Centrale Mathématiques 2 TSI 2010Sujet et corrigé

L'espace E = ℝ^3 est muni de sa structure euclidienne canonique, la base canonique de E, notée ℬ_c = (e_1, e_2, e_3), étant orthonormale. L(E) désigne l'ensemble des endomorphismes de E.
Les parties II, III et IV sont indépendantes entre elles.

Dans toute cette partie, on étudie des endomorphismes de E qui admettent une seule droite (vectorielle) stable et un seul plan (vectoriel) stable.

Rappel : un sous-espace F de E est stable par un endomorphisme f si f(F) ⊂ F.
I.A - Soit f ∈ L(E). Soit a ∈ E un vecteur non nul de E et D = Vect(a), la droite vectorielle de vecteur directeur a.
I.A.1) Montrer que D est stable par f si et seulement si a est vecteur propre de f.
I.A.2) En déduire que tout endomorphisme f de E admet au moins une droite stable.
I.A.3) Soit n ∈ ℕ^∗. Le résultat précédent reste-t-il vrai dans ℝ^n, quel que soit n ?
I.B - Soit f ∈ L(E) et P un plan stable par f. On note f˜ l'endomorphisme de P induit par f sur P, défini par f˜(x) = f(x) pour tout x ∈ P.
I.B.1) Montrer que le polynôme caractéristique de f˜ divise celui de f.
I.B.2) Montrer que si f˜ possède une droite stable, alors f possède au moins deux droites stables en général, sauf dans un cas particulier que l'on précisera.
I.C - Soit F un espace vectoriel réel de dimension 2 et g ∈ L(F). On suppose que g ne possède pas de valeur propre réelle et on note M la matrice de g dans une base de F.
I.C.1) Soit g^′ l'endomorphisme de ℂ^2 de matrice M dans la base canonique de ℂ^2. Montrer qu'il existe un vecteur non nul de ℂ^2, ε_1 = (a, b) et α ∈ ℂ, α ∉ ℝ vérifiant: g^′(ε_1) = αε_1 et g^′(ε_1^–) = α¯ × ε_1^– où ε_1^– = (a¯, b¯).
I.C.2) Montrer que (ε_1 + ε¯_1, ε_1 − ε¯_1) est une base de ℂ^2. Quelle est la matrice de g^′ dans cette base?
I.C.3) Montrer qu'il existe Q ∈ ℳ_2(ℂ) inversible et (X, Y) ∈ ℂ × ℂ^∗, tels que :

On admettra que de la même manière :
il existe Q ∈ ℳ_2(ℝ) inversible et (X, Y) ∈ ℝ × ℝ^∗ tels que :

I.D -
I.D.1) Soit f ∈ L(E) admettant un seul plan stable et une seule droite stable non incluse dans ce plan. Montrer qu'il existe une base de E où la matrice de f s'écrit :

I.D.2) Soit f ∈ L(E) de matrice M dans la base canonique ℬ_c de E.

Soit P un plan d'équation ax + by + cz = 0 dans cette base, n = (a, b, c) étant un vecteur non nul de E.

Montrer que, si P est stable par f, pour tout u élément de P, n^′ est orthogonal à u. En déduire que P est stable par f si et seulement si n^′ est vecteur propre de l'endomorphisme de matrice ^t M dans ℬ_c.
I.D.3) Soit f ∈ L(E). Montrer l'équivalence des trois propositions suivantes :
i) f admet une unique droite stable.
ii) f admet un unique plan stable.
iii) Le polynôme caractéristique de f admet une seule racine réelle soit simple, soit triple et le sous-espace propre associé est de dimension 1 .

II.A - Soit M = (0, 1, 0; 0, 0, 1; a, b, c) avec a, b, c réels.
II.A.1) Déterminer le polynôme caractéristique de M.
II.A.2) Soit α ∈ ℝ, une valeur propre de M. Déterminer l'espace propre attaché à cette valeur propre. Préciser en particulier sa dimension.
II.A.3) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur son polynôme caractéristique pour que M soit diagonalisable.
II.A.4) Soit f ∈ L(E) de matrice M dans ℬ_c. A quelle condition f admet-elle une droite stable et une seule?
II.B - Étude d'un exemple :

II.B.1) Montrer que f possède un unique plan stable noté P_t et une unique droite stable notée D_t que l'on déterminera.
II.B.2) Montrer que Δ, réunion de toutes les droites D_t, t ∈ ℝ, est incluse dans la surface Σ d'équation y^2 = xz. Quelle est la nature de la surface Σ ? Déterminer l'ensemble Σ∖Δ, complémentaire de Δ dans Σ.
II.B.3) Tracer la courbe intersection de ( Σ ) et du plan d'équation z = 1. En déduire une représentation de (Σ).
II.C - On considère la surface ( S_1 ) d'équation y^2 = 4xz.
II.C.1) Déterminer la nature de ( S_1 ) et l'équation du plan tangent en tout point M_0 = (x_0, y_0, z_0) de la surface. Vérifier que ce plan contient toujours le point (0, 0, 0).
II.C.2) Montrer que si x_0 ≠ 0, il existe un réel t tel que le plan tangent en M_0 à (S_1) soit P_t.
II.D - On cherche ici des surfaces de ℝ^3 possédant la même propriété que (S_1).

Soit f une application de classe C^2 définie sur U ouvert de ℝ^2 à valeurs dans ℝ et soit S_f la surface d'équation z = f(x, y).
II.D.1) Écrire l'équation du plan tangent en un point quelconque M_0 de S_f, le point M_0 ayant pour coordonnées x_0, y_0 et z_0 = f(x_0, y_0).
II.D.2) Écrire les conditions portant sur f et ses dérivées premières pour qu'en tout point le plan tangent soit un des plans de la famille (P_t)_(t ∈ ℝ).
II.D.3) On note, pour x fixé, u : y ⟼ f(x, y).

Montrer qu'on a alors : u^(′′)(y)(y − 2xu^′(y)) = 0.
II.D.4) On suppose ici U = ℝ_+^∗ × ℝ.

Déterminer les fonctions f telles qu'en tout point (x, y) de U,

II.D.5) Déterminer les surfaces correspondant à cette condition.

On considère dans cette partie l'endomorphisme g_r de E défini pour tout r de ℝ, non nul, par sa matrice B(r) dans la base canonique de ℝ^3.
On donne B(r) = (2, 0, 0; r^2, 0, − r; r, r, 0).
III.A - Déterminer le polynôme caractéristique de g_r. Déterminer ses éléments propres.
III.B - On note, pour tout r ∈ ℝ, Δ_r l'unique espace propre de g_r.

Soit Γ l'intersection de l'ensemble des droites Δ_r avec le plan d'équation z = 1.
III.B.1) Montrer qu'une représentation paramétrique de Γ est:

III.B.2) Soit Γ^′ l'ensemble d'équation cartésienne y(x + y)^2 = x − y.

Comparer Γ et Γ^′.
III.B.3) On considère la base orthonormée

Déterminer l'équation de Γ^′ dans cette nouvelle base (les nouvelles coordonnées seront notées X, Y ).

Dans cette partie, on associe à tout triplet V = (x, y, z) de ℝ^3, la matrice :

IV.A -
IV.A.1) Montrer que si u ∈ ℂ est tel que u^3 = 1, alors le vecteur (1; u; u^2) est un vecteur propre de A_V.
IV.A.2) En déduire une matrice P ∈ ℳ_3(ℂ) inversible et indépendante de V, telle que P^(− 1)A_V P soit diagonale, et préciser les valeurs propres de A_V.
IV.A.3) Soit J = A_((0, 1, 0)) = (0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 0, 0).

Exprimer la matrice A_V au moyen des matrices I_3, J et J^2. Préciser comment les valeurs propres de A_V se déduisent de celles de J.

IV.A.4) Soit f_V l'endomorphisme de ℝ^3 de matrice A_V dans la base canonique. Donner des conditions nécessaires et suffisantes pour que f_V ait une et une seule droite stable ainsi qu'un et un seul plan stable.
IV.A.5) Donner une expression factorisée de det(A_V), au moyen de deux termes réels. On pourra utiliser les résultats de la question IV.A.2).
IV.B - Montrer que g : V ↦ A_V est un isomorphisme d'espaces vectoriels entre ℝ^3 et {A_V, V ∈ ℝ^3}.
IV.C - Soit S = {V ∈ ℝ^3|det(A_V) = 1}.
IV.C.1) Déterminer la nature de la courbe intersection de S avec le plan :

selon le réel λ.
En déduire que S est une surface de révolution, dont on précisera l'axe.
IV.C.2) À tout V = (x, y, z) et V^′ = (x^′, y^′, z^′) dans ℝ^3, on associe V∗V^′ = V^(′′) = (x^(′′), y^(′′), z^(′′)) tel que:

Comment peut-on interpréter A_(V^(′′)) en fonction des matrices A_V et A_(V^′) ? Montrer que S est stable pour la loi ∗, et que ( S, ∗ ) est un groupe commutatif.
IV.C.3) Soit U = {u ∈ ℂ, |u| = 1}. Pour (u, t) ∈ ℝ × U, on pose:

Montrer F est une bijection de ℝ × U sur S.
IV.C.4) Calculer F(t, u)∗F(t^′, u^′). Que peut-on en déduire?