CCINP Mathématiques 1 TSI 2014Sujet et corrigé

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet se compose d'un exercice et d'un problème totalement indépendants entre eux et qui peuvent être abordés dans un ordre quelconque.

On considère l'espace vectoriel réel ℝ_1[X] constitué des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 1 .
Autrement dit, ℝ_1[X] = {aX + b, (a, b) ∈ ℝ^2}.
On désigne par φ l'application de ℝ_1[X] × ℝ_1[X] dans ℝ définie par :
∀(P, Q) ∈ ℝ_1[X] × ℝ_1[X], φ(P, Q) = ∫_0^1 P(t)Q(t)dt.
Par exemple, si P = X + 1 et Q = X, alors φ(X + 1, X) = ∫_0^1(t + 1)tdt = 1/3 + 1/2 = 5/6.
I. Montrer que φ est un produit scalaire sur ℝ_1[X].

Pour alléger les notations, on notera désormais (P|Q) le produit scalaire des polynômes P et Q à la place de φ(P, Q).

La norme associée à ce produit scalaire sera notée ‖. ‖.
Ainsi, pour tout polynôme P de ℝ_1[X], ‖P‖ = √((P|P)).
II. Dans cette question, on se propose de montrer qu'il existe un unique polynôme P_0 de ℝ_1[X] possédant la propriété suivante: ∀P ∈ ℝ_1[X], (P|P_0) = P(0).
On distinguera bien P_0 qui désigne un polynôme de ℝ_1[X] et P(0) qui représente la valeur du polynôme P en 0 .
II.A. Soit P_0 un polynôme fixé de ℝ_1[X].

Montrer que l'égalité (P|P_0) = P(0) est vérifiée pour tout polynôme P de ℝ_1[X], si et seulement si, elle est vérifiée pour les deux polynômes P = 1 et P = X.
II.B. On pose : P_0(X) = a_0 X + b_0 où a_0 et b_0 désignent deux réels.
II.B.1. Calculer (1|P_0) et (X_(|P_0)) à l'aide de a_0 et b_0.

En déduire que (P|P_0) = P(0) pour tout polynôme P de ℝ_1[X],
si et seulement si : {1/2a_0 + b_0 = 1; 1/3a_0 + 1/2b_0 = 0
II.B.2. Conclure qu'il existe un unique polynôme P_0 de ℝ_1[X] que l'on explicitera tel que: ∀P ∈ ℝ_1[X], (P|P_0) = P(0).
III. On désigne par S l'ensemble des polynômes P de ℝ_1[X] tels que ‖P‖ = 1 et on se propose de déterminer la valeur maximale prise par P(0) lorsque P décrit S en utilisant successivement deux méthodes différentes.
III.A. Première méthode.

On pose P_1 = 1.
III.A.1. Vérifier que ‖P_1‖ = 1.
III.A.2. En utilisant le procédé d'orthonormalisation de Schmidt, déterminer un polynôme P_2 de ℝ_1[X] tel que ( P_1, P_2 ) soit une base orthonormale de ℝ_1[X].
III.A.3. Montrer que les éléments de S sont exactement les polynômes de la forme cos(θ)P_1 + sin(θ)P_2, où θ décrit ℝ.
III.A.4. Si P = cos(θ)P_1 + sin(θ)P_2, déterminer deux réels λ et θ_0 indépendants de θ et tels que P(0) = λcos(θ − θ_0) pour tout réel θ.
III.A.5. En déduire la valeur maximale prise par P(0) lorsque P décrit S .

III.B.1. Rappeler l'énoncé de l'inégalité de Cauchy-Schwarz et préciser les cas où cette inégalité est une égalité.
III.B.2. En utilisant le résultat obtenu dans la partie II., montrer que: ∀P ∈ S, P(0) ≤ ‖P_0‖.
III.B.3. Déterminer un polynôme P de S tel que P(0) = ‖P_0‖.
III.B.4. Retrouver ainsi d'une seconde manière la valeur maximale prise par P(0) lorsque P décrit S .

Définitions et notations utilisées:
Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et E un espace vectoriel sur ℝ de dimension n.

Soient f et g deux endomorphismes de E ; on note f ∘ g la composée de f et de g.

On convient que f^0 = Id, f^1 = f et pour tout entier k supérieur ou égal à 2 , on pose f^k = f ∘ f ∘ …… ∘ f_()_(k fois).

On dit que f est cyclique, si et seulement si, il existe un vecteur a de E tel que (a, f(a), f^2(a), …….., f^(n − 1)(a)) soit une base de E .
Par exemple, si n = 2, dire que f est cyclique revient à dire qu'il existe un vecteur a de E tel que ( a, f(a) ) soit une base de E .
De même, si n = 3, dire que f est cyclique revient à dire qu'il existe un vecteur a de E tel que (a, f(a), f^2(a)) soit une base de E .

La première partie du problème est consacrée à l'étude d'exemples.
La seconde partie propose l'étude d'un endomorphisme de l'espace vectoriel ℝ_(n − 1)[X].
Elle est totalement indépendante de la première partie.

I.A. On considère dans cette section I.A. que E = ℝ^2.

Soit α l'endomorphisme de ℝ^2 dont la matrice dans la base canonique de ℝ^2 est la matrice A = [4, − 6; 1, − 1].
I.A.1. On choisit a = (2, 3).

Déterminer le vecteur α(a) et montrer que α est cyclique.
I.A.2. Déterminer le vecteur α^2(a) puis déterminer deux réels x et y tels que : α^2(a) = xa + yα(a).
I.A.3. Déterminer la matrice A^′ de α dans la base (a, α(a)).
I.A.4. Montrer que le réel 2 est une valeur propre de α.
I.A.5. Déterminer un vecteur b non nul de ℝ^2, tel que (b, α(b)) ne soit pas une base de ℝ^2.
On donnera les coordonnées du vecteur b que l'on aura choisi dans la base canonique de ℝ^2.
I.B. On considère dans cette section I.B. que E = ℝ^3.

Soit β l'endomorphisme de ℝ^3 dont la matrice dans la base canonique de ℝ^3 est la matrice B = [2, 0, 0; 0, 4, − 6; 0, 1, − 1].
I.B.1 Déterminer le polynôme caractéristique de β.
I.B.2. Montrer que β est un automorphisme de ℝ^3.
I.B.3. Déterminer une base de chacun des sous espaces propres de β.

En déduire que β est diagonalisable, puis donner une base de ℝ^3 dans laquelle la matrice de β soit la matrice D = [2, 0, 0; 0, 2, 0; 0, 0, 1].
I.B.4. Montrer que β^2 − 3β + 2Id = 0 où 0 désigne ici l'endomorphisme nul de ℝ^3.
I.B.5. En déduire que β n'est pas cyclique.
I.C. On considère dans cette section I.C. que E = ℝ_(n − 1)[X] où n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
Soit γ l'endomorphisme de ℝ_(n − 1)[X] qui, à tout polynôme P de ℝ_(n − 1)[X], associe le polynôme P^′.
On admettra que γ est bien un endomorphisme de ℝ_(n − 1)[X] et on ne demande pas de le vérifier.
On a donc par exemple : γ(X^2 − 3X + 1) = 2X − 3.
I.C.1. Déterminer γ(X^(n − 1)) et plus généralement γ^k(X^(n − 1)) pour tout entier k compris au sens large entre 1 et n − 1.
On effectuera un raisonnement par récurrence sur k.
I.C.2. En déduire que γ est cyclique.
II. Dans cette partie, on se donne un entier n supérieur ou égal à 2 .

On considère l'endomorphisme δ de ℝ_(n − 1)[X] qui à tout polynôme P de ℝ_(n − 1)[X] associe le polynôme Q défini par: Q(X) = P(X + 1) − P(X).
On admettra que δ est bien un endomorphisme de ℝ_(n − 1)[X] et on ne demande pas de le vérifier.
On a donc par exemple : δ(X^2 − 3X + 1) = ((X + 1)^2 − 3(X + 1) + 1) − (X^2 − 3X + 1).

On rappelle également le résultat suivant que l'on pourra utiliser sans avoir à le démontrer :
soit (Q_0, Q_1…….., Q_(n − 1)) une famille de polynômes de l'espace vectoriel ℝ_(n − 1)[X] telle que pour tout entier i compris au sens large entre 0 et n − 1, deg(Q_i) = i.
Alors, la famille (Q_0, Q_1…….., Q_(n − 1)) est une famille libre de ℝ_(n − 1)[X].
II.A. Dans cette question, on montre que δ est cyclique.
II.A.1. Soit k un entier naturel compris au sens large entre 1 et n − 1.

En utilisant la formule du binôme, montrer que le polynôme δ(X^k) est exactement de degré k − 1.
II.A.2. Soit maintenant P un élément quelconque de ℝ_(n − 1)[X], le polynôme P étant supposé de degré supérieur ou égal à 1 .
En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que: deg(δ(P)) = deg(P) − 1.
II.A.3. Montrer enfin que δ est cyclique en considérant la famille (X^(n − 1), δ(X^(n − 1)), δ^2(X^(n − 1))…….., δ^(n − 1)(X^(n − 1))).
II.B. Dans cette question, on détermine le noyau et l'image de l'endomorphisme δ.
II.B.1. En utilisant le résultat de la question II.A.2., montrer que le noyau de l'endomorphisme δ est constitué de l'ensemble des polynômes constants.
II.B.2. Montrer que l'image de l'endomorphisme δ est contenue dans l'espace vectoriel ℝ_(n − 2)[X].
II.B.3. En utilisant le théorème du rang, montrer finalement que l'image de l'endomorphisme δ coïncide avec l'espace vectoriel ℝ_(n − 2)[X].
II.C. Dans cette question, on introduit une famille de polynômes P_0, P_1, P_2…….., P_(n − 1), qui va permettre de démontrer d'une autre manière que δ est cyclique. On définit les polynômes P_0, P_1, P_2………, P_(n − 1), de ℝ_(n − 1)[X] en posant:

On a donc, pour tout entier j compris au sens large entre 1 et n − 1,

II.C.1. Montrer que (P_0, P_1, P_2, ………., P_(n − 1)) est une base de ℝ_(n − 1)[X].
II.C.2. Dans cette question et dans cette question seulement, on suppose que n = 4. Déterminer les coordonnées du polynôme X^3 − 5X^2 + X − 3 dans la base (P_0, P_1, P_2, P_3) de ℝ_3[X].
Indication : on pourra remarquer que 0 est racine de P_1, P_2 et P_3, puis que 1 est racine de P_2 et P_3…
II.C.3. Soient i et j deux entiers naturels, tels que : i ≠ 0 et 1 ≤ j ≤ n − 1.

Montrer que δ(P_j) = P_(j − 1) puis déterminer δ^i(P_j) en distinguant les cas i ≤ j et i > j.
On donnera le résultat sans avoir besoin de le justifier.
II.C.4. En déduire une autre démonstration du fait que δ est cyclique.