Centrale Mathématiques 2 TSI 2003Sujet et corrigé

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Similitude d'une matrice réelle carrée à sa transposée

Le problème démontre progressivement que toute matrice carrée réelle est semblable à sa transposée. Après des questions préliminaires sur la relation de similitude, le cas n=2 est traité explicitement en résolvant une équation matricielle, puis le cas n=3 à l'aide de sous-espaces stables et de la structure euclidienne de l'espace. Un résultat auxiliaire permet ensuite de ramener le problème complexe au problème réel, avant de traiter le cas général par récurrence sur la dimension, en s'appuyant sur la trigonalisation des endomorphismes complexes.

1Partie I : questions préliminairesOn établit les propriétés de base de la relation de similitude entre matrices et on montre qu'une matrice diagonale ou diagonalisable est semblable à sa transposée.
2Partie II : cas n=2On résout explicitement, pour une matrice 2x2 non diagonale, l'équation matricielle tAP=PA d'inconnue P et on en déduit une matrice inversible réalisant la similitude entre A et sa transposée.
3Partie III : cas n=3On utilise la structure euclidienne de l'espace, l'existence de droites et de plans stables par l'endomorphisme associé, pour construire une matrice de passage réalisant la similitude entre A et sa transposée.
4Partie IV : un résultat utile pour la suiteOn montre que deux matrices réelles semblables en tant que matrices complexes sont déjà semblables en tant que matrices réelles, à l'aide d'un argument polynomial sur le déterminant.
5Partie V : cas généralOn traite le cas général par récurrence sur la dimension n, en utilisant la trigonalisation des endomorphismes complexes et la décomposition en sous-espaces stables supplémentaires.

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MATHÉMATIQUES II

Dans tout le problème,

n

est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On note

M_n(ℝ)

l'ensemble des matrices carrées réelles de taille

n

M_n(ℂ)

l'ensemble des matrices carrées complexes de taille

n

.
On note

^t A

la matrice transposée d'une matrice

A

.
On note

det(A)

le déterminant d'une matrice

A

appartenant à

M_n(ℝ)

M_n(ℂ)

Partie I - Questions préliminaires

I.A - Soit

E

ℝ

-espace vectoriel de dimension

n, 𝒰

𝒱

deux bases de

E

; on note

P

la matrice de passage de

𝒰

𝒱

.
Soit

f

un endomorphisme de

E, A

sa matrice sur

𝒰

B

sa matrice sur

𝒱

. Exprimer

A

en fonction de

B

, de

P

et de

P^(- 1)

. (On ne demande pas de démonstration).
I.B - Soient

M

N

deux matrices appartenant à

M_n(ℝ)

; on rappelle que

M

est dite semblable à

N

s'il existe une matrice inversible

Q

appartenant à

M_n(ℝ)

telle que

M = QNQ^(- 1)

.
Montrer que si

M

est semblable à

N

, alors

N

est semblable à

M

. On dit alors, de façon abrégée, que «

M

N

sont semblables».
I.C - Soit

A, B

C

trois matrices appartenant à

M_n(ℝ)

. On suppose que

A

est semblable à

B

et que

B

est semblable à

C

.
Montrer que

A

est semblable à

C

.
Montrer aussi que

^t A

^t B

sont semblables.
I.D - Soit

A \in M_n(ℝ)

.
I.D.1) Montrer que si

A

est diagonale,

A

^t A

sont semblables.
I.D.2) Montrer que si

A

est diagonalisable, alors

A

^t A

sont semblables.

Plus généralement :
Le but du problème est de montrer que toute matrice

A

appartenant à

M_n(ℝ)

est semblable à sa transposée.

Filière TSI

Partie II - Cas $n = 2$

Dans cette partie, on fixe une matrice

A \in M_2(ℝ)

, non diagonale, qu'on écrit

à é é A = [a, b; c, d] et on cherche à résoudre l'équation (ℰ) : ^t AP = PA,

où l'inconnue

P

est une matrice appartenant à

M_2(ℝ)

, qu'on cherchera sous la forme

P = [x, y; z, t].

II.A - Trouver un ensemble de conditions, portant sur

x, y, z

t

, qui soit nécessaire et suffisant pour que

P

vérifie (

ℰ

).
On ramènera cet ensemble à deux conditions, l'une étant

y = z

et l'autre ne portant que sur

x, y

t

.
II.B - En prenant l'un des deux nombres

x

t

nul, l'autre égal à

d - a

et, dans chacun des deux cas, en choisissant convenablement

y

, trouver deux matrices

P

solutions; montrer que l'une au moins de ces deux matrices est inversible.
II.C - Montrer que

A

^t A

sont semblables.

Partie III - Cas $n = 3$

Dans cette partie, on munit l'espace vectoriel

ℝ^3

de sa structure euclidienne usuelle. La base canonique est donc orthonormée. Le produit scalaire de deux vecteurs

x⃗

y⃗

est noté

x⃗ \cdot y⃗

.
On fixe une matrice

A \in M_3(ℝ)

. On note

f

h

les endomorphismes de

ℝ^3

qui admettent respectivement

A

^t A

pour matrices sur la base canonique. On désigne par id l'endomorphisme identité et par

I

la matrice unité d'ordre 3.
On rappelle qu'un sous-espace vectoriel

V

ℝ^3

est dit stable par

f

si, pour tout vecteur

v⃗

V

, le vecteur

f(v⃗)

appartient à

V

III.A - Questions préliminaires

III.A.1) Montrer que toute fonction polynomiale de

ℝ

dans

ℝ

, de degré impair, admet au moins un zéro.
III.A.2) Montrer que les matrices

A

^t A

ont le même polynôme caractéristique et que ce polynôme admet au moins une racine réelle.
III.A.3) Soit (

D

) une droite vectorielle de

ℝ^3

, dirigée par un vecteur

i⃗

Montrer que (

D

) est stable par

f

si et seulement si

i⃗

est vecteur propre de

f

. Montrer qu'il existe au moins une droite stable par

f

.
III.A.4) On suppose que le réel

a

est valeur propre de

f

, le sous-espace propre associé étant

F

, et valeur propre de

h

, le sous-espace propre associé étant

H

. Comparer les rangs des matrices

A - aI

^t A - aI

. En déduire que

F

H

sont de même dimension.
III.A.5) Soient

x⃗

y⃗

deux vecteurs de

ℝ^3

, de matrices

X

Y

sur la base canonique.
Comparer le produit scalaire

x⃗ \cdot y⃗

et l'unique terme de la matrice

^t XY

.
Exprimer de façon analogue les produits scalaires

f(x⃗).y⃗

x⃗.h(y⃗)

et montrer que ces deux nombres sont égaux.
III.A.6) Soit

u⃗

un vecteur propre de

h

Montrer que le plan vectoriel orthogonal au vecteur

u⃗

est stable par

f

.
III.B - Dans toute cette question, on suppose qu'il existe une seule droite, notée

(D)

, stable par

f

. On désigne par

i⃗

un vecteur unitaire dirigeant (

D

).
III.B.1) Montrer qu'il existe une seule droite, qu'on notera (

D^'

), stable par

h

. Dans toute cette question III.B, on suppose que (

D^'

) est orthogonale à (

D

) et on introduit une base orthonormée (

i⃗, j⃗, k⃗

) de

ℝ^3

, le vecteur

k⃗

dirigeant (

D^'

). Soit

B

la matrice de

f

sur cette base.
III.B.2) Montrer que

f(j⃗)

est orthogonal à

k⃗

.
III.B.3) Justifier que

B

est de la forme

[a, b, c; 0, a, d; 0, 0, a].

III.B.4) En considérant le rang de

B - aI

, montrer que

b

d

sont non nuls.
III.B.5) On pose

P = [0, 0, b; 0, d, 0; b, 0, 0]

Calculer

BP

P^t B

.
Montrer que

A

est semblable à

^t A

III.C - Complément

On suppose, dans cette question seulement, que

A = [1, 1, 1; 0, 1, 1; 0, 0, 1]

Montrer que

f

vérifie toutes les hypothèses de III.B.
III.D - Dans cette question, on suppose que

f

ne vérifie pas toutes les hypothèses de la question III.B.
III.D.1) Montrer qu'il existe une droite (

D

) et un plan (

P

) stables par

f

, (

D

) n'étant pas contenue dans (

P

).
III.D.2) Montrer qu'on peut trouver un vecteur

i⃗

dans (

D

) et deux vecteurs

j⃗

k⃗

dans (

P

) tels que (

i⃗, j⃗, k⃗

) soit une base de

ℝ^3

.
Quel est l'aspect de la matrice

B

f

sur cette base?
III.D.3) Montrer, en calculant les produits

^t BQ

QB

et en utilisant la partie II, qu'on peut trouver des réels

x, y, z

t

tels que la matrice

é Q = [1, 0, 0; 0, x, y; 0, z, t] soit inversible et vérifie ^t BQ = QB

Montrer que

A

est semblable à

^t A

Partie IV - Un résultat utile pour la suite du problème

On utilise maintenant des matrices complexes.
On note

i

le complexe usuel tel que

i^2 = - 1

.
IV.A - Soit

M

une matrice appartenant à

M_n(ℂ)

. Montrer qu'il existe un unique couple (

P, Q

) de matrices appartenant à

M_n(ℝ)

tel que

M = P + iQ

.
IV.B - Soient

A

B

deux matrices appartenant à

M_n(ℝ)

. On suppose que ces deux matrices, considérées comme éléments de

M_n(ℂ)

, sont semblables.
IV.B.1) Montrer qu'il existe deux matrices

P_1

P_2

appartenant à

M_n(ℝ)

telles que

P_1 A = BP_1, P_2 A = BP_2

det(P_1 + iP_2)

est non nul.
IV.B.2) Soit

g

l'application de

ℂ

dans

ℂ

définie par

g(x) = det(P_1 + xP_2)

Montrer, par exemple par récurrence sur

n

, que

g

est une fonction polynomiale. Montrer que

g

n'est pas la fonction nulle de

ℂ

dans

ℂ

.
En déduire qu'on peut trouver un réel

x

tel que

det(P_1 + xP_2) \neq 0

.
IV.B.3) Montrer que les matrices

A

B

, considérées comme éléments de

M_n(ℝ)

, sont semblables.

Partie V - Cas général

Dans cette partie,

n

est un entier quelconque supérieur ou égal à 2 .
Soit

A \in M_n(ℂ)

f

l'endomorphisme de

ℂ^n

dont

A

est la matrice sur la base canonique.
V.A - Rappeler le résultat du cours sur la trigonalisation d'un endomorphisme et justifier qu'il s'applique à

f

.
On admettra le résultat suivant, plus précis :
Soit

α

une valeur propre de

f

. On peut trouver une base

ℬ = (e_1, \dots, e_n)

ℂ^n

et un entier

k

entre 0 et

n - 1

ayant les propriétés suivantes :

La matrice $T$ de $f$ sur $ℬ$ est triangulaire supérieure.
Les $k$ premiers termes diagonaux sont tous différents de $α$ et les $n - k$ derniers sont tous égaux à $α$ .
On pose $g = f - αid$ , où id désigne l'identité de $ℂ^n$ .
V.B - Dans cette question, $k = 0$ ; les termes diagonaux de $T$ sont donc tous égaux à $α$ .
V.B.1) Montrer que, pour tout $i$ de 2 à $n, g(e_i)$ appartient au sous-espace engendré par $e_1, e_2, \dots, e_(i - 1)$ .
En déduire que l'endormorphisme $g^n$ est nul. ( $g^m$ désigne l'endomorphisme composé $g$ o $g\dots$ o $g$ , où $g$ est utilisé $m$ fois).
Dans toute la suite de ce $V.B$ , on désigne par $p$ le plus petit entier supérieur ou égal à 1 tel que $g^p$ soit nul.
Montrer que si $p = 1$ , alors $A$ est semblable à $^t A$ .
On continue en supposant $p \neq 1$ . On a donc : $2 \leq p \leq n, g^(p - 1) \neq 0$ et on désigne par $u⃗$ un vecteur tel que $g^(p - 1)(u⃗)$ ne soit pas nul.
On pose $u⃗_p = u⃗, u⃗_(p - 1) = g(u⃗), \dots, u⃗_1 = g^(p - 1)(u⃗)$ .
Montrer que la famille ( $u⃗_1, \dots, u⃗_p$ ) est libre.
V.B.2) On suppose que $p = n$ .

Quelles sont les matrices de

f

sur les bases

(u⃗_1, u⃗_2, \dots, u⃗_n)

(u⃗_n, u⃗_(n - 1), \dots, u⃗_1)

ℂ^n

? Montrer que

A

est semblable à

^t A

.
V.B.3) On suppose que

p < n

et on complète (

u⃗_1, \dots, u⃗_p

) en une base

(u⃗_1, u⃗_2, \dots, u⃗_n)

ℂ^n

On note

U

la matrice de

g

sur cette base et

P

la matrice carrée dont la

k

-ième ligne est égale à la première ligne de

U^(k - 1)

.
Montrer que les lignes de cette matrice

P

, à partir de la

p + 1

- ième, sont nulles. Que peut-on en conclure concernant le rang de

P

?
Pour

j

k

entre 1 et

p

, préciser

g^(k - 1)(u_j)

suivant que

k < j, k = j

k > j

.
En déduire les

p

premiers termes de la

k

-ième ligne de

P

.
Montrer que la matrice

P

est de rang

p

.
Soit

h

l'endomorphisme admettant

P

pour matrice sur la base (

u⃗_1, u⃗_2, \dots, u⃗_n

) de

ℂ^n

et soit

W

le sous-espace engendré par (

u⃗_1, u⃗_2, \dots, u⃗_p

).
Montrer que pour tout

v⃗ \in W

, on a

h(v⃗) = v⃗

.
En déduire que

W

et le noyau de

h

sont deux sous-espaces supplémentaires de

ℂ^n

. Montrer que ces deux sous-espaces sont stables par

g

et par

f

.
V.C - Dans cette question,

k

n'est pas nul.
V.C.1) Justifier que la matrice de

g

sur la base

ℬ

est de la forme

[T_1, B; - O¯, - T_2],

où les matrices

T_1

T_2

sont triangulaires supérieures, de tailles respectives

k

n - k

.
Montrer que la matrice

T_2^(n - k)

est nulle et que la matrice

T_1

est inversible.
V.C.2) On admet que la matrice de

g^(n - k)

sur la base

ℬ

est de la forme

[T_1^(n - k), B^'; -, -; O, T_2^(n - k)].

Quel est le rang de cette matrice ? Quelle est la dimension du noyau

G

g^(n - k)

?
V.C.3) Soit

F

le sous-espace de

ℂ^n

engendré par (

e⃗_1, e⃗_2, \dots, e⃗_k

Montrer que

F

G

sont supplémentaires dans

ℂ^n

et que ces sous-espaces de

ℂ^n

sont stables par

g

f

.
V.D - On suppose par récurrence que toute matrice carrée complexe de taille comprise entre 1 et

n - 1

est semblable à sa transposée.
V.D.1) On suppose ici qu'il existe deux sous-espaces

F

G

supplémentaires dans

ℂ^n

et stables par

f

, aucun de ces deux sous-espaces n'étant réduit au vecteur nul.
En considérant les restrictions de

f

F

G

, montrer que

A

est semblable à

^t A

.
V.D.2) En rassemblant les résultats, montrer que, dans tous les cas,

A

est semblable à

^t A

.
V.E - On suppose maintenant que

A \in M_n(ℝ)

. Montrer que

A

est semblable à

^t A

dans

M_n(ℝ)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 2 TSI Centrale 2003 ?

Il porte entièrement sur l'algèbre linéaire des matrices carrées réelles et complexes : similitude, sous-espaces stables, structure euclidienne et trigonalisation.

Quel est l'objectif global de ce sujet ?

Démontrer que toute matrice carrée réelle est semblable à sa transposée, en traitant d'abord des cas particuliers de petite dimension avant de généraliser le résultat par récurrence.

Le sujet comporte-t-il des parties indépendantes ?

Le sujet est progressif : les parties II et III traitent des cas particuliers qui servent d'intuition, la partie IV établit un résultat technique réutilisé dans la partie V, qui conclut le cas général.

Pourquoi passe-t-on par les matrices complexes dans la partie IV ?

Parce que la trigonalisation, outil essentiel pour traiter le cas général en dimension quelconque, n'est garantie que pour des matrices complexes ; il faut donc établir que la similitude obtenue dans C se transporte bien dans R.

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MATHÉMATIQUES II

Partie I - Questions préliminaires

Filière TSI

Partie II - Cas n = 2

Partie III - Cas n = 3

III.A - Questions préliminaires

III.C - Complément

Partie IV - Un résultat utile pour la suite du problème

Partie V - Cas général

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 2 TSI Centrale 2003 ?

Quel est l'objectif global de ce sujet ?

Le sujet comporte-t-il des parties indépendantes ?

Pourquoi passe-t-on par les matrices complexes dans la partie IV ?

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Commentaires• Centrale Mathématiques 2 TSI 2003

Partie II - Cas $n = 2$

Partie III - Cas $n = 3$