CCINP Mathématiques 1 TSI 2002Sujet et corrigé

Les calculatrices sont interdites.
NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Notations du problème

Soit

n

un entier naturel non nul,

ℳ_n(ℝ)

l'algèbre des matrices carrées d'ordre

n

à coefficients réels.
Soit

A = [a_(i, j)]_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n)

un élément de

ℳ_n(ℝ)

i

indique le numéro de la ligne de

a_(i, j)

j

indique le numéro de la colonne de

a_(i, j)

.
On appelle trace de

A

et on note

tr(A)

le nombre réel

tr(A) = \sum_(i = 1)^n a_(i, i)

^t A

désigne la transposée de la matrice

A

GL_n(ℝ)

est l'ensemble des matrices carrées inversibles de

ℳ_n(ℝ)

I_n

désigne la matrice unité d'ordre

n

S_n(ℝ)

est l'ensemble des matrices symétriques.

A_n(ℝ)

est l'ensemble des matrices antisymétriques, c'est-à-dire telles que

^t A = - A

PARTIE I

Montrer que l'application tr est une application linéaire.
Soit $A$ et $B$ dans $ℳ_n(ℝ)$ .

Est-ce que l'on a

tr(AB) = tr(A)tr(B)

?
Montrer que

tr(AB) = tr(BA)

.
3) Soit

P

dans

GL_n(ℝ)

A

dans

ℳ_n(ℝ)

. Montrer que

tr(P^(- 1)AP) = tr(A)

.
4) Soit

A

B, 2

matrices semblables.

Que peut-on dire de leurs polynômes caractéristiques?
Que représente

tr(A)

relativcrnent aux coefficients du polynôme caractéristique

P_A^' X

A

?
Retrouver ainsi le résultat de la question 3).
5) Existe-t-il des matrices

A

B

dans

ℳ_n(ℝ)

telles que

AB - BA = 2I_n

?
6) Soit

A \in A_n(ℝ)

. Montrer que

tr(A) = 0

PARTIE II

Soit

A

B

dans

ℳ_n(ℝ)

. On définit

⟨A|B⟩ = tr(^t AB)

Montrer que l'application $ℳ_n(ℝ) \times ℳ_n(ℝ) \to ℝ, (A, B) \mapsto ⟨A|B⟩$ est un produit scalaire sur l'espace vectoriel $ℳ_n(ℝ)$ .
On considèrera l'espace vectoriel euclidien $(ℳ_n(ℝ), ⟨|⟩)$ pour toute la suite et $‖A‖ = \sqrt(⟨A|A⟩)$ la norme associée.
On vérifiera que $‖A‖^2 = \sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n a_(i, j)^2$ .
Montrer que $S_n(ℝ)$ et $A_n(ℝ)$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $ℳ_n(ℝ)$ .
Soit $S \in S_n(ℝ)$ et $A \in A_n(ℝ)$ . Montrer que $⟨S|A⟩ = 0$ .

En déduire que

A_n(ℝ) = (S_n(ℝ))^⊥

est le supplémentaire orthogonal de

S_n(ℝ)

dans

ℳ_n(ℝ)

.
4) Soit

A \in ℳ_n(ℝ)

A = A^' + A^('')

l'unique décomposition de

A

selon la somme directe

S_n(ℝ) \oplus A_n(ℝ)

. Justifier que

\forallM, M \in S_n(ℝ), ‖A - M‖^2 ⩾ ‖A - A^'‖^2

.
En déduire que

inf_(M \in S_n(ℝ))\sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n(a_(i, j) - m_(i, j))^2 = ‖(t^t A - A)/2‖^2.

Soit $f$ la fonction de $ℝ^3$ vers $ℝ$ définie par $f(x, y, z) = (1 - x)^2 + (4 - z)^2 + (2 - y)^2 + (3 - y)^2$ .

Montrer que

f

a un minimum absolu que l'on calculera. On précisera en quel point ce minimum est atteint.
6) Soit

A, B, C

dans

ℳ_n(ℝ)

telles que

^t AA = A^t A

^t BB = B^t B

Calculer

‖AC - CB‖^2

‖^t AC - C^t B‖^2

.
À l'aide de I.2) vérifier que

‖^t AC - C^t B‖^2 - ‖AC - CB‖^2 = 0.

En déduire que

(AC = CB) \Leftrightarrow (^t AC = C^t B)

PARTIE III

L'objectif de cette partie est d'établir la propriété suivante par récurrence sur

n

𝒜(n)

: soit

{S_1, S_2, …, S_p}

un ensemble de

p

matrices carrées d'ordre

n

symétriques permutant 2 à 2 :

∀(i, j) ∈ {1, …, p}^2, S_i S_j = S_j S_i.

Alors il existe une matrice orthogonale

Ω

d'ordre

n

telle que

∀i ∈ {1, …, p}, Ω^(− 1)S_i Ω

soit une matrice diagonale.

Que peut-on dire de la propriété pour $n = 1$ ?
On suppose que $n$ est supérieur ou égal à 2 et que la propriété est vraie jusqu'au rang $(n - 1)$ . Les matrices symétriques $S_1, \dots, S_p$ d'ordre $n$ permutent 2 à 2 .
2.1) Que peut-on dire si toutes les matrices $S_1, \dots, S_p$ sont diagonales?
2.2) On suppose dans toute la suite que $S_1$ n'est pas une matrice diagonale. Justifier l'existence d'un entier $r$ , d'un réel $λ$ , d'une matrice diagonale $Δ$ d'ordre $n - r$ et d'une matrice orthogonale $Ω_1$ d'ordre $n$ tels que : $1 ⩽ r ⩽ n - 1, Ω_1^(- 1)S_1 Ω_1 = (λI_r, 0; 0, Δ)$ où 0 désigne des blocs nuls et où $λ$ ne figure pas sur la diagonale de $Δ$ .
2.3) Pour $1 ⩽ i ⩽ p$ , on écrit la matrice $Ω_1^(- 1)S_i Ω_1 = (A_i, B_i; D_i, C_i)$ sous forme de 4 blocs où $A_i$ est carré d'ordre $r$ et $C_i$ carré d'ordre $n - r$ .
Montrer que $D_i = ^t B_i$ et que $A_i$ et $C_i$ sont symétriques.
2.4) Pour $1 ⩽ i ⩽ p$ , montrer que $S_1 S_i = S_i S_1 ⇔ {λB_i = B_i Δ; ΔC_i = C_i Δ$

En déduire que

B_i

D_i

sont des blocs nuls.
2.5) Montrer que

∀(i, j) ∈ {1, …, p}^2, S_i S_j = S_j S_i ⇔ {A_i A_j = A_j A_i; C_i C_j = C_j C_i

2.6) En appliquant l'hypothèse de récurrence à

{A_1, …, A_p}

et à

{C_1, …, C_p}

terminer la démonstration.
3) On considère les deux ensembles de matrices d'ordre deux

{A_1, A_2, A_3}

{C_1, C_2, C_3}

définis par :

的 A_1 = (1/4, (\sqrt3)/4; (\sqrt3)/4, 3/4), A_2 = (5/4, (\sqrt3)/4; (\sqrt3)/4, 7/4); C_1 = (1/2, 1/2; 1/2, 1/2), C_2 = (3/2, 1/2; 1/2, 3/2)C_3 = (0, 0; 0, 0), (3/2, - 1/2; - 1/2, 3/2) 的

3.1) Vérifier que ces deux ensembles vérifient l'hypothèse figurant dans

𝒜(n)

au début de la partie III et donner un exemple de matrices orthogonales

Ω_2

Ω_2^'

telles que

Ω_2^(- 1)A_i Ω_2

(Ω_2^')^(- 1)C_i Ω_2^'

soient des matrices diagonales à préciser.
3.2) Soit les matrices d'ordre 4 écrites par blocs

S_i = (A_i, 0; 0, C_i), 1 ⩽ i ⩽ 3

Donner une base orthonormée de

ℝ^4

formée de vecteurs propres communs à

S_1, S_2, S_3

et indiquer les valeurs propres correspondantes pour chaque matrice.

Fin de l'énoncé

Pas de description pour le moment

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