que, quel que soit M_4, le déterminant de L est nul. En déduire que M_1, M_2, M_3 sont alignés.
II.B.2) Montrer que le rang de S est inférieur ou égal à 2 si et seulement si M_1, M_2, M_3 sont alignés.
II. C - On suppose que M_1 ≠ M_2.
II.C.1) Montrer que la famille des deux vecteurs lignes ( V_1, V_2 ) est libre.
II.C.2) Montrer que M_1, M_2, M_3 sont alignés si et seulement si il existe μ ∈ ℝ tel que V_3 = μV_1 + (1 − μ)V_2.
II.D - On suppose ici que les points M_1, M_2, M_3, M_4 sont alignés et tous distincts.
II.D.1) Montrer que les deux dernières lignes de la matrice L sont combinaisons linéaires des deux premières.
II.D.2) Qu'en résulte-t-il pour le rang de L et la dimension de Ker(f) ?
II.D.3) Montrer que L admet, dans le cas où on s'est placé, 0 comme valeur propre, avec un ordre de multiplicité supérieur ou égal à 2 .

On suppose M_1, M_2, M_3, M_4 non coplanaires. Une droite Δ rencontre en quatre points M_4^′, M_3^′, M_2^′, M_1^′, tous distincts, les quatre plans contenant respectivement les points ( M_1, M_2, M_3 ), ( M_1, M_2, M_4 ), ( M_1, M_3, M_4 ) et (M_2, M_3, M_4).
On note M_1^(′′), M_2^(′′), M_3^(′′), M_4^(′′) les milieux des segments [ M_1 M_1^′ ], [M_2 M_2^′], [ M_3 M_3^′ ], [ M_4 M_4^′ ]. On se propose de démontrer que M_1^(′′), M_2^(′′), M_3^(′′) et M_4^(′′) sont coplanaires.
Pour cela, on utilise encore la matrice L construite à l'aide des coordonnées de ( M_1, M_2, M_3, M_4 ) et aussi les matrices L^′ et L^(′′) construites de la même façon à l'aide des coordonnées de ( M_1^′, M_2^′, M_3^′, M_4^′ ) et de ( M_1^(′′), M_2^(′′), M_3^(′′), M_4^(′′) ).
II.E.1) On note V_1^′, V_2^′, V_3^′, V_4^′ les vecteurs lignes de L^′. En considérant les points M_1^′, M_2, M_3, M_4, montrer qu'il existe des réels β_1, γ_1, δ_1 tels que

II.E.2) Montrer qu'il existe une matrice carrée T de taille 4 vérifiant :

II.E.3) Montrer que le vecteur-colonne de composantes ( 1, 1, 1, 1 ) est vecteur propre de T et donner la valeur propre associée.
II.E.4) Montrer que L est inversible et que L^′ et T sont de rang 2 .
II.E.5) En utilisant la trace de T, donner la liste des valeurs propres de T.
II.E.6) Montrer que L^(′′) = (L + L^′)/2 et justifier que L^(′′) n'est pas inversible.
II.E.7) Conclure.

III. A - On considère la courbe P du plan z = 0 admettant dans Oxyz la représentation paramétrique

III.A.1) Montrer qu'il s'agit d'une ellipse dont on précisera les foyers F et F^′.
III.A.2) Représenter P dans le plan Oxy.
III. B - On considère de même la courbe R du plan y = 0 admettant dans Oxyz la représentation paramétrique

(ch et sh désignent le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique.)
III.B.1) Montrer que R est une partie d'une hyperbole H dont on donnera une équation cartésienne.
III.B.2) Préciser, sans justification, les asymptotes de H.
III.B.3) Représenter R dans le plan Oxz.
III. C - Sur un même dessin, représenter le repère Oxyz, les points F et F^′ puis les tangentes remarquables à P et R, et enfin P et R elles-mêmes.
III.D - Soient P le point de paramètre t sur P et R le point de paramètre u sur R.

Donner, par leurs composantes, un vecteur p⃗ dirigeant la tangente en P à P et un vecteur r⃗ dirigeant la tangente en R à R.
On ne terminera pas la démonstration du fait que P et R font illusion.
III. E - Les réels x, y, z, t et u étant donnés, soient M le point de coordonnées x, y, z, P le point de paramètre t sur P et R le point de paramètre u sur R. On leur associe la matrice

On note V_1, V_2 et V_3 ses vecteurs lignes.
III.E.1) En utilisant l'un des résultats de la partie II, montrer que M, P et R sont alignés si et seulement si il existe un réel μ tel que V_3 = μV_1 + (1 − μ)V_2.
III.E.2) En déduire une représentation paramétrique de l'ensemble des points M ainsi obtenus, de la forme

III.E.3) Comment faut-il choisir μ pour que l'observateur placé en M ait l'illusion d'optique?

On voudrait maintenant trouver tous les couples de courbes qui font illusion. On va se limiter à chercher P et R faisant illusion et vérifiant en plus :

On note P_0 (et R_0 ) les points de paramètres t_0 (et u_0 ) sur P (et R ).
Soient donc P et R deux courbes ayant toutes ces propriétés.
On rappelle que l'intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet du cône est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.
IV. A - On note P et R les points P(t) et R(u), V⃗ le produit vectoriel PR^(→−) ∧ F⃗^′(t), W⃗ le produit vectoriel PR^(→−) ∧ G⃗^′(u) et φ(t, u) le produit scalaire de V⃗ et W⃗.
Montrer que φ(t, u) est nul pour tout couple ( t, u ) de réels.
IV.B.1) En utilisant PR^(→−) = OR^(→−) − OP^(→−), exprimer la dérivée partielle de ‖PR^(→−)‖^2 par rapport à u en fonction du produit scalaire PR^(→−)∙G⃗^′(u).
IV.B.2) Montrer que P_0 R_0^(→−) est orthogonal à G⃗^′(u_0) et à F⃗^′(t_0).
IV.C - Dans cette question, on fixe la valeur de t et on choisit un repère orthonormé PXYZ d'origine P avec l'axe PZ^(→−) dans la direction de F⃗^′(t).
On note v la troisième composante de F⃗^′(t).
On abrègera en X, Y, Z, X^′, Y^′ et Z^′ les composantes de PR(u)^(→−) et de G⃗^′(u).
IV.C.1) Traduire par une relation entre ces divers nombres la nullité de φ(t, u).
IV.C.2) Montrer que la fonction h telle que h(u) = (Z^2)/(X^2 + Y^2 + Z^2) est définie et dérivable sur ℝ et calculer sa dérivée.
IV.C.3) En utilisant IV.C.1, montrer que h est constante sur ℝ.
IV.C.4) En déduire que R est contenue dans une surface, qu'on notera S(t) et qui est, suivant la valeur de la constante précédente, soit le plan passant par P et orthogonal à F⃗^′(t), soit un cône de révolution de sommet P et dont l'axe est dirigé par F⃗^′(t).
IV.D - Dans cette question, on fixe la valeur de t à t = t_0, donc P = P_0.
IV.D.1) Montrer que le point R_0 appartient à S(t_0).
IV.D.2) Montrer que R est contenue dans le plan Γ passant par P_0 et orthogonal à F⃗^′(t_0).
IV.E -
IV.E.1) Montrer que P n'est pas incluse dans le plan Γ.
IV.E.2) On fixe t à une valeur t_1 telle que le point P_1 = P(t_1) de P ne soit pas dans le plan Γ. Montrer que S(t_1) est un cône de révolution de sommet P_1.
IV.F -
IV.F.1) Montrer que R est contenue dans une ellipse, une hyperbole ou une parabole, elle-même contenue dans le plan Γ.
IV.F.2) Montrer de même que P est contenue dans une ellipse, une hyperbole ou une parabole, elle-même contenue dans un plan Π perpendiculaire à Γ et que l'on précisera.