Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont autorisées.
EXERCICE
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3 .
On note ℝ[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et ℝ_n[X] le sous-espace vectoriel de ℝ[X] constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
On définit l'application φ qui à un polynôme P de ℝ_n[X] associe :
φ(P) = (X + 2)P − XP(X + 1).
Par exemple, on a φ(X) = (X + 2)X − X(X + 1) = X.
Vérifier que φ(X^3) = − X − 3X^2 − X^3 et φ(1) = 2.
Montrer que φ est linéaire.
Déterminer le degré et le coefficient dominant de φ(X^k) pour tout k ∈ {0, …, n}.
En déduire que φ est un endomorphisme de ℝ_n[X].
Dans cette question, on considère le cas n = 3.
On note M la matrice de l'endomorphisme φ dans la base canonique B = (1, X, X^2, X^3) de ℝ_3[X] et Q le polynôme caractéristique de φ, c'est-à-dire Q(X) = det(M − XI_3) où I_3 désigne la matrice unité carrée d'ordre 3.
(a) Vérifier que M = (2, 0, 0, 0; 0, 1, − 1, − 1; 0, 0, 0, − 3; 0, 0, 0, − 1).
(b) Calculer le polynôme caractéristique Q.
(c) Quelles sont les valeurs propres de φ ?
(d) L'endomorphisme φ est-il diagonalisable ?
(e) Déterminer les sous-espaces propres de φ.
Fin de l'exercice
PROBLÈME
Ce problème comporte deux parties indépendantes.
Notations
On note M_(n, p)(ℝ) l'espace vectoriel des matrices rectangulaires à n lignes et p colonnes à coefficients dans ℝ.
En particulier, M_n(ℝ) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n.
On identifie un vecteur colonne de M_(n, 1)(ℝ) avec un vecteur de ℝ^n.
On note ^t M la transposée de la matrice M.
Partie I : un exemple numérique
On munit le plan euclidien P d'un repère orthonormé ( O, ı⃗, ȷ⃗ ).
Pour (x, y) ∈ ℝ^2, M(x, y) désigne un point M du plan euclidien P de coordonnées ( x, y ) dans ce repère.
Dans le plan P, on considère trois points B_1(− 1, 1), B_2(1, − 1) et B_3(2, 1).
Pour (m, p) ∈ ℝ^2, on considère la droite D d'équation y = mx + p.
Pour i ∈ {1, 2, 3}, on considère le point H_i appartenant à la droite D de même abscisse que le point B_i.
On définit la fonction δ de ℝ^2 à valeurs dans ℝ par :
δ(m, p) = (B_1 H_1)^2 + (B_2 H_2)^2 + (B_3 H_3)^2
où B_i H_i désigne la distance du point B_i au point H_i.
Le but du problème est de chercher le minimum de la fonction δ. Si(m, p) est un couple où le minimum de la fonction δ est atteint alors la droite y = mx + p s'appelle la droite de régression linéaire de y en x associée au nuage de points (B_i).
Établir que pour i ∈ {1, 2, 3}, si B_i est le point de coordonnées (x_i, y_i), alors : (B_i H_i)^2 = (y_i − mx_i − p)^2.
Soit (m, p) ∈ ℝ^2.
2. Montrer que δ(m, p) = 6m^2 + 3p^2 + 4mp − 2p + 3.
On considère q, la forme quadratique sur ℝ^2 définie par :
q(α, β) = 6α^2 + 3β^2 + 4αβ.
On note S la matrice (6, 2; 2, 3) et U le vecteur colonne (m/p).
3. Exprimer q(m, p) en fonction de S, U et ^t U la transposée de U.
4. Déterminer les valeurs propres de S; on les notera, dans la suite, λ et μ, avec λ < μ.
5. Comment peut-on vérifier ce résultat à l'aide des quantités λ + μ et λ × μ ?
6. Justifier l'existence d'une matrice orthogonale de M_2(ℝ), notée P, que l'on ne cherchera pas à déterminer, telle que S = P(λ, 0; 0, μ)^t P.
7. En déduire que si on pose (X/Y) = ^t P(m/p) alors, q(m, p) = λX^2 + μY^2.
8. Déterminer une base des sous-espaces propres de S. On détaillera les calculs.
9. En déduire une matrice orthogonale P = (a_(1, 1), a_(1, 2); a_(2, 1), a_(2, 2)) avec a_(1, 1) > 0 et a_(1, 2) > 0, telle que S = P(λ, 0; 0, μ)^t P.
10. Montrer que l'on a :
{m = 1/(√5)(X + 2Y); p = 1/(√5)(− 2X + Y)
Montrer que :
δ(m, p) = λ(X + 1/(√5))^2 + μ(Y − 1/(7√5))^2 + K
avec K une constante à déterminer.
12. Montrer que la fonction δ admet un minimum égal à K.
13. Montrer que le minimum de la fonction δ est atteint au point (m_0, p_0) = (− 1/7, 3/7).
14. Représenter dans le plan les trois points B_1, B_2 et B_3 ainsi que la droite de régression linéaire.
Partie II : distance en dimension 3
Dans cette partie, on utilise le produit scalaire canonique de ℝ^3, c'est-à-dire que si X = (x_1; x_2; x_3) et Y = (y_1; y_2; y_3) sont deux vecteurs colonnes de ℝ^3,
(X|Y) = ^t XY = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3
La norme du vecteur X est ‖X‖ = √(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2).
On considère les matrices :
A = (− 1, 1; 1, 1; 2, 1) et Y_0 = (1; − 1; 1)
Soit f l'application linéaire canoniquement associée à la matrice A, c'est-à-dire que f est l'unique application linéaire de ℝ^2 dans ℝ^3 dont la matrice associée dans les bases canoniques de ℝ^2 et ℝ^3 est A.
(a) Justifier que la famille B = (C_1, C_2), où C_1 et C_2 désignent les deux vecteurs colonnes de la matrice A est une base de Imf. Montrer que le rang de f est égal à 2 . Que vaut dim(Kerf) ? On pourra utiliser le théorème du rang.
(b) Déterminer une équation cartésienne du plan Imf.
(c) f est-elle surjective ? injective ? bijective ?
(d) Déterminer une base orthonormée B^′ de Imf en appliquant la méthode de Schmidt à la base B.
On rappelle que si x⃗ est un vecteur de ℝ^3 et F un sous-espace vectoriel de ℝ^3 muni de la base orthornormée ( u_1^(→−), u_2^(→−) ), le projeté orthogonal z⃗ du vecteur x⃗ sur le sous-espace vectoriel F est donné par la formule :
(a) On définit les vecteurs u_1^(→−) = 1/(√5)(− 2; 0; 1) et u_2^(→−) = 1/(√(70))(3; 5; 6). Montrer que la famille B^(′′) = (u_1^(→−), u_2^(→−)) est une base de Imf et que cette base est orthonormée.
(b) Montrer que Z_0, le projeté orthogonal du vecteur Y_0 sur Imf, est égal à 1/7(4; 2; 1). On détaillera les calculs.
On pourra utiliser la formule rappelée au 1.d ainsi que la base orthonormée B^(′′).
(c) Déterminer un antécédent X_0 du vecteur Z_0 par f, c'est-à-dire un vecteur X_0 de ℝ^2 tel que Z_0 = f(X_0). Cet antécédent est-il unique?
On rappelle que si x⃗ et y⃗ sont deux vecteurs de ℝ^3, la distance entre x⃗ et y⃗ est définie par :
d(x⃗, y⃗) = ‖x⃗ − y⃗‖.
Si x⃗ est un vecteur de ℝ^3 et F est un sous-espace vectoriel de ℝ^3, la distance de x⃗ à F est définie par:
On rappelle le résultat suivant : d(x⃗, F) = ‖x⃗ − z⃗‖ où z⃗ est le projeté orthogonal de x⃗ sur F.
3. (a) Soient (m, p) ∈ ℝ^2 et X = (m/p). Calculer AX − Y_0 et en déduire que :
δ(m, p) = ‖AX − Y_0‖^2.
(b) Montrer que inf{δ(m, p)/(m, p) ∈ ℝ^2} = d(Y_0, Z_0)^2.
(c) Retrouver l'équation de la droite de régression linéaire D de la partie I .
Fin de l'énoncé
Pas de description pour le moment
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